羅永高

摘 要：著名美國數(shù)學(xué)家波利亞把一般化、特殊化及類比并列稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”. 恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊化思想解答數(shù)學(xué)問題往往能收到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：特殊到一般；化歸特殊問題；特值驗證；著眼最值情況

問題是數(shù)學(xué)的心臟，那么解題的思想方法就是數(shù)學(xué)的靈魂. 美國著名數(shù)學(xué)家波利亞把一般化、特殊化及類比并列稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”. 波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中列舉了許多生動的事例，說明數(shù)學(xué)界的先輩們?nèi)绾螐膶唵?、特殊事物的考察中發(fā)現(xiàn)普遍的規(guī)律，也就是說運(yùn)用特殊化思想導(dǎo)致了許多偉大的發(fā)現(xiàn).

盤點2012年的高考試題及模擬試題，遵循能力立意，引領(lǐng)少教多悟的原則. 別具匠心地設(shè)計了一些立意高遠(yuǎn)、背景公平、內(nèi)涵豐富、設(shè)問通俗、解答靈活的創(chuàng)新試題，如何在比較短的時間內(nèi)，快捷、準(zhǔn)確地得到解決問題的思路及答案，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用特殊化思想往往會收到事半功倍的效果.本文結(jié)合一些典型例子試圖對特殊化思想，做一番剖析.

[?] 從特殊到一般

特殊問題像一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們看清一般問題助一臂之力，為探索解題途徑提供線索，并成為解決問題的突破口.

例1 （鎮(zhèn)海中學(xué)2012年數(shù)學(xué)測試卷第10題）設(shè)R表示一個正方形區(qū)域，n是一個不小于4的整數(shù). 點X位于R的內(nèi)部（不包括邊界），如果從點X可引出n條射線將R劃分為n個面積相等的三角形，則稱點X是一個“n維分點”. 由區(qū)域R內(nèi)部的“100維分點”構(gòu)成集合A，“60維分點”構(gòu)成集合B，則集合{x

x∈A且x?B}中的元素個數(shù)是（ ）

A. 1560 B. 2320

C. 2480 D. 2500

分析：令正方形的邊長為1，考慮n=4的情形，從點X可引出4條射線將R劃分為4個面積相等的三角形，即每一個三角形的面積為，也就是說點X到每一邊的距離相等，得4維分點只有一個.

考慮n=8的情形，從點X可引出8條射線將R劃分為8個面積相等的三角形，即每一個三角形的面積為. 由對稱性，這8條射線分別與一組對邊組成4個面積為的三角形，4個三角形按2，2；1，3分組. 得點X到每一組邊的距離比可以為1∶1，1∶3. 所以只要將正方形分成4×4的方格，正方形內(nèi)9個格點就是8維分點.

由上可得，4n維分點的個數(shù)為（2n-1）（2n-1）. 即集合A，B的元素分別為49×49個，29×29個，去掉重復(fù)的81個，得2320個.

評注：本題通過考察n=4，n=8的情形，發(fā)現(xiàn)4，8維點的特征，進(jìn)而得到n維點的個數(shù). 堅持以考察特殊情形作為探索的起點，從中尋求啟示，是解決這類問題的有效手段.

例2 （福建2012年高考數(shù)學(xué)理科試題第19題）橢圓E：+=1（a>b>0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=. 過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.

（1）求橢圓E的方程.

（2）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q. 試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析：（1）+=1.

（2）假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點M，由圖象的對稱性可知點M在x軸上.

取點P（0，），則Q（4，）. 得以PQ為直徑的圓為（x-2）2+（y-）2=4，交x軸于點M1（1，0），M2（3，0）.

所以若符合條件的點M存在，且點M的坐標(biāo)必為（1，0）. 以下只要證明·=0即可.

評注：圓過定點問題由于涉及三個量k，m，xM . 要在k，m的變化中找到一個常量xM，難度較大. 通過選取已知橢圓上的兩個特殊點，作兩個圓得定點，然后再證明，是解決圓過定點問題的一個十分有效的方法.

