俞菊華

摘 要：從減輕學生的學習負擔，提升學生的數學能力，提高高中數學教學效率等角度來看，數學建模也擔負著相當重要的作用. 本文從三個方面探討了在高中數學教學中如何實施數學建模.

關鍵詞：高中數學；建模；思考

數學建模被認為是數學區(qū)別于其他學科的重要特征之一，對數學及其教學有點研究的人基本都知道數學建模這個概念. 在課程改革之前，數學建模就受到高中數學教學界的普遍重視，包括數學建模在內的學科建模叢書成為當時教師的熱門選擇. 進入課程改革之后，盡管課程標準中仍然保留著數學建模的教學要求，但由于人們更熱衷于討論教學方式的轉變、教學理念的更新等，數學建模相對顯得有些被冷落了. 但事實上，作為數學教學的核心內容，數學建模是數學教學中的重要基礎，也是學生提升數學學習能力和數學素養(yǎng)的重要方式. 一言以蔽之，“凡是有數學的地方就有數學建?！?

在高中數學教學中，由于數學內容的循序漸進性，很多數學概念、定理、法則的形成都具有一些共同點，也就是說不同的數學概念的得出有時仿佛是走的同一條道路，因此“歷史總是驚人地相似”這句話有時竟也非常適用于數學概念、定理或法則的形成；又由于不同數學知識之間的相互聯系性，很多數學問題又都具有類似的解題思路，也就是說看起來不是同一領域的數學問題，但在分析解決的思路上卻又是相同的，看似殊途，實則同歸.

事實上，正是因為這些共同點的存在，才形成了高中數學教學中進行數學建模的內容基礎和方法基礎.同時從減輕學生的學習負擔，提升學生的數學能力，提高高中數學教學效率等角度來看，數學建模也擔負著相當重要的作用. 因為一個數學模型的建立，用到大量的數學知識和數學思想，它具有極強的綜合性. 在教學實際中，筆者根據自身的觀點，認為要想成功地建立、理解、運用數學模型，可以從以下幾個方面來進行.

[?] 什么是數學建模

從字面上來看，建模就是建立模型.只是數學建模與一般意義上的建立模型不同，因為其一般不是建立實際的模型，如長方形、立方體等，而是指基于數學特質，建立一套適合于數學思考的思維模型，這種模型既然是思維的結果，自然也就以一種抽象的形態(tài)存在于數學研究者的思維當中，至于具體的實物模型一般是沒有的，就算是有，也是數學研究者思維結果的物質體現.

具體地說，就是數學研究者通過思維活動，將生活中的事物進行抽象——去掉其中非關鍵的要素，保留其中關鍵的要素，最終建立起一套利用數學語言描述現實中的數量關系與空間形式的過程. 這個過程中，由于抽象思維的參與，因此與數學無關的因素都被忽略，而與數學有關的因素都被保留了下來. 而這樣的抽象結果在得到了驗證之后，就可以得到一個穩(wěn)定的數學結構. 又因為這個數學結構在一定范圍內具有較強的代表性，所以其將成為其他數學問題解決的重要載體. 我們有時候說數學具有簡潔的特點，就是因為眾多數學現象背后有著共同的數學模型.

數學建模作為思維的結果，其一般存在于學生的思維當中，存在形式就是思維表象，或者說是某種數學圖景. 那么，這個數學圖景的形成需要經歷怎樣的抽象過程呢？研究相關理論我們可以發(fā)現，作為一種數學學習方法，高中數學建模的過程應當包括這樣幾個方面：一是學生根據學習內容和建模需要，分析其中的主要數學因素與非數學因素并進行取舍，在頭腦中初步構建模型，這是模型構思階段；二是根據初步構建的數學模型，選擇適當的數學工具在選擇出來的數學因素之間建立起數學關系，并通過關系的梳理建構數學結構，這是模型的建立階段；三是將模型初步應用于新的情境當中，看建立的模型能否接受新的數學問題的檢驗，如果有問題則需要經歷前面一個循環(huán)過程，如果沒有問題則說明模型建立得相對成功.這是模型的驗證階段；四是將模型正式遷移到其他數學問題當中，用于對新問題進行解釋，這是模型的應用階段.

值得注意的是，不同領域的數學知識需要建立不同的數學模型，建立模型的方法也不盡相同，但大體思路一致. 且嚴格來說，任何一個數學模型都有異于其他數學模型的地方，因此在數學建模當中要具有現象學的觀點，因材而異. 有人說，數學模型的獨立性與一致性是一個問題的兩個方面，相當于一個硬幣具有的正面與反面.

[?] 高中數學建模對學生數學能力發(fā)展的思考

數學建模的意義是不言而喻的，在高中數學教學中建立模型自然也是必要的. 筆者這兩年對數學建模有所思考并不斷地將自己的想法通過教學實施來驗證，應該說帶給我們的思考還是非常多的，具體說來有這樣幾個方面.

