付洪春

摘要：在新課程理念下，教學過程的本質有了重大的變化，強調學生數(shù)學學習的過程是建立在經(jīng)驗基礎上的一個主動建構的過程，感悟解題的思想方法、尋找答題的突破口、體驗數(shù)學問題充滿著探索與創(chuàng)造。

關鍵詞：數(shù)學；教學；解題；方法

所謂數(shù)學思想，是指人們對數(shù)學理論與內容的本質認識，它直接支配著數(shù)學的實踐活動。所謂數(shù)學方法，是指某一數(shù)學活動過程的途徑、程序、手段，它是有過程性、層次性和可操作性等特點。數(shù)學思想與數(shù)學方法合稱為數(shù)學思想方法，它是數(shù)學知識轉化為數(shù)學能力的橋梁，是貫穿于整個教學過程。問題只有圍繞數(shù)學思想方法才得于解決，才能很好地被學生理解和接受，進而成為學生解決問題的有機組成部分。學習數(shù)學最終應落實在對數(shù)學思想方法的感悟和掌握上?，F(xiàn)筆者淺談在數(shù)學教學問題探究中所涉及的數(shù)學思想方法。

一、待定系數(shù)法解題方法

對于某些數(shù)學問題，根據(jù)題意引入一些系數(shù)，通過變形與比較，建立起含有待定系數(shù)的方程（組），并求出相應字母系數(shù)的值，從而使問題得到解決的方法，我們稱之為待定系數(shù)法。其中尚待確定的未知系數(shù)，稱為待定系數(shù)。

利用對應系數(shù)相等列方程，指通過比較恒等式兩邊多項式的對應項系數(shù)，得到關于待定系數(shù)的方程（組），即的充分必要條件是

例如，把多項式表示為關于的降冪排列形式?？勺冃螢榘延疫呎归_、合并同類項得

用恒等式的性質，比較同類項系數(shù)，得 解這個方程組，得

故

二、數(shù)形結合的解題方法

數(shù)形結合思想就是在解決數(shù)學問題的過程中，注意把數(shù)形結合起來考查，根據(jù)問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，使幾何問題借助于數(shù)的推演提示其形的特征，使代數(shù)問題借助于幾何直觀地揭示其數(shù)之間的聯(lián)系，它將抽象的語言與直觀的圖形結合起來，將抽象思維與形象思維結合起來。例如，七年級教材引入數(shù)軸，就為數(shù)形結合的思想奠定了基礎，通過實現(xiàn)抽象概念，與具體形象、表達的聯(lián)系和轉化，來達到化難為易，化繁為簡，化生為熟，從而解決問題的目的。

數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，利用數(shù)形思想方法，有助于把握數(shù)學問題的本質，誠如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔家萬事體”。因此，我們在解題中要充分地利用數(shù)形結合思想方法，這樣做既能使許多數(shù)學問題迎刃而解，又能夠提高學生數(shù)形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。例如，點與圓的位置關系，可以通過比較點到圓心的距離與圓半徑兩者的大小來確定，直線與圓的位置關系；可以通過比較圓心到直線的距離與圓半徑兩者的大小來確定，圓與圓的位置關系，可以通過比較兩圓圓心的距離與兩圓半徑之和或之差的大小來確定。又如，畢達哥拉斯利用直角三角形三邊所在的正方形的面積相等。論證了勾股定理的結論。再如，函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質、利用圖象求二元一次方程組、用三角函數(shù)解直角三角形。

三、分類討論的解題方法

在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種可能情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得出問題的正確答案，這就是分類討論。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想方法，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，有關分類討論思想方法的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在中學數(shù)學中占有重要的位置。

分類討論應當遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清層次，不越級討論，其中最重要的一條是“不漏不重”。例如：已知實數(shù)a，b滿足的值。 因為

（1） 當

（2） 當

分類討論的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一，不漏不重、分類互斥，再對各個分類逐步進行討論，分層進行獲取階段性結果，最后進行歸納小結，綜合得出結論。

四、函數(shù)方程解題方法

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法來處理變量或未知數(shù)之間的關系，從而解決問題的一種數(shù)學思維方法，是很重要的數(shù)學思想。

