程捷逵

【內(nèi)容摘要】解二元一次方程組的基本思想方法就是通過(guò)消元將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”。代入法、加減法是解二元一次方程組的基本方法，必須靈活運(yùn)用，領(lǐng)會(huì)并掌握解二元一次方程組的方法，根據(jù)方程組的情況，能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“代入消元法”和“加減消元法”解方程組。通過(guò)簡(jiǎn)單方法的靈活選擇來(lái)提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】二元一次方程組 巧解 化難為易

大家知道，“代入法”與“加減法”是解二元一次方程組的一般方法。它們的實(shí)質(zhì)都是消元。當(dāng)同學(xué)們熟練地掌握了這兩種基本解法之后。就能解決一般的二元一次方程組中的題型，但是對(duì)于有些復(fù)雜一點(diǎn)的二元一次方程組中的有些題型，同學(xué)們處理起來(lái)還是有點(diǎn)吃力，根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，和教學(xué)中自己摸索的一些教學(xué)方法，同學(xué)們?cè)诼?tīng)講時(shí)更容易掌握一點(diǎn)。我來(lái)談?wù)勄山舛淮畏匠探M部分難題的一些方法。

二元一次方程組的題型我大致把它們分為三類：兩個(gè)方程，三個(gè)方程，四個(gè)方程。

兩個(gè)方程是我們書(shū)中最長(zhǎng)見(jiàn)的，也是同學(xué)們練的最多的，他的基本解法有“代入法”與“加減法”。

代入消元法即：將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，最后求得方程組的解。

加減消元法即：當(dāng)方程中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊相加或相減來(lái)消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，有些復(fù)雜一點(diǎn)的二元一次方程組我們還可以用換元法。

換元法即：解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

以上的方法都是傳統(tǒng)一點(diǎn)的方法，大部分的老師和學(xué)生都能很好掌握，下面就方程組中有些巧妙的方法我來(lái)稍做介紹。

一、兩個(gè)方程

1.整體代入法

例1、解方程組

解：由①得x-y=1③，將③代入②得4-y=5，即y=-1，代入①得x=0，所以原方程組的解為x=0，y=-1。

2.參數(shù)法

例2、解方程

解：設(shè)3（x-1）=y+5=k，則有

將③和④同時(shí)代入②得

解得k=12，再將k=12代入③④得x=5，y=7。

下面重點(diǎn)來(lái)介紹三個(gè)方程和四個(gè)方程的方程組。

為了便于表達(dá)二元一次方程我把他們做出了如下定義：一個(gè)方程中如果只含有像x，y這樣的兩個(gè)字母我把他們稱之為“簡(jiǎn)單”的方程，下面我都用“簡(jiǎn)單”表述，對(duì)于一個(gè)方程中有三個(gè)或四個(gè)字母的方程我用“難”來(lái)定義他們名字。很明顯要解出一個(gè)方程組的解只要兩個(gè)“簡(jiǎn)單”的方程就可以了。

二、三個(gè)方程

三個(gè)方程可以分為兩種類型：

1.“簡(jiǎn)單”，“簡(jiǎn)單”，“難”型。

例3、如果方程組

的解為方程3x+my=8③的一個(gè)解，求m。

觀察三個(gè)方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡(jiǎn)單”，“簡(jiǎn)單”，“難”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會(huì)了先由兩個(gè)簡(jiǎn)單方程①②解出方程組的解為x=2，y=1，代入方程③就能解得m=2。

例4、若方程組

中x=y③，求k。

觀察三個(gè)方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡(jiǎn)單”，“難”，“簡(jiǎn)單”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會(huì)了先由兩個(gè)簡(jiǎn)單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=3，y=3，代入②解得k=1。

例5、已知二元一次方程2x+y=3①，2x-my=-1②和3x-y=2③有公共解，求m。

觀察三個(gè)方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡(jiǎn)單”，“難”，“簡(jiǎn)單”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會(huì)了先由兩個(gè)簡(jiǎn)單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=1，代入②得m=3。