首先，數學建模能夠有效地培養(yǎng)學生的應用意識. 應用意識是高中數學的一個重要目標指向，也是數學學以致用的價值體現. 具有應用意識與能力的學生，往往能夠在實際問題與數學知識之間迅速地建立一種聯系，有助于學生鞏固所學數學知識，有助于提高學生的數學問題解決能力. 在這種意識形成過程中，數學建模能夠起到非常明顯的作用. 例如，大家所熟知的最短路徑問題，包括兩個位置之間最短距離的問題（具體的實際問題情境一般高中數學同行都是爛熟于心的，這里就不贅述了，下同；可以建立成兩點之間直線最短的模型），三個位置之間的最短距離問題（可以建立成三點之間距離之和最短的模型），兩個位置到一條道路或河流的距離之和最短的問題（可以建立成兩點到一線的距離模型），螞蟻爬圓柱問題（可以建立成尋找圓柱上下底面兩點間的最短距離問題），淋雨多少與速度是否有關問題（可以建立成矢量三角形模型）……通過將這些實際問題或類實際問題進行抽象加工，使之成為數學模型. 通過這一個過程深化與豐富，可以有效地培養(yǎng)學生數學建模的能力，而在這個能力形成的過程中，當然也就培養(yǎng)了學生的數學應用意識和問題解決能力.

其次，數學建模能夠培養(yǎng)學生的數學語言運用能力. 數學本身是一個符號世界，其抽象性也就體現在這個方面. 而數學建模的過程一般都是一個比較復雜的思維過程，在建模過程中往往靠個體的力量不容易成功，這個時候就需要學生之間進行合作學習，而合作學習的基礎就是學生間的有效交流. 在數學建模過程中，為了將自己的思考表述出來，就需要通過語言組織將自己的數學思考與他人分享，在這個過程中學生會經歷一個即時、迅速、復雜的數學思維語言化的過程. 根據我們的教學經驗，學生在這個過程中往往會表現出非常復雜的思維過程，這里所說的復雜主要是指學生的表達總是從生疏走向熟練、從不準確走向準確，而這個過程又是小組內學生共同促進的結果. 同時，對于數學模型的解釋、解讀，以及運用過程中必然也會涉及表述等問題，因此數學語言將是圍繞數學模型展開的一個重要內容，因此筆者總體感覺到這樣的過程能夠促進學生對數學語言掌握的熟練化.

再次，數學建模能夠培養(yǎng)學生良好的直覺思維能力. 思維能力是數學教學的核心，我們的數學教學如果說超越知識層面來培養(yǎng)學生的話，那就是培養(yǎng)學生的思維能力. 而根據對心理學的相關知識的學習，我們可以說人的思維可以分為形象思維（小學、初中階段的主要思維方式）、抽象思維（高中階段的主要思維方式）和直覺思維三種階段與形式. 其中直覺思維被認為是最高形式的思維方式，其具體表現是學生能夠在即時狀態(tài)下對新事物迅速做出反應——反應速度越快，說明這位學生的直覺思維能力越強. 在高中數學教學中，培養(yǎng)學生良好的直覺思維是必需的任務，而我們認為數學建模是能夠發(fā)揮這樣的作用的. 翻開數學史，我們可以看到很多經典的數學發(fā)現，如笛卡兒坐標系等，都是直覺思維的產物. 而在教學實踐中，我們也發(fā)現現在的高中學生能夠依托抽象思維建立出比較理想的數學模型，而經過堅持不懈的訓練之后，就有可能形成良好的數學直覺.

[?] 高中數學建模的實施細節(jié)注意點

數學建模作為一項數學思維高度參與的活動，在具體的教學中要想真正做得很好是一件不容易的事情. 除了對于數學建模的四個階段要比較熟悉之外，在具體的實施中還有一些細節(jié)需要注意.

一是要充分運用好問題驅動. 根據皮亞杰發(fā)生認識論的有關觀點，只有在學生的認知平衡被打破時學生才會產生強烈的學習內驅力，而數學建模由于思維量大，因此必須以問題驅動才能保證整個過程的順利實施. 值得注意的是，這個問題必須是符合學生需要的問題，不一定是學生自己提出來的，但一定要保證提出之后學生是感興趣的.

二是要充分增強學生的體驗感. 數學建模本質上是對實際事物或實際問題的抽象，而這就需要學生有充分的經驗作為基礎，經驗來源于生活和體驗，對于高中數學學習而言，更多的經驗可以通過體驗來生成. 而這就需要我們在課堂上多創(chuàng)設能夠讓學生體驗的情境，以生成相應的經驗供數學建模中使用.

三是要注意數學建模的實施時機. 作為一項規(guī)模較大（思維量大）的工程，數學建模在日常教學中頻繁實施是不現實的，因此就需要我們尋找良好的教學契機，恰到好處地落實數學建模的思想. 在應試壓力仍然存在的現階段，這是對高中數學教師的一個考驗.

以上是筆者對高中數學建模的一點淺顯思考，由于水平有限其中可能存在一些不甚恰當的地方，還請同行們批評并提出寶貴意見.