徐龍

摘 要：基于不等式教學對于高中階段數(shù)學教學的重要性，本文從實際案例出發(fā)進行研究，得出不等式教學的幾點方法建議，如調(diào)整充實不等式內(nèi)容、對教材編寫體例進行重新安排、使不等式與函數(shù)學習有效聯(lián)系等.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；不等式；教學方法

高中階段，不等式始終是教學難點內(nèi)容，在新課程改革之后，不等式教學目標難度有所降低，但是更加強調(diào)靈活性，這一改變，在給數(shù)學教師帶來更高要求的同時，也給他們提供了啟發(fā)學生思維的良好機遇. 教師正確認識不等式的意義，并從實際習題教學中得到啟發(fā)，掌握更加適合于高中生的教學方法，無疑是一項非常有必要的工作.

高中階段學習不等式的意義

實際生產(chǎn)生活中，數(shù)量關(guān)系可以概括成相等和不相等兩大類，高中階段的不等式教學內(nèi)容，是基于初中階段不等式基礎(chǔ)而來的，首先我們應(yīng)當認識到不等式作為數(shù)學基礎(chǔ)性理論的地位，它能夠形象刻畫生活中的不等關(guān)系，反映出不同事物量的比較. 在高中階段的數(shù)學教學中，不等式知識包括如何完成不等式證明、如何解不等式以及如何對不等式加以應(yīng)用三個問題，這些問題同其他知識具有緊密聯(lián)系，稱之為“工具型知識”并不為過，比如量的取值范圍、最值界定等內(nèi)容都要以它為基礎(chǔ)，而求取函數(shù)的定義域、函數(shù)最值、數(shù)列項最值、直線斜率、空間線面距離、幾何體體積等，也正是不等式同函數(shù)、解析幾何等的交匯聯(lián)系之處. 再者，不等式知識對于培養(yǎng)學生數(shù)學思維方法是極為有利的，要想真正把高中數(shù)學學好，就一定要用數(shù)學思維去分析問題、解決問題，不等式里面完整地體現(xiàn)出了數(shù)學思想，不等式概念、帶絕對值不等式、帶參數(shù)不等式等問題，皆要求以已知條件為基礎(chǔ)，把研究對象劃分成各個種類加以分別探討，這正是分類討論思維的集中表達；面對各式各樣的不等式，如無理不等式、對數(shù)不等式、絕對值不等式等，可以按照同解原理將其轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)掌握的一元一次或者一元二次不等式再繼續(xù)求解，這種方法體現(xiàn)出的則是化歸思維；在證明不等式時，要以問題結(jié)論為基礎(chǔ)構(gòu)建方程，方程應(yīng)用思維便被完整地表達出來；很多證明不等式的問題同幾何有很大關(guān)系，這些證明問題一時難以用代數(shù)手段解決，此時可以按照不等式特點，形成有幾何圖形參與的數(shù)形結(jié)合思維，解答問題就會輕松得多，以上這幾種方法都是培養(yǎng)高中生數(shù)學思維的優(yōu)勢體現(xiàn).

教學習題舉例

（一）一元二次不等式同方程的聯(lián)系

高考說明對于一元二次不等式提出了明確要求，除了要讓學生掌握最基礎(chǔ)的不等式解法以外，還要求學生能夠做到使不等式與方程、函數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系，后一項要求在教材中體現(xiàn)得并不明顯，對于學生的思維能力、數(shù)學知識綜合運用能力提出了較高要求，因此有必要重點把握. 我們在使學生正確理解不等式與方程、函數(shù)之間的聯(lián)系時，要考慮到兩點內(nèi)容：其一是拋物線開口方向，意即a的準確符號；其二是拋物線同x軸的對應(yīng)位置，意即方程ax2+bx+c=0這一方程的根. 解決這個問題時，數(shù)形結(jié)合同分類討論思維方法得到了集中展現(xiàn)，不等式解集同方程的根有了系統(tǒng)對應(yīng)聯(lián)系，學生在做類似的習題乃至應(yīng)對高考試卷時，都會應(yīng)付自如了.

例1 若不等式ax2+bx+2>0解集是

x

-

，那么a+b的值是多少？

經(jīng)過計算能夠發(fā)現(xiàn)，不等式中的，實際上就是對應(yīng)方程的兩個根，這個關(guān)系規(guī)律（韋達定理）可以幫助學生更深入地了解數(shù)學.

（二）如何實現(xiàn)二元一次不等式組的拓展

二元一次不等式組這一模型對于解決實際問題具有重要價值，它更是處理線性問題的基本工具. 對于高中數(shù)學而言，線性規(guī)劃問題所處地位非常重要，在解決此問題過程時間接帶動了相關(guān)數(shù)學分支技術(shù)的發(fā)展，本身所包括的優(yōu)化方法實際上已經(jīng)表達出了數(shù)形結(jié)合等思想. 近些年來高考中出現(xiàn)線性規(guī)劃問題的頻次很高，而且每年都會從全新角度對這個問題進行考查，這是很值得重視的. 試卷中經(jīng)常出現(xiàn)目標函數(shù)是線性的問題，要求取得線性函數(shù)的極值，此線性函數(shù)即是目標函數(shù)，經(jīng)常使用的形式是z=ax+by，試舉例分析：

例2 若變量x，y可以滿足條件x-y≤2，

x-y≥-1，

x+y≥1， 那么z=2x+3y允許的最大極值是多少？

這是最基本題型，可以采用圖解法解決問題，需要注意的是，當目標函數(shù)所處直線同某邊斜率相近時，若圖形判斷存在困難，則可以考慮間接比較斜率大小，應(yīng)用知識遷移的手段確立最優(yōu)解. 找到目標函數(shù)極值還可以把點坐標代入其中完成，或者應(yīng)用函數(shù)幾何思維加以解決，從中我們可以很清楚地看到各部分知識之間的聯(lián)系功能對于學生掌握不等式所起到的作用.

