趙穎穎

摘 要：新課程下的數(shù)學(xué)教學(xué)活動與信息技術(shù)整合程度不斷提高，在教學(xué)中利用各種信息技術(shù)可增強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，開闊數(shù)學(xué)視野，激活數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)能力，從而有效提高教學(xué)效率. 本文基于數(shù)學(xué)實驗探究，創(chuàng)設(shè)利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實驗情境，讓學(xué)生自主地“做數(shù)學(xué)”， 使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).

關(guān)鍵詞：冪函數(shù)；教學(xué)設(shè)計；反思；數(shù)學(xué)實驗

筆者近日就《冪函數(shù)》（蘇教版教材）內(nèi)容開設(shè)了一節(jié)公開課，教學(xué)設(shè)計中基于數(shù)學(xué)實驗，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，從中體會了數(shù)學(xué)概念核心的發(fā)展與數(shù)學(xué)的發(fā)展的過程. 現(xiàn)將本節(jié)課始末呈現(xiàn)出來，與同行們交流.

設(shè)計前的幾點思考

1. 找一個怎樣的實例？ 如何自然地引出冪函數(shù)的概念？

課本選擇了商品的價格和需求的關(guān)系這樣一個生活實例，根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)得到價格x與需求量y之間近似地滿足關(guān)系：y=114.8764x-0.3815192，指出這個關(guān)系式與y=x-0.3815192是相關(guān)聯(lián)的，它不是指數(shù)函數(shù)，從而引出冪函數(shù)的概念. 這里有兩個問題，一是價格x與需求量y的關(guān)系式是怎樣得到的？二是有沒有其他實例更貼切于冪函數(shù)的函數(shù)模型.

2. 怎樣由“數(shù)”到“形”？

教材中的例1是通過對式子結(jié)構(gòu)的分析，得到函數(shù)的定義域和奇偶性的，這與通過對函數(shù)的解析式的研究得到函數(shù)的常見性質(zhì)是一致的，也就是通過“數(shù)”的研究得到函數(shù)的常見性質(zhì). 接著給出一個思考，問函數(shù)的單調(diào)性如何，這時發(fā)現(xiàn)用“數(shù)”比較麻煩，為“形”的研究做了很好的引導(dǎo)，畫出函數(shù)圖象后，回過頭來輕松得到函數(shù)的定義域和奇偶性.這種由“數(shù)”到“形”及由“形”到“數(shù)”，進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法.

3. 用什么辦法指導(dǎo)學(xué)生歸納出冪函數(shù)的共同特征？

面對多個不同冪函數(shù)圖象，怎樣發(fā)現(xiàn)它們的共同特征，體現(xiàn)了一種對“數(shù)據(jù)”的處理分析和歸納總結(jié)的能力. 當(dāng)y=xα中的α不斷變化時，它的圖象是怎樣變化的，它們又有怎樣的共同特性？可以分α<0，0<α<1，α>1三種不同情形來探討.

4. 現(xiàn)代教育技術(shù)怎樣使用最有效？

我們可以通過Excel進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，得到x與y的函數(shù)關(guān)系式（在擬合過程中，可分別嘗試用指數(shù)、二次多項式、乘冪），也可通過用幾何畫板動態(tài)地顯示出函數(shù)y=x2，y=x3，y=x的圖象，以及α<0，0<α<1，α>1三種不同情形下的冪函數(shù)的圖象，從而發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)圖象有什么共同特性. 現(xiàn)代教育技術(shù)的使用，有助于課堂教學(xué)效益的提高，但不能在使用現(xiàn)代教育技術(shù)的時候，忽視教師和學(xué)生的主體作用.

教學(xué)設(shè)計

1. 問題情境

由“神六升空”引入研究天體運動，研究太陽系八大行星.

設(shè)計意圖： 興趣是最好的老師.如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半. 因此選擇學(xué)生感興趣的問題引入，能夠激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

表1中給出了八大行星離太陽的距離和它們運行的周期，試建立這兩組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系：

在Excel工作表中輸入上述數(shù)據(jù)，作出散點圖后觀察散點趨勢，嘗試用指數(shù)、對數(shù)、乘冪和二次多項式擬合. 與指數(shù)、對數(shù)、二次多項式比較，用乘冪擬合得到的R2值為1，因此用乘冪進(jìn)行擬合最恰當(dāng). 再進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)，運行周期T與d滿足關(guān)系T≈0.2001d1.4996≈0.2d，這就是開普勒第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了“公轉(zhuǎn)時間的平方與平均距離的立方成正比”這一天體運動定律.

