王景

摘 要：數(shù)學概念是數(shù)學基礎(chǔ)知識的核心. 脫離了數(shù)學概念，便無法構(gòu)成數(shù)學思想和數(shù)學方法. 而概念教學的核心是將凝結(jié)在數(shù)學概念中的數(shù)學家的思維打開，以豐富的實例為載體，引導學生觀察、分析并歸納得出數(shù)學概念；而在數(shù)學教學課堂上實現(xiàn)這一核心的途徑通常是問題探究教學法. 本文以筆者在全國的一堂展示課為例展示了“問題探究為軸，概念形成自然”的教學設(shè)計，旨在與廣大同行交流.

關(guān)鍵詞：數(shù)學概念；概念教學；問題探究

2012年底筆者有幸參加了“第六屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動”，該活動意在推動我國高中數(shù)學教學研究與改革，提高青年數(shù)學教師的專業(yè)水平和教學能力，鼓勵青年數(shù)學教師樹立先進的數(shù)學教育思想，創(chuàng)新教學模式和教學方法. 筆者在該活動中執(zhí)教“任意角的三角函數(shù)”第一課時（湘教版），并榮獲一等獎. 本文記錄了筆者在準備過程中的一些膚淺分析和感悟，有些觀點授益于重慶育才中學的資深教師和重慶市教科院的專家，在此深表感謝.

對教材的理解

1. 教學內(nèi)容分析

任意角三角函數(shù)是在學習了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之后的另一新的函數(shù)模型，我們可以用函數(shù)的概念去幫助學生理解任意角三角函數(shù). 對于學生的學習來說，這是一個下位遷移的過程. 此外，學生已有的銳角三角函數(shù)概念又為學生學習任意角三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ). 對于學生的學習來說，這是一個上位遷移的過程.

但是，銳角三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不能直接推廣為任意角三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，而需要做一定的鋪墊. 如何鋪墊才能使教學過程自然順暢，使學生順理成章地接受任意角三角函數(shù)的概念，就成為本節(jié)課教學設(shè)計中需要解決的關(guān)鍵問題.

2. 教學目標分析

三角函數(shù)是基本的初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學模型. “任意角三角函數(shù)的定義”是在學生初中數(shù)學已經(jīng)學習過“銳角三角函數(shù)”、高中進一步學習“用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)”，并且剛剛“了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化”的基礎(chǔ)上來進行學習的內(nèi)容. 因此，本節(jié)課的教學知識屬于典型的“數(shù)學概念學習”課.

作為“任意角三角函數(shù)的概念”的第一節(jié)課，結(jié)合學生實際，利用坐標的比值定義三角函數(shù)，并進一步理解任意角三角函數(shù)的定義，是本節(jié)課的重點，也是難點. 要實現(xiàn)這個目標需要設(shè)計、提供適當?shù)钠脚_，讓學生感受到在角的概念的擴展背景下，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性.

3. 學生學情分析

學生已有的知識基礎(chǔ)是函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)、角的概念已經(jīng)從周角推廣到了任意大小的角等. 但在初中數(shù)學里對銳角三角函數(shù)更多地強調(diào)的是銳角三角函數(shù)值，至于銳角與其三角函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系所刻畫的函數(shù)關(guān)系，在教材中體現(xiàn)得并不充分，這將對任意角三角函數(shù)概念的提出形成制約. 我們需要提供平臺，幫助學生理解三角函數(shù)的實質(zhì)即為函數(shù)關(guān)系.

4. 教學方法分析

結(jié)合本節(jié)課的概念性特征，教學中注重以“發(fā)現(xiàn)法”教學為主，問題探究為軸，創(chuàng)設(shè)情境，引導學生自主探索，合作探究，努力讓每一位學生參與到新概念的發(fā)生發(fā)展過程中去. 同時，輔以“小先生制”教學，組織學生自己上臺教同學，加強學生間思維的交流與碰撞.

對于探究課，筆者不主張課前預習. 因此，本堂課是在學生沒有預習的情況下，以生活中的水車問題切入課題，用“發(fā)現(xiàn)式教學法”二次引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)了學習興趣.

