莊玉英 駱妃景

摘 要：《直線與平面平行的判定》是高中數(shù)學(xué)人教A版必修②第二章第二節(jié)第一講內(nèi)容，以學(xué)生已學(xué)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)作為學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合有關(guān)的實(shí)物模型，通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行的判定定理. 教學(xué)設(shè)計(jì)力圖構(gòu)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，享受解題成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì)；線面；平行

[?] 教材地位分析

線面平行的判定，蘊(yùn)涵著化歸與轉(zhuǎn)化思想，是三大平行判定（線線平行、線面平行、面面平行）的核心，為后續(xù)學(xué)習(xí)線面平行性質(zhì)、面面平行以及三大垂直判定與性質(zhì)等內(nèi)容奠定了知識與思想方法基礎(chǔ)，本節(jié)課的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力（文字語言、符號語言、圖形語言轉(zhuǎn)換）、空間想象能力與推理論證能力起到重要作用.

[?] 學(xué)情分析

學(xué)生對立體幾何學(xué)習(xí)興趣較高，但符號、圖形表達(dá)能力以及空間想象能力比較薄弱，空間問題平面化的化歸轉(zhuǎn)化思想方法儲備不足，學(xué)習(xí)上有一定困難.

[?] 教法學(xué)法分析

教法：采用了啟發(fā)式和探究式教學(xué)方法，以問題驅(qū)動(dòng)為主線，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)構(gòu)建線面平行判定定理，采用多媒體輔助教學(xué).

學(xué)法：通過問題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、確認(rèn)操作的過程構(gòu)建新的知識，再通過例題講解、變式訓(xùn)練、動(dòng)手實(shí)踐使新知識得到應(yīng)用.

[?] 教學(xué)目標(biāo)

1. 知識與技能

（1）線面平行判定定理的理解和應(yīng)用.

（2）能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號語言、圖形語言、文字語言表達(dá)判定定理.

2. 過程與方法

讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、確認(rèn)操作的過程，進(jìn)一步理解并掌握將立體問題平面化、線面問題線線化的化歸與轉(zhuǎn)化思想.

3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀

讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，享受解題成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

[?] 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：線面平行判定定理的理解和應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面平行判定定理的探索過程及其應(yīng)用.

[?] 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）溫故知新、復(fù)習(xí)提問

教師：空間直線與平面的位置關(guān)系有哪些？

學(xué)生：線面平行，線面相交，直線在平面內(nèi).

教師：在以上的三種位置關(guān)系中，直線與平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次是多少？

學(xué)生：依次是0個(gè)，1個(gè)，無數(shù)個(gè).

教師：那你們能用圖形和符號來表示以上三種情況嗎？

學(xué)生活動(dòng)：一位學(xué)生在黑板上板演，其余學(xué)生在練習(xí)本上畫，教師針對學(xué)生出現(xiàn)的情況，如不直觀、不標(biāo)字母等加以強(qiáng)調(diào).

設(shè)計(jì)意圖：通過提問，學(xué)生復(fù)習(xí)歸納空間直線與平面位置關(guān)系，并訓(xùn)練學(xué)生的圖形與符號語言的表達(dá)能力.

教師：根據(jù)線面平行的定義（沒有公共點(diǎn)）來判定線面平行，你認(rèn)為方便嗎？

學(xué)生：不方便.

教師：為什么呢？請說說自己的理由.

學(xué)生：由于直線和平面都是無限延伸的，用定義判斷它們究竟有沒有公共點(diǎn)很困難.

教師：嗯，很好！由于判斷直線與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)較為困難，所以我們需要找一種比較實(shí)用的線面平行判定方法.

教師：我們一起來回顧一下在研究異面直線所成的角時(shí)，我們通過平移，把問題轉(zhuǎn)化為研究兩條相交直線所成的角，即采用空間問題平面化的方法來解決問題，那么我們能否通過類比把線面平行的判定轉(zhuǎn)化為線線平行來解決呢？我們今天就一起來探究這個(gè)問題.

教師板書：直線與平面平行的判定定理

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置疑難，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，用定義法難以證明“無公共點(diǎn)”，喚起學(xué)生的思考討論，引入本節(jié)課題，并為探尋直線與平面平行判定定理做好準(zhǔn)備.

（二）直線與平面平行判定定理的構(gòu)建

1. 直觀感知

教師：門扇的兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊與門框所在平面具有什么樣的位置關(guān)系呢？

教師活動(dòng)：教師打開教室的門做示范.

