李靈飛

摘 要：數(shù)學(xué)解題的步驟包括審題、探究、表達(dá)和反思。而在實(shí)際學(xué)習(xí)中，師生只重視前面三個(gè)步驟，而忽略了第四個(gè)步驟。反思是重要的數(shù)學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力，師生只有在反思過程中獲取知識，才能更快地提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)質(zhì)量，才能更好地培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、敏捷性和發(fā)散性，提高解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：反思；解題；高中數(shù)學(xué)；質(zhì)量；習(xí)慣

波利亞在《怎么解題》中給出了解答數(shù)學(xué)問題的四個(gè)階段：審題—探究—表達(dá)—反思。由于我國數(shù)學(xué)教學(xué)過程中依然是以“題海戰(zhàn)術(shù)”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式，所以導(dǎo)致教師和學(xué)生只重視解題的三個(gè)步驟：理解題意，找到解題途徑，寫出解答過程。特別是學(xué)生，他們解題的興奮點(diǎn)往往集中在答案上，一旦解出答案，就如釋重負(fù)，對解題后反思置之不理，這是十分可惜的！著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是重要的數(shù)學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力?！狈此际菍λ季S結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)知和檢驗(yàn)的過程，是一種探究和特殊的再概括，更是一種創(chuàng)新。反思是提高學(xué)生解題能力的重要方式，也是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的重要環(huán)節(jié)。

一、通過反思教師的解題和教學(xué)方法，提高教學(xué)水平

由于課堂學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會表現(xiàn)出許多有個(gè)性和創(chuàng)造性的觀點(diǎn)，這些是教師事先難以預(yù)料的，因此，在任何內(nèi)容的教學(xué)以后，教師都應(yīng)該進(jìn)行反思，回顧學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，以反思自己的教學(xué)行為。實(shí)踐表明，反思是提高教師教學(xué)能力最好的方法。那么教師主要反思什么呢？第一，要反思自己的教學(xué)方式是否能提高學(xué)生的興趣。因?yàn)榕d趣是最好的老師，只要學(xué)生有興趣，那么他們在課堂上就會積極思考，認(rèn)真聽講，做好筆記，從而提高課堂效率。第二，要反思自己的教學(xué)內(nèi)容是否符合學(xué)生實(shí)際。教師備課要結(jié)合學(xué)生的知識水平，要讓大部分學(xué)生都聽得懂，讓每位學(xué)生都有所進(jìn)步，如果老師所講的內(nèi)容只有少數(shù)同學(xué)聽得懂，那么這樣的課堂效果肯定很差，同時(shí)也會嚴(yán)重打擊大部分學(xué)生的積極性，課堂上要堅(jiān)持做到學(xué)生會的不講，講了學(xué)生也不會的不講。第三，要反思學(xué)生在課堂上的種種表現(xiàn)。在課堂上，常有學(xué)生答出或做出錯(cuò)誤的答案，或者做出跟教師不同的解題方法等現(xiàn)象。對于錯(cuò)誤的解法，我們要反思是什么原因?qū)е聦W(xué)生出現(xiàn)這種錯(cuò)誤；對于一些與老師不同的解題方法，我們要反思這些方法是否合理，合理的要及時(shí)表揚(yáng)，不合理的要說明原因。例如，在高三離散型隨機(jī)變量概率分布及其期望的復(fù)習(xí)中有道這樣的例題，某工廠今年第一季度生產(chǎn)的A、B、C、D型號的產(chǎn)品產(chǎn)量分別為100、200、50、150件，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出50件樣品，（1）問：四種型號各抽出多少件？（2）從A、C型號中隨機(jī)抽出3件，用x表示抽取A型號的件數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。對于這道題的第二問，正確的解法是用超幾做出來的數(shù)學(xué)期望值是一樣的。這個(gè)時(shí)候，我們教師就要反思學(xué)生出現(xiàn)這種解法的原因是什么，為什么這種方法得到的答案正確而方法是錯(cuò)的，怎樣才能使學(xué)生區(qū)分好這兩種概率，從而更好掌握解題方法。

教師在教學(xué)過程中應(yīng)該有強(qiáng)烈的反思意識和反思能力，只有這樣，教師才能將解題反思的意識更好地帶到教學(xué)過程中，使學(xué)生在潛移默化中受到影響和熏陶。

二、通過反思可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，達(dá)到溫故而知新的效果

很多學(xué)生在老師批改完作業(yè)或試卷后都沒有進(jìn)行反思，多數(shù)學(xué)生只是把答案按照老師的評講進(jìn)行修改，因?yàn)椋瑢W(xué)生沒有進(jìn)一步思考自己做錯(cuò)的原因和思考怎樣解決等問題，所以，這樣的學(xué)習(xí)效率是很低的，以后遇上同一類題，甚至同一道題的時(shí)候仍然會出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤。對于一些難度不大的題目，有時(shí)候讓學(xué)生自己反思，自己尋找正確答案比老師評講效果更好。在教學(xué)中，對于一些基礎(chǔ)的作業(yè)或者測試，我都很少在課堂上評講，而是設(shè)計(jì)了以下反思表給學(xué)生在測試或作業(yè)后進(jìn)行反思。