教學過程

1. 情景引入（第一次引發(fā)認知沖突）

如圖1所展示的圖片是中國古代農(nóng)業(yè)灌溉的重要工具——水車，至今已有1700余年歷史. 現(xiàn)在它更多地以一種風景點綴著我們的生活. 其實，在這種一圈圈轉(zhuǎn)動的運動形式背后，蘊涵了豐富的數(shù)學內(nèi)涵.

引例：

如圖2，半徑為1的水車中心O到水面的距離為h0=0.9，點P和點O在同一水平線上，當點P逆時針旋轉(zhuǎn)α時，點P離水面的距離H是多少？比如，α=時，H為多少？α=呢？

設(shè)計意圖：對于α=，是否有三角函數(shù)？怎么定義？怎么計算？引發(fā)第一次認知沖突，初步激發(fā)學習興趣.

2. 復習銳角三角函數(shù)（進一步引發(fā)認知沖突）

提問1：請大家回顧一下，銳角α的正弦、余弦和正切分別是如何定義的？

（注）：教師根據(jù)情況啟發(fā)學生：初中數(shù)學里銳角三角函數(shù)是在什么背景下定義的？（在直角三角形中定義），如何構(gòu)造直角三角形？

圖3

設(shè)計意圖：由于從“銳角三角函數(shù)”到“任意角三角函數(shù)”是一個上位遷移的過程，因此回顧和加深對銳角三角函數(shù)的理解顯得十分必要.

探究1：角α的三角函數(shù)值與所取的點P在終邊的位置有關(guān)系嗎？（無關(guān)）為什么？

提問2：（同步動畫演示）當角α終邊從第一象限轉(zhuǎn)動到第二象限時，如α=時，圖3中的MP，OM，OP還分別是角α的對邊、鄰邊、斜邊嗎？α還是直角三角形的一個內(nèi)角嗎？這說明了什么？

設(shè)計意圖：通過幾何畫板讓學生感受當角推廣到第二象限乃至任意角的情況時初中定義的局限性，引發(fā)第二次認知沖突.通過一次又一次的認知上沖突，讓學生帶著強烈的獲取新知的迫切需要，充分激發(fā)學生的學習興趣.

3. 探究銳角三角函數(shù)值的坐標表示及其推廣

探究2：不妨先回到銳角的情況，能否找到某種新的方式來重新定義銳角的三角函數(shù)值，使得它既與初中的定義吻合，又能推廣到剛才所說的第二象限角，乃至任意角？

（注）：教師可以根據(jù)情況啟發(fā)學生，直至學生探究出合理的數(shù)量表示，比如點P的坐標.

（1）直角三角形的邊MP，OM，OP還有沒有其他的數(shù)量可以表示？

（2）注意直角坐標系的背景下可以考慮什么數(shù)量來幫助我們研究？

下面我們利用點P的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)值（學生探究、書寫）

圖4

設(shè)P（x，y），sinα=；cosα=；tanα=.

提問3：如果按這種方式用坐標表示角的三角函數(shù)值，在銳角取值范圍內(nèi)和之前的定義吻合嗎？能推廣到剛才所說的第二象限角，乃至任意角嗎？

設(shè)計意圖：引導學生理解此種表示方式不僅可以表示銳角的三角函數(shù)，也能表示任意角的三角函數(shù)，不再面臨前面所述的局限性.

為了簡化，令r=OP=，定義角α的正弦值、余弦值、正切值分別為：

sinα=，cosα=，tanα=.

4. 任意角的三角函數(shù)

探究3：通過前面的學習我們已經(jīng)知道了銳角α的三角函數(shù)值和點P的位置無關(guān). 如果角α是任意角呢，其三角函數(shù)值與點P位置有關(guān)嗎？

設(shè)計意圖：讓學生明白任意角α的三角函數(shù)值與點P的位置無關(guān)，只與角α有關(guān).

探究4：既然角α的三角函數(shù)值與點P的位置無關(guān)，只與角α有關(guān).

那么對任意給定的每一個角α，都有唯一的sinα，cosα，tanα與之對應(yīng)？為什么？

設(shè)計意圖：引導學生分析sinα，cosα，tanα的定義域，從而得出任意角三角函數(shù)的定義

三角函數(shù)定義： “對任意給定的一個角α，有唯一的比值（即正弦值sinα）與之對應(yīng)”.

5. 知識應(yīng)用

例1 已知角α終邊經(jīng)過點P（4，-3），求角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值.