資料：開普勒1609年發(fā)表的偉大著作《新天文學(xué)》中提出了他的前兩個行星運動定律. 十年后開普勒發(fā)表了他的行星運動第三定律：行星距離太陽越遠(yuǎn)，它的運轉(zhuǎn)周期越長；運轉(zhuǎn)周期的平方與到太陽之間距離的立方成正比.有關(guān)開普勒的介紹詳見http：//baike.baidu.com/view/4416.htm.

設(shè)計意圖：力求通過信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)的興趣.通過開普勒第三定律發(fā)現(xiàn)所用時間與利用Excel探求所用時間的對比，體會現(xiàn)代技術(shù)的力量，鼓勵學(xué)生把現(xiàn)代技術(shù)作為學(xué)習(xí)研究和探索解決問題的工具.

2. 建構(gòu)數(shù)學(xué)

通過學(xué)生觀察、對比，發(fā)現(xiàn)y=x，這是一個區(qū)別于指數(shù)、對數(shù)、二次多項式的函數(shù)，我們把這樣的函數(shù)定義為冪函數(shù).

定義：一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).

設(shè)計意圖：通過與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)定義的類比，得出冪函數(shù)的定義.

思考1：判斷下列函數(shù)中哪些是冪函數(shù)？

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問題1：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系？（組織學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)的概念，明確二者的區(qū)別，得出結(jié)論）

結(jié)論：冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是我們高中數(shù)學(xué)中研究的兩類基本初等函數(shù)，從它們的解析式來看有如下區(qū)別：對冪函數(shù)來說，底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)；對指數(shù)函數(shù)來說，指數(shù)是自變量，底數(shù)是常數(shù).

設(shè)計意圖：通過與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)對比，加深學(xué)生對冪函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解.

3. 數(shù)學(xué)運用

問題2：我們已經(jīng)對冪函數(shù)的概念有了一定的認(rèn)識，能否舉一些冪函數(shù)的例子？

由學(xué)生舉例，略.

根據(jù)前面我們學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的經(jīng)歷， 我們下面應(yīng)該研究它們的圖象和性質(zhì).

問題3：我們應(yīng)怎樣研究冪函數(shù)？

例如，用Excel描點畫出函數(shù)y=x3的圖象（在作出x≥0部分圖象后，可進(jìn)一步提問）

問題4：用Excel描點畫出x≥0時函數(shù)的圖象后，能否不用描點法作出x<0時函數(shù)的圖象？

引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的奇偶性作圖.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到對于冪函數(shù)，可以先利用解析式研究函數(shù)的奇偶性，然后再研究圖象、單調(diào)性等性質(zhì).

思考2：寫出下列函數(shù)的定義域，并指出他們的奇偶性：

（1）y=x3；（2）y=x；（3）y=x-2.

因此在利用解析式討論冪函數(shù)的奇偶性后，我們只需研究冪函數(shù)在第一象限的圖象與性質(zhì).

問題5：研究冪函數(shù)在第一象限圖象與性質(zhì).

在這個環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生自由選擇不同的冪函數(shù)，利用幾何畫板中的函數(shù)的作圖工具作圖，通過作圖，探究它們的圖象與性質(zhì)，并將自己的探究結(jié)果記錄下來，在研究過程中，學(xué)生會選擇冪指數(shù)不同的多個冪函數(shù)進(jìn)行研究，分別記錄它們的圖象與性質(zhì)，并在探究過程中對冪指數(shù)的作用進(jìn)行初步的探索. （教師可根據(jù)實際情況對學(xué)生小組進(jìn)行指導(dǎo)）

設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，弄清性質(zhì)的來龍去脈，是為了更好揭示冪函數(shù)的本質(zhì)屬性，傳統(tǒng)教學(xué)往往讓學(xué)生在解題中領(lǐng)悟. 為了扭轉(zhuǎn)這種方式，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，再利用類比的思想、小組合作的形式通過圖象主動探索出冪函數(shù)的性質(zhì).