學(xué)生：平行.

教師：將課本平放在桌面上，翻動(dòng)書的封面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系呢？

教師活動(dòng)：教師通過多媒體演示翻書過程，讓學(xué)生直觀感知直線與平面平行

學(xué)生：平行.

教師：那同學(xué)們通過日常生活的觀察，你們還能感知到并舉出直線與平面平行的具體事例嗎？

學(xué)生1：教室天花板上的日光燈與地板，站著的人和教室的墻面.

學(xué)生2：拿起手上的筆和桌面比劃.

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際背景出發(fā)，吸引學(xué)生注意力，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中感知線面平行的判定依據(jù).

學(xué)生觀察猜想回答下面問題：

2. 自主探究，操作確認(rèn)

教師：同學(xué)們，我們現(xiàn)在一起來操作，確認(rèn)該猜想是否成立.

教師活動(dòng)：教師取出預(yù)先準(zhǔn)備好的直角梯形泡沫板演示：當(dāng)把互相平行的一邊放在講臺桌面上并轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察另一邊與桌面的位置，給人以平行的感覺，而當(dāng)把直角腰放在桌面上并轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察另一邊與桌面，給人的印象就不平行. 學(xué)生解釋現(xiàn)象.

學(xué)生預(yù)設(shè)：因?yàn)榛ハ嗥叫械膬蛇叄还茉趺崔D(zhuǎn)動(dòng)都是平行的，所以不在桌面的一邊與桌面永遠(yuǎn)不會有公共點(diǎn)，即平行.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置這樣動(dòng)手實(shí)踐的情境，是為了讓學(xué)生更清楚地看到線面平行的關(guān)鍵因素是什么，使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在心中，學(xué)自己身邊的數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟空間觀念與空間圖形性質(zhì).

經(jīng)過學(xué)生討論猜想，師生共同操作確認(rèn)后，在歸納直線與平面平行的判定定理時(shí)，先讓學(xué)生敘述結(jié)論，不完善的地方教師引導(dǎo)，補(bǔ)充完整. 抽象概括為：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

學(xué)生嘗試用圖形語言表述，在練習(xí)本上畫圖.

教師板書：直線與平面平行判定定理的三種表述：

設(shè)計(jì)意圖：通過三種語言表述定理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力，讓學(xué)生感受到判定定理的條件與結(jié)論.

教師強(qiáng)調(diào)：直線與平面平行，關(guān)鍵是三個(gè)要素：①平面外一條線；②平面內(nèi)一條直線；③這兩條直線平行，這三個(gè)條件缺一不可.

簡單概括：（內(nèi)外）線線平行?線面平行

作用：證明線面平行

關(guān)鍵：在平面內(nèi)找（或作）出一條直線與面外的直線平行

思想：空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化歸轉(zhuǎn)化思想.

設(shè)計(jì)意圖：適時(shí)歸納知識與方法，讓學(xué)生進(jìn)一步理解知識，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（三）理解定理，變式探究（多媒體幻燈片演示）

1. 定理的再認(rèn)識

（1）判斷下列命題的真假，說明理由：

①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與平面平行.（ ）

②若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α.（ ）

③一直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線與平面平行.（ ）

（2）若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a與α的位置關(guān)系是（ ）

A. a∥α B. a?α

C. a∥α或a?α D. a?α

學(xué)情預(yù)設(shè)：設(shè)計(jì)這兩道經(jīng)典的考題，目的是讓學(xué)生對定理更加深入地理解，強(qiáng)調(diào)定理中三個(gè)條件缺一不可，同時(shí)預(yù)設(shè)（1）中的③學(xué)生可能認(rèn)為正確的，這樣就無法達(dá)到教師的預(yù)設(shè)與生成的目的，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生想象的空間更廣闊些. 教師可以用一支粉筆穿過一張薄紙舉出不平行的反例，預(yù)設(shè)（1）中的②教師在桌面上放幾條平行的粉筆做反例.

2. 例題講解

例1：（課本例題）求證：空間四邊形相鄰兩邊的中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面.

學(xué)生根據(jù)題意畫圖，將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：

已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD.

圖（略）.

教師活動(dòng)：教師多媒體演示平面四邊形沿對角線折起的動(dòng)態(tài)過程，加深學(xué)生對空間四邊形的認(rèn)識，體會線面平行判定定理的應(yīng)用.