例2 求π，的正弦、余弦、正切函數(shù)值.

例3 本節(jié)課情景引入中提出的水車問題，其中sin是多少？

練習：計算出下列角的三角函數(shù)值.你能從中得出什么結(jié)論？

sin，sin

-，sin.

結(jié)論：與角α終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. 三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型.

6. 小結(jié)（學生總結(jié)回答）

7. 課外探究

試探討如何利用單位圓確定一個角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值？

8. 作業(yè)

課本（湘教版數(shù)學第二冊16頁練習第1、2題）

幾點認識和反思

1. 對概念教學的認識

人教社章建躍曾說過：概念教學的核心是將凝結(jié)在數(shù)學概念中的數(shù)學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學概念. 因此，目前很多教師舍不得在概念、原理的發(fā)生發(fā)展過程上花時間，給學生吃“壓縮餅干”，概念課用“一個定義，三項注意”幾分鐘講完后就用解題教學鞏固這種輕過程重結(jié)果的教學方法是殺雞取卵式的有違目前的新課程理念.

“沒有過程=沒有思想”，數(shù)學思想方法孕育于知識的發(fā)生發(fā)展過程中. “思想”是概念的靈魂，是“數(shù)學素養(yǎng)”的源泉，是從技能到能力的橋梁，沒有思想就難以理解概念的實質(zhì). 缺乏數(shù)學思想方法的紐帶，概念間的關(guān)系無法認識、聯(lián)系也難以建立，導致學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標”都會大打折扣；而“過程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺，是思維訓練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學能力的土壤.

沒有“過程”的教學把“思維的體操”降格為“刺激—反應(yīng)”訓練，是教育功利化在數(shù)學教學中的集中表現(xiàn).

因此對于概念課，筆者認為重點應(yīng)該是讓學生參與定義的過程，讓學生體會到概念發(fā)生發(fā)展過程，而不是教概念本身或者應(yīng)用概念. 本節(jié)課也是基于這一基本認識并結(jié)合湘教版教材的教學體系而設(shè)計的以“問題探究為軸”讓學生感受“概念形成自然”.

2. 對本節(jié)課的幾點反思

（1）教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎”. 其實，學生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”. 因此，高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學課程標準，了解初中教材，了解學生在初中學習過哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學目標是什么，應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學習高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊.

（2）引入方面，水車問題雖然是生活中一個任意角問題，但是課堂上耗時過多，并且與本節(jié)課任意角三角函數(shù)的定義聯(lián)系不大. 或許可以嘗試直接引入“上節(jié)課我們學習了任意角，這節(jié)課我們接著學習任意角的三角函數(shù)”

（3）為什么要在直角坐標系中來研究三角函數(shù)？這個問題筆者在上課時回避掉了，直接在直角坐標系中給出的銳角，回顧初中知識也是直接在坐標系中進行的. 其實在回顧初中銳角三角函數(shù)后，教師可嘗試這樣引導學生：“由初中定義可看出，直角三角形是定義三角函數(shù)的一個背景，但是角的取值范圍推廣到任意角后，這個背景顯然不夠用了，能否尋找一個新的背景來研究任意角的三角函數(shù)？”由于之前任意角的概念本就是在直角坐標系中給出的，所以學生應(yīng)該很自然能夠想到直角坐標系.

（4）從“邊的比例到坐標的比例”這個過程應(yīng)該花更多的時間更充分地讓學生去探究摸索，并且在學生探究出坐標定義后應(yīng)該讓學生比較坐標定義相對于邊定義的優(yōu)越性，除了坐標定義適用范圍更廣之外，它還是數(shù)與形的完美結(jié)合且計算方便. 這些應(yīng)讓學生慢慢理解體會，從而進一步感受這樣定義的合理性.

總結(jié)

張景中院士把學數(shù)學比作吃核桃，作為教師，筆者認為需要做的不是直接把核桃砸開讓學生吃，而是應(yīng)該教會學生如何砸核桃. 對于概念教學，從數(shù)學教學的長遠利益出發(fā)，培養(yǎng)學生的思維能力需要廣大一線教師不僅要讓學生知道“是什么”，還要明白“為什么”，在課堂上以“問題探究為軸”，讓學生理解“概念形成自然”而不是天上掉下的林妹妹來得突然.