同時，教師可以對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的有機滲透（從特殊到一般，再從一般到特殊，數(shù)形結(jié)合、分類討論等），考慮到各組的水平可能有所不同，教師應(yīng)巡視，對個別組可做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo). 通過自主探索、合作學(xué)習(xí)，不僅讓學(xué)生充當(dāng)學(xué)習(xí)的主人，更可加深學(xué)生對所得到結(jié)論的理解.

問題6：組織小組交流冪函數(shù)在第一象限的圖象與性質(zhì).

在這一環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將冪函數(shù)在第一象限不同形態(tài)的圖象畫出來，并請一名學(xué)生將圖象畫到黑板上，通過對學(xué)生所畫圖象的糾錯與分析，教師和學(xué)生共同歸納出冪函數(shù)在第一象限的圖象與性質(zhì)：

（1）圖象必過（1，1）點.

（2）當(dāng)α>1時，過（0，0）點，且y隨x的增大，函數(shù)圖象向y軸方向延伸，圖象是下凸的. 在第一象限是增函數(shù).

（3）當(dāng)0<α<1時，隨x的增大，函數(shù)圖象向x軸方向延伸，函數(shù)圖象是上凸的.在第一象限是增函數(shù).

（4）當(dāng)α<0時，隨x的增大，函數(shù)圖象與x軸、y軸無限接近，但永不相交.在第一象限是減函數(shù).

（5）α=1和α=0的情況. （略）

設(shè)計意圖：通過小組交流、教師的引導(dǎo)，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

思考3：不借助計算機，你能畫出函數(shù)y=x的圖象嗎？

思考4：已知冪函數(shù)y=xm-3（-3

設(shè)計意圖：利用練習(xí)鞏固新知識，加深理解.

4. 回顧小結(jié)

冪函數(shù)的概念，幾個簡單的冪函數(shù)的圖象，冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì).

教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實驗情境，讓學(xué)生自主地“做數(shù)學(xué)”，將傳統(tǒng)意義上的“學(xué)習(xí)”數(shù)學(xué)改變?yōu)椤把芯俊睌?shù)學(xué)，從而使傳授知識與培養(yǎng)能力融為一體，在轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式的同時學(xué)會思考. 新課標(biāo)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時通過實例了解它的概念，結(jié)合函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的圖象，了解它們的變化情況，這就需要我們在教學(xué)過程中不要拔高冪函數(shù)的學(xué)習(xí)要求，而應(yīng)幫助學(xué)生能正確畫出上述幾個函數(shù)的圖象，也能說出它們圖象的共同特性. 冪函數(shù)是區(qū)別于學(xué)生所掌握的幾種函數(shù)的又一新的函數(shù)，形式上與指數(shù)函數(shù)相似. 兩個函數(shù)概念的辨析是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，這就要求我們在講解概念時到位，設(shè)計一些小題訓(xùn)練使學(xué)生對概念有清晰認(rèn)識. 借助冪函數(shù)圖象的變化情況，學(xué)生能正確地畫出一個給定α?xí)r的冪函數(shù)圖象是本節(jié)課的最終目標(biāo)，使學(xué)生能通過使用現(xiàn)代技術(shù)（幾何畫板、Excel等）自主探究數(shù)學(xué)問題，掌握獲取知識的方法.

本設(shè)計一方面重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是活動的過程，使學(xué)生有機會經(jīng)受足夠的親身體驗，親歷知識的自主建構(gòu)過程；使學(xué)生學(xué)會從具體情境中提取適當(dāng)?shù)母拍?，從觀察到的實例中進(jìn)行概括，進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)驗證，并作更高層次的數(shù)學(xué)概括與抽象，從而學(xué)會數(shù)學(xué)地思考. 另一方面，本設(shè)計注重創(chuàng)設(shè)機會，使學(xué)生有機會看到數(shù)學(xué)的全貌，體會數(shù)學(xué)的全過程. 整堂課的設(shè)計圍繞研究冪函數(shù)的圖象展開，以問題“研究冪函數(shù)性質(zhì)”為主線，既讓學(xué)生清楚如何研究函數(shù)，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，又讓學(xué)生初步學(xué)會如何應(yīng)用規(guī)律解決問題，體會知識的價值，增強求知欲.