[?] 化歸特殊問題

將一般問題化歸為特殊問題是處理數(shù)學(xué)問題的一個有效途徑，要實現(xiàn)有效地化歸，必須抓住兩個環(huán)節(jié)：其一，通過觀察，恰當(dāng)?shù)剡x出一種基本問題，并進(jìn)行解答；其二，在化歸上下工夫，有時還需做一番精巧的構(gòu)思，才能把各種一般問題化為特殊問題進(jìn)行解決.

例3 （自編）已知二面角α-l-β的大小為50°，P為空間中任意一點，過點P且與平面α和平面β所成角都是30°的平面γ的個數(shù)為（ ）

A. 2個 B. 3 個

C. 4個 D. 5個

分析：不妨假設(shè)P∈l，過點P作直線l⊥γ，則過點P與α，β所成角都是30°的平面γ的個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為過點P與α，β所成角都是60°的直線l的條數(shù)問題.

若過點P作a⊥α，b⊥β，則a，b所成角為50°，則過點P與α，β所成角都是60°的直線l的條數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為過點P與a，b所成角都是30°的直線l的條數(shù)問題. 過點P作a1∥a，b1∥b，則過點P與a，b所成角都是30°的直線的條數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為過點P與a1，b1所成角都是30°的直線問題. 如圖1，以點P為頂點，直線a1，b1為軸作頂角為60°的圓錐，由圖可知兩個圓錐側(cè)面有且只有兩條交線.

評注：通過作面的垂線，把原題轉(zhuǎn)化為過定點與兩直線所成定角問題. 構(gòu)造特殊的模型圓錐是解決這類問題的一個最直觀的方法.

例4 （寧波2012年十校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第22題）已知函數(shù)f（x）=（x3+2x2+5x+t）e-x，t∈R，x∈R.

（1）當(dāng)t=5時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在實數(shù)t∈[0，1]，使對任意的x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整數(shù)m的最大值.

分析：（2） f（x）≤x?t≤xex-x3-2x2-5x，問題轉(zhuǎn)化為對任意的x∈[-4，m]，xex-x3-2x2-5x≥0. 顯然，當(dāng)x=1時，左邊=e-8<0，不成立. 當(dāng)對任意的x∈[-4，0]，xex-x3-2x2-5x≥0?ex-x2-2x-5≤0. 對任意的x∈[-4，0]，ex≤1，x2+2x+5≥4. 即ex-x2-2x-5≤0成立. 因此整數(shù)m的最大值為0.

評注：通過對問題的不斷觀察，逐步將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個顯而易見的問題，避免了討論與證明.

[?] 利用特值驗證

當(dāng)高考中的客觀題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中的變化的不定量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形的特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等）進(jìn)行處理，即可以得到正確的結(jié)果. 真正實現(xiàn)小題不大做.

例5 （浙江2012年高考數(shù)學(xué)理科試題第17題）設(shè)a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=______.

分析1：令f（x）=[（a-1）x-1]（x2-ax-1），若x>0時均有f（x）≥0，則a>1. 令x1=>0，x2，x3為x2-ax-1=0的根，因為x2·x3=-1，不妨設(shè)x2>0，x3<0. 由f（x）的圖象可知當(dāng)x1，x2重合時滿足條件，即x1=是x2-ax-1=0的根，得a=.

評注：通過對三次函數(shù)零點的分析，發(fā)現(xiàn)只有一種特殊情況符合條件，即兩個正零點相等.

分析2：令f（a）=（xa-x-1）（xa-x2+1），則當(dāng)x>0時均有f（a）≤0. 由-x-1=-x2+1，得x=2. 即當(dāng)x=2時，f（a）=（2a-3）2≤0. 得a=.

評注：通過把不等式轉(zhuǎn)化為以a為主元的不等式，觀察數(shù)學(xué)式的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時，f（a）為平方式. 看似難以想象，實際在情理之中.