例6、若方程組

的解x與y互為相反數(shù)③，求a。

我們可以把方程③改寫(xiě)為x+y=0，觀察三個(gè)方程我們可以發(fā)現(xiàn)①②③分別是“簡(jiǎn)單”，“難”，“簡(jiǎn)單”，因此同學(xué)們自然就學(xué)會(huì)了先由兩個(gè)簡(jiǎn)單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=-1，代入②得a=2。

2.“難”，“難”，“簡(jiǎn)單”型。

對(duì)于“難”，“難”，“簡(jiǎn)單”型我們又可以把它們分為四類。

第一類：對(duì)于字母x，y他們的系數(shù)不是1或-1，但是兩個(gè)方程的字母k的系數(shù)是1或-1，這類題型我們可以想辦法先把兩個(gè)方程利用加減法把k約掉，得到一個(gè)“簡(jiǎn)單”的方程，再和另外一個(gè)“簡(jiǎn)單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。

例7、若關(guān)于x、y的二元一次方程組

的解中，x與y的差為7③，求k。

解：②-①得2x+3y=-1④再由③和④組成方程組解得x=4，y=-3，代入①得k=-2。

例8、關(guān)于x、y的二元一次方程組

滿足x+y=12③，求k的值。

解：②-①得x+2y=2④再由③和④組成方程組解得x=22，y=-10，代入①得k=-1。

第二類：對(duì)于字母x，y他們的系數(shù)比較簡(jiǎn)單是1或-1，但是兩個(gè)方程的字母k的系數(shù)比較復(fù)雜，這類題型我們可以想辦法先把兩個(gè)方程利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡(jiǎn)單”的方程就可求出k的值。

例9、若關(guān)于x、y的二元一次方程組

的解也是方程x+2y=15③的解，求k。

解：①+②得x=7k，①-②得y= -2k。把x=7k，y=-2k代入③解得k=5。

例10、如果二元一次方程組

的解是二元一次方程3x-5y-28=2③的一個(gè)解，那么k為多少。

解：①+②得x=2.5k，①-②得y= -1.5k。把x=2.5k，y=-1.5k代入③解得k=2。

第三類：對(duì)于字母x，y，字母k的系數(shù)都比較復(fù)雜，這類題型我們既可以用第一類的方法先把兩個(gè)方程利用加減法把k約掉，得到一個(gè)“簡(jiǎn)單”的方程，再和另外一個(gè)“簡(jiǎn)單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。也可以用第二類的方法利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡(jiǎn)單”的方程就可求出k的值。

例11、如果二元一次方程組

的解滿足二元一次方程x+y=5③，那么k為多少。

第四類：仔細(xì)觀察x和y的系數(shù)特點(diǎn)，有些題目有捷徑可以走。

例如：若方程組

的解滿足x+y=0③，求m。

解：①+②得3x+3y=2+2m，即x+y=（2+2m）/3因?yàn)閤+y=0，所以（2+2m）/3=0，解得m=-1。

三、四個(gè)方程

例12：已知方程組

和方程組

的解相同，求（2a+b）2013的值。

分析：我們觀察①②③④這四個(gè)方程，可知道①③這兩個(gè)方程為“簡(jiǎn)單”，②④這兩個(gè)方程為“難”，因此解題的時(shí)候可以先由兩個(gè)“簡(jiǎn)單”的方程組成方程組求出x和y的值，再代入兩個(gè)“難”的方程就能解出a和b的值了

解：由①③組成方程組得

解得x=2，y=-6，代入②④得

解得a=1，b=-1。所以（2a+b）2013=1

例13；已知方程組

和方程組

有相同的解，求a、b的值。

分析：很明顯本題①④為“簡(jiǎn)單”，②③為“難”。

解：由①④組成方程組得

解得x=3，y=-1，代入②③得

解得a=1，b=2。

以上是我在解二元一次方程組中部分難題的一些想法，不妥之處，請(qǐng)同行指正。

（作者單位：安徽省淮南市龍湖中學(xué)）