從教學習題中得到的啟示

（一）應(yīng)加強初高中知識的過渡

若想學好高中階段的不等式知識，必須加強同初中所學數(shù)學知識的聯(lián)系，讓初高中數(shù)學知識實現(xiàn)完美過渡. 很多高一新生在經(jīng)過一段時間的學習以后，就會產(chǎn)生這樣的困惑：為什么高中數(shù)學看起來和初中數(shù)學有很大的區(qū)別呢？很多學生初中時期數(shù)學成績很好，但是到了高一時成績明顯下滑，致使接下來的數(shù)學學習難以為繼，甚至有部分學生失去了學習的信心，這是值得深思的. 通過分析不等式習題，我們應(yīng)當認識到高中數(shù)學同初中數(shù)學有效銜接的價值所在，單以不等式這部分知識點來看，初中涉及了不等式性質(zhì)、簡單不等式解法等內(nèi)容，但是實際應(yīng)用問題并不太多，所以在初高中知識銜接時，要注意以下幾點：第一，讓學生認識到不等式知識同其他數(shù)學知識的聯(lián)系，把函數(shù)、方程和不等式看成一個整體，新課程標準里面已經(jīng)關(guān)注了相關(guān)知識的整合，教師有必要在課堂上加以強調(diào)；第二，注意不等式知識的應(yīng)用功能，新課程標準里面關(guān)注了不等式在描述日常生活不等關(guān)系的工具性作用，教師可以據(jù)此把線性規(guī)劃問題納入到不等式應(yīng)用問題體系中來；第三，限于高中數(shù)學的內(nèi)容繁多，可以把解題技巧要求適當放寬，讓學生將更多的精力用于能力自我培養(yǎng)上.

（二）使學生明確常見題型類別

不等式基礎(chǔ)知識最終可以用來完成不等式證明與求取最值，具有顯著的靈活性特點，利用不等式基礎(chǔ)知識時，學生經(jīng)常會出現(xiàn)一些難以察覺的失誤. 對于教師來說，要隨時對常見題型加以整理，幫助學生認識到哪些方法容易出錯，哪些方法更便于解題.蘇教版高中數(shù)學教材中提出了不等式的系統(tǒng)解法，即比較、分析及綜合三大“法寶”，而對放縮、構(gòu)造等方法則不要求學生掌握. 在教學時教師可以適當點到，但是卻不要太多擴展. 應(yīng)用代數(shù)方法對不等式進行證明，學生有時候不容易看出其中所蘊涵的數(shù)量對比關(guān)系，通過幾何手段將不等式里面的數(shù)量表示出來，則很容易指明不等關(guān)系，讓學生可以直觀地理解問題，對常見類型題加以梳理，應(yīng)當考慮到類型題同幾何解法的關(guān)聯(lián).

（三）合理把握各類知識深度

教師不能按照個人意志隨便提高或者降低教學深度，而是要嚴格以教學大綱為基礎(chǔ)進行教學，比如證明不等式時，需要一些要求技巧的恒等變形方法，教師不能因為恒等變形過于復(fù)雜化而略講，而是要讓學生掌握這部分知識與能力. 實際教學過程中，很多學校和教師都對不等式內(nèi)容加以延伸，并作了專題講座，專題講座內(nèi)容包括有：解一元二次不等式；二次函數(shù)最值及值域；二次函數(shù)的根相關(guān)問題.這些內(nèi)容有些是能夠加以細化的，這里就建議把一元二次不等式相關(guān)知識予以細化，提出更進一步的明確要求，教師可以根據(jù)要求而從容應(yīng)對，學生可以根據(jù)要求而有的放矢. 只有將教學要求明確下來，才可以防止教學過程中無節(jié)制拓展深度，造成精力的浪費. 對此筆者的建議是：第一，將一元二次不等式相關(guān)知識適當向前移，使之同初中不等式知識銜接上，并在其中適當加入帶參數(shù)不等式的知識；安排專門的課節(jié)講解二次函數(shù)區(qū)間值域及最值知識，使學生能夠系統(tǒng)化掌握而不致造成知識的凌亂. 第二，基本不等式強調(diào)的是如何更好處理最值問題，工具性較強，教師應(yīng)當注意相關(guān)實踐知識的拓展. 線性規(guī)劃問題同樣強調(diào)工具性，教學時可以適當增加深度，添入一些以平面區(qū)域法解決斜率的問題，以利于學生的思維方式培養(yǎng).

總結(jié)

本文對高中數(shù)學不等式進行了簡單研究，重點是基于不等式的意義，從常見考點的類型題出發(fā)，提出幾點教學改革建議. 眾所周知，高考對于學生的知識考查，已經(jīng)從側(cè)重技巧轉(zhuǎn)而側(cè)重靈活性與創(chuàng)新意識，復(fù)雜的題型來源于基本的理論知識，教師教給學生的，正應(yīng)當是“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的能力.