請三位學(xué)生板演，其余學(xué)生在練習(xí)本上完成，師生共同評析，并在黑板上完善規(guī)范的解答過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生答題的規(guī)范性. 明確運(yùn)用線面平行判定定理時(shí)的具體步驟，防止缺少條件.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生學(xué)完定理后，安排應(yīng)用定理的題目，可加深學(xué)生對定理的理解，課本上提供了一個(gè)文字?jǐn)⑹龅淖C明題，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析問題，讓學(xué)生通過作圖來理解題意，進(jìn)而結(jié)合圖形寫出已知和求證，這樣處理可以提高學(xué)生的作圖、識圖和用圖能力. 在強(qiáng)化學(xué)生的目標(biāo)意識時(shí)，要對運(yùn)用判定定理的解題進(jìn)行有效指導(dǎo).

變式一：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA中點(diǎn)，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，AC，BD，請分別找出圖中滿足線面平行位置關(guān)系的所有情況.（共6組線面平行）

變式二：已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB合AD上的點(diǎn)，若_____，則EF∥平面BCD（請?zhí)钌弦粋€(gè)使命題成立的條件）

設(shè)計(jì)意圖：以例題的變式為切入口，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步熟悉定理、應(yīng)用定理，因?yàn)橐粋€(gè)定理的靈活運(yùn)用是離不開“反復(fù)操作”的.

例2 在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并加以證明.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己作圖，教師積極引導(dǎo)學(xué)生尋找適當(dāng)?shù)妮o助線，為運(yùn)用定理創(chuàng)造條件，做輔助線要掌握直觀感知平移找平行四邊形或三角形中位線的技巧.

變式三：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC與C1D1中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1.

設(shè)計(jì)意圖：變換圖形，一題多證，使不同層次的學(xué)生得到不同的思考途徑.

變式四：已知四棱錐P-ABCD的底面是梯形，AB∥CD且CD=2AB，問線段PC上是否存在點(diǎn)F，使得BF∥平面PAD？并證明你的結(jié)論.

3. 學(xué)以致用

有一塊木料如圖3所示，P為面BCEF內(nèi)一點(diǎn)，要求過點(diǎn)P，在平面BCEF內(nèi)畫一條直線和平面ABCD平行，那么應(yīng)如何畫線？

先由學(xué)生討論交流，教師提問，然后教師總結(jié)，多媒體展示作圖的動(dòng)畫過程.

設(shè)計(jì)意圖：這是一道動(dòng)手操作的問題，不僅是為了拓展加深對定理的認(rèn)識，更重要的是使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在內(nèi)心中，學(xué)自己身邊的數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟空間觀念與空間圖形性質(zhì).

（四）課堂小結(jié)

教師：今天我們學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定，判定定理是什么呢？需要注意什么呢？

先由學(xué)生口頭總結(jié)，互相補(bǔ)充，然后教師歸納總結(jié)（由多媒體幻燈片展示）：

1. 線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與這個(gè)平面平行.

教師再次強(qiáng)調(diào)定理的三個(gè)條件缺一不可，以及本課蘊(yùn)涵著空間問題平面化的化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法.

3. 在作輔助線時(shí)，通過直觀感知的技巧，構(gòu)造一個(gè)三角形中位線或平行四邊形，再演繹推理去得到線線平行的條件.

設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)，使學(xué)生能對所學(xué)的知識有一個(gè)比較全面、深刻的認(rèn)識，對學(xué)生知識體系的形成有很好的指導(dǎo)作用.

（五）作業(yè)布置

1. 課本本習(xí)題2.2A組的第3題

2. 課本習(xí)題2.2B組的第1題

3. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，Q，P分別是棱BD與AD1上的點(diǎn)，AP=BQ，求證：PQ∥平面DCC1D1.

設(shè)計(jì)意圖：通過一定量的作業(yè)鞏固所學(xué)知識，形成技能，提高解題能力.

[?] 教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循“直觀感知——操作確認(rèn)——思辯論證”的認(rèn)識過程，很好貫穿了問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)的意識，過程中注重幾何要素，即空間觀念和推理，例如要求學(xué)生自己上臺畫圖表示線面關(guān)系、定理的應(yīng)用等，培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、團(tuán)結(jié)合作的精神，以及推理論證能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力和空間想象能力，更注重使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在內(nèi)心中，學(xué)自己身邊的數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟空間觀念與空間圖形性質(zhì).