例6 （上海2012年高考數(shù)學(xué)理科試題第14題）如圖2，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是__________.

分析：由AB+BD=AC+CD=2a可知點B，C在以A，D為焦點，長軸為2a的橢球上運(yùn)動，則B，C到AD距離的最大值為b=. 過BC作垂直于AD的面交AD于點E，則VABCD=S△BCE·AD，因此當(dāng)BE=CE=時，△BCE的面積最大為.

所以VABCD的最大值為.

評注：要使體積最大，只要△BCE的面積最大，顯然對于底邊為定值的等腰三角形，只當(dāng)腰長最大時，面積最大.

[?] 著眼最值情況

著眼問題達(dá)到最值時對應(yīng)的變量的值，并把問題的最值作為分析問題的出發(fā)點. 一個十分有意義的事情，數(shù)學(xué)上的許多性質(zhì)，往往會通過一些變量達(dá)到最值時反映出來. 這就使我們可以以它們?yōu)橹攸c考察對象，來尋找問題的突破口.

例7 （浙江2012年高考數(shù)學(xué)理科調(diào)研試題第17題）如圖3，已知圓心角為120° 的扇形AOB的半徑為1，C為弧AB的中點.點D，E分別在半徑OA，OB上. 若CD2+CE2+DE2=，則OD+OE的取值范圍是______.

思路3：考慮到已知條件與所求結(jié)論對于x，y具有輪換性.當(dāng)x=y時滿足題意，當(dāng)x=y時代入得x=y=，即x+y=. 觀察圖，當(dāng)點D，E分別在半徑OA，OB上運(yùn)動，點D，E中有一個與O重合時，x+y=.

評注：這是巧合嗎？其實偶然中有必然，確實數(shù)學(xué)中的許多美妙的性質(zhì)都會在最值上反映出來.

例8 （南京2012年二檢第13題）在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P在直線EF上，則·+2的最小值是______________.

分析：問題可轉(zhuǎn)化為已知△PBC的面積為1，求·+2的最小值.

由題設(shè)知，△PBC的面積為1，以B為原點，BC所在直線為x軸，過點B與直線BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

[?] 考察極限位置

題中變化的不定量選取一些極限值時，通過觀察它們的變化趨勢，也會取得意想不到的效果.

例9 （寧波2012年十校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第16題）已知A，B分別是雙曲線C：x2-y2=4的左、右頂點，且P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的任一點，則∠PBA-∠PAB=__________.

分析：當(dāng)點P越來越接近點B時，可知∠PBA→，∠PAB→0?∠PBA-∠PAB→.

例10 已知O是銳角三角形ABC的外接圓的圓心，且∠A=θ，若+=2m，則m=__________.

分析：當(dāng)A→，B→，C→時，→（+）. 代入條件得m=1，即m=sinθ.

以上通過兩個方面對特殊化思想進(jìn)行了剖析. 一方面是通過對特殊問題的研究，摸索出一些經(jīng)驗，獲得一點啟示，再以所獲得的啟示作為鑰匙，打開問題的答案之門.當(dāng)然如何將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，如何覓得啟示，是解決問題的至關(guān)重要的一環(huán).

另一方面是把特殊對象作為分析問題的出發(fā)點，通過觀察它們變化趨勢及一些性質(zhì)，來尋找問題的突破口和答案. 當(dāng)然，如何找到合適的特殊對象，如何發(fā)現(xiàn)一些性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

遺憾的是，現(xiàn)在許多學(xué)生缺乏運(yùn)用特殊化思想的意識，更談不上運(yùn)用特殊化思想解決問題. 經(jīng)常出現(xiàn)小題大做，常常找不到解決問題的思路. 確實需要在平時的教學(xué)過程中加以滲透和專門的訓(xùn)練. 最后，讓我們記住華羅庚的一段話：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅！”一語道出了特殊化思想對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要意義.