我的工作重點(diǎn)并不是評講試卷和作業(yè)，而是檢查這個(gè)表格的完成情況。學(xué)生完成這個(gè)表的過程就是梳理知識的過程，就是查漏補(bǔ)缺的過程，就是反饋提高的過程。例如，在高三復(fù)習(xí)進(jìn)行到第二輪后，學(xué)生的測驗(yàn)次數(shù)增多，很多知識點(diǎn)已經(jīng)復(fù)習(xí)完，很多題型也練過，但是每次考試總有一部分同學(xué)沒有做好這些基礎(chǔ)題，其原因有：有些性質(zhì)定理公式遺忘；有些解題方法模糊，隨意套用；有些審題不清，看漏條件等等。為了提高復(fù)習(xí)的效果，讓學(xué)生主動思考，積極尋找解題方法，在每次測試后我都很重視學(xué)生的自我反思，認(rèn)真檢查他們的反思表。聽十遍不如講一遍，有時(shí)候還叫學(xué)生把解題方法在自己面前復(fù)述一遍，使他們加深印象。通過這種方法，促使學(xué)生主動尋找解題方法，有些是找課本、筆記本，然后自己弄懂，有些是主動問同學(xué)……實(shí)踐結(jié)果證明這種方式收到了非常好的效果，學(xué)生再遇到類似問題時(shí)的出錯(cuò)率大大降低，學(xué)生的解題能力和學(xué)習(xí)興趣得到了很大的提高。

三、通過反思可以培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性思維和敏捷性思維，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

在高中的學(xué)習(xí)生活中，有些同學(xué)覺得高中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容都很抽象，生活中很少用到，沒多大實(shí)際作用，因此缺乏興趣。這種想法是比較片面的、比較膚淺的。實(shí)際上數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，可以說生活中處處有數(shù)學(xué)；另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以鍛煉人的思維，讓人的思維更加敏捷，可以培養(yǎng)人的嚴(yán)謹(jǐn)思維、抽象思維等等，從而使人在工作中有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)和較強(qiáng)的應(yīng)變能力。學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤往往是由知識缺陷或能力缺陷造成的，也有邏輯上、策略上造成的，更有非智力因素造成的。例如：集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x||x-3|≤a，x∈R}，若A？勐B，那么a的范圍是 。

A.0≤a≤1 B.a≤1 C.a<1 D.0

這道題很多同學(xué)忽略對邊界值的討論，另一方面忽略B集合可以為空集，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。作為教師，在學(xué)生完成解答后，通過分析題目引導(dǎo)學(xué)生注意觀察選擇答案的特點(diǎn)，將一些容易忽略的條件用紅筆圈出，從這些條件引導(dǎo)學(xué)生去反思自己的解法是否正確。顯然這種反思比教師直接評講要有價(jià)值得多，對學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)起到很大的作用。因此，在解完一個(gè)題目后就有必要對解題的正誤作進(jìn)一步的思考，并及時(shí)總結(jié)方法、糾正錯(cuò)誤。反思可改善學(xué)生思維能力，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、通過反思可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，有利于提高學(xué)生解決問題的能力

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)講究靈活性，死記硬背沒用，生搬硬套也沒用。在學(xué)習(xí)過程中，我們不能只是滿足于尋求正確答案，我們應(yīng)該追求更多的解題經(jīng)驗(yàn)和方法，如果能夠做到舉一反三、一題多解，那就說明學(xué)生真正掌握了知識，解題能力確實(shí)提高了。例如，在講基本不等式中，有這樣一道例題，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=x+■的值域是 。這道題，學(xué)生很快通過基本不等式得到答案。教師可以讓學(xué)生反思，如果把x>0改為x<0答案又是什么；如果把x>0這個(gè)條件去掉，那么答案又是什么。我們在解決一道題后適當(dāng)作出變形或變式，有利于激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，不僅活躍了課堂氣氛，而且有利于開闊視野，拓寬思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高應(yīng)變能力和解決問題的能力。這種舉一反三、一題多解的過程是一個(gè)更高層次的學(xué)習(xí)過程，它能使學(xué)生對某一數(shù)學(xué)知識有更深、更廣的認(rèn)識，也有利于學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的鞏固和加深，學(xué)生的解題反思能力也會越來越強(qiáng)。

總之，不管是教師的反思還是學(xué)生的反思，都是一種積極的探究行為，都是提高學(xué)生的解題能力，提高教學(xué)質(zhì)量的重要因素。我們不要輕視反思所帶來的一些微不足道的改變，它是提高我們分析問題、解決問題能力的重要途徑，如果在平時(shí)的學(xué)習(xí)活動中能有意識地進(jìn)行這一點(diǎn)一滴的積累，“雕蟲小技”就會發(fā)展成解決問題的強(qiáng)大武器。

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（作者單位 廣東省從化市第二中學(xué)）