王恒亮

摘 要：本文從一道2009年清華大學(xué)自主招生考試試題說起，談?wù)劺脴?gòu)造函數(shù)的思想在各類不等式賽題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)；不等式；凸函數(shù)

例1 （2009年清華大學(xué)自主招生試題）設(shè)x+y=1，求證：對n∈N*，x2n+y2n≥.

解析：根據(jù)待證不等式構(gòu)造f（x）=x2n+（1-x）2n-，下面只需證明f（x）≥0.

本題的證明方法有很多，上述證明過程中通過構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2n+（1-x）2n-來證明不等式應(yīng)該說是很多證明方法中較為簡單的一種方法. 通過合理構(gòu)造函數(shù)，然后討論函數(shù)的最值來得出相關(guān)不等式可以給我們帶來好的效果！事實(shí)上，這種通過構(gòu)造函數(shù)來證明不等式的方法在近幾年國內(nèi)外各級各類數(shù)學(xué)競賽中多有出現(xiàn)，下面再略舉幾例與讀者分享.

例2 （2006年國家隊(duì)集訓(xùn)題）設(shè)a，b，c，d∈R+，a+b+c+d=1，求證：（1-）·（1-）（1-）（1-）≥.

解析：待證不等式具有對稱性，若我們直接構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-，則很難對待證式有所幫助.

若構(gòu)造f（x，y）=（1-）（1-），情況又如何呢？

注意到f（a，b）=（1-）（1-）=1--+=（2-2-2+2）=（a+b+c+d+1-2-2+2）=[c+d+（+-1）2]≥≥.

同理，（1-）（1-）≥，故有（1-）（1-）（1-）（1-）≥. 即證.

例3 （第31屆IMO試題預(yù)選題）設(shè)a，b，c，d∈R+，ab+bc+cd+da=1，求證：+++≥.

解析：初看題目，直接構(gòu)造函數(shù)較為困難，若令a+b+c+d=s，則待證不等式可轉(zhuǎn)化為+++≥，于是我們可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=.

注意到待證不等式中a=b=c=d=時等號成立，不難得出f（x）在[0，s）上為凸函數(shù)且f（x）在

處的切線方程為y=sx-s2，故f（a）≥sa-s2.

同理，f（b）≥·sb-s2， f（c）≥sc-s2，

f（d）≥sd-s2，故f（a）+f（b）+f（c）+f（d）≥s（a+b+c+d）-4·s2====≥===. 即證.

例4 （2010年中國數(shù)學(xué)奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題）設(shè)x，y，z∈R+，x2+y2+z2=3，求證：++≥1.

解析：初看待證不等式與函數(shù)似乎沒有關(guān)系，但由題知0

由待證式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y-f（1）=f ′（1）（x-1），經(jīng)計(jì)算可得該切線方程為y=-，易判斷f（x）在區(qū)間（0，）上為凸函數(shù). 故由幾何意義可知f（x）≥-，即≥-.

同理，≥-，≥-，故++≥-+-+-=-（x+y+z）≥-=-=1. 即證.

注1：本題的證明方法較多，但通過構(gòu)造函數(shù)，討論函數(shù)的凹凸性，結(jié)合幾何性質(zhì)討論函數(shù)在關(guān)鍵點(diǎn)處的大小來得到我們所需要的不等式，這種構(gòu)造方法效果好，但是需要學(xué)生合理地構(gòu)造所需要的函數(shù)，這點(diǎn)需要學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中不斷積累.

注2：若y=f（x）在區(qū)間D上為凸函數(shù)，則由幾何意義可知f（x）≥f（x0）+f ′（x0）·（x-x0），這點(diǎn)在解決凸（凹）函數(shù)時很有意義，這也為我們證明與函數(shù)相關(guān)的不等式指明了方向！