函數(shù)思想方法就是用運動、變化的觀點，分析、研究其具體問題中的一些相互制約的變量；通過建立函數(shù)關系來研究這些變量之間的相互制約、相互聯(lián)系的特點，最后便問題獲得解決，方程思想就是在解決某些數(shù)學問題時，先設定一些未知數(shù)，然后把它們當作已知數(shù)，根據(jù)題設本身諸變量間的制約，列出方程或方程組，通過解方程或方程組求出這些未知數(shù)。

例，某送奶公司計劃在三棟樓之間建立一個取奶站，三棟樓在同一條直線上，順次為A樓、B樓和C樓，其中A樓與B樓之間的距離為40m，B樓與C樓之間的距離為60m，已知A樓每天有20人取奶，B樓每天有70人取奶，C樓每天有60人取奶。送奶公司提出兩種建站方案：方案一，讓每天所有取奶的人到取奶站的距離總和最小。方案二，讓每天A樓與C樓所有取奶的人到取奶站的距離之和等于B樓所有取奶的人到取奶站的距離之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站應建在什么位置？

（2）若按照方案二建站，取奶站應建在什么位置？

（3）在（2）的情況下，若A樓每天取奶的人數(shù)增加（增加的人數(shù)不超過22人），那么取奶站將離B樓越來越遠還是越來越近？請說明理由：

對于方案一，須建立一個函數(shù)關系，然后求此函數(shù)的最小值；

設取奶站建在距A樓xm處，所有取奶的人到奶站的距離總和為ym，①當所以當x=40時，y的最小值為4400；②當此時y的值大于4400。

因此，按方案一建奶站，取奶站應建在B處。

對于方案二，須通過列方程來解決

設奶站建在距A樓xm處。

①當（舍去）；

②當，因此，按方案二建奶站，取奶站應建在距A樓80m處。

對于（3）問題，設A樓取奶人數(shù)增加a人，

當；

當

所以當a增大時，x增大，所以當A樓取奶的人數(shù)增加時，按照方案二建奶站，取奶站仍建在BC兩樓之間，且隨著人數(shù)的增加，離B樓越來越遠。

運用函數(shù)方程思想解題，確立變量之間的函數(shù)關系式是一關鍵步驟，大致可分為下面兩種情況：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關系式，把問題轉化為相應的函數(shù)問題；（2）根據(jù)需要構造函數(shù)，利用函數(shù)的相關知識解決問題。

五、化歸與轉化的解題方法

在解決數(shù)學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比，聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉化為一個在已知知識范圍內較易解決的新問題，通過新問題的求解。達到解決原問題的目的，這一思想我們稱之為化歸與轉化的思想。

化歸與轉化思想方法的實質是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉化?？梢哉f除極簡單的數(shù)學問題外，每個數(shù)學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現(xiàn)的。從這個意義上講，數(shù)學的解題過程就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉化過程?；瘹w與轉化的思想方法是解決數(shù)學問題的根本思想，數(shù)學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，不規(guī)范問題向規(guī)范問題轉化。復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數(shù)與形的轉化，空間向平面的轉化。多元向一元的轉化，分式向整式的轉化，無理式向有理式的轉化，高次向低次的轉化，函數(shù)、方程、不等式之間的轉化等。這些都是轉化思想方法的體現(xiàn)。

例如：已知，求證：a、b、c中必有兩個相反數(shù)。

由于已知條件用等式表示，而結論卻不用式子表示，難以直接證明。為此，我們將結論化歸為其等價的形式（a+b）·（b+c）·（c+a）=0，證略。又如：已知關于x的不等式0≤x2-mx+5≤3恰好有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍。

此題若討論不等式組的解的情況，將非常麻煩，注意到一元二次不等式與二次函數(shù)的聯(lián)系，可將其他歸為二次函數(shù)進行分析，解略。

化歸與轉化思想方法應遵循的基本原則是：（1）熟悉化原則；（2）簡單化原則；（3）標準化原則；（4）和諧化原則，也就是化歸問題的條件或結論，便其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內部所表示的和諧的形式；（5）直觀化原則；（6）正難則反原則，也就是當問題正面討論遇到困難的時候，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。

總之，現(xiàn)行教材中培養(yǎng)數(shù)學能力的內容十分豐富，關鍵在于我們要去感悟、歸納、分類。一個好的教師，應該善于感悟課本的知識內容背后所隱含的“軟件”部分，即數(shù)學思想和數(shù)學方法，并善于誘導學生領會并能逐步運用這些思想和方法，從而提高數(shù)學能力。