賀文杰

摘 要：左右極限的概念和計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，可并不是所有函數(shù)都是左右極限相等，求有些函數(shù)的極限需要考慮其左右極限。本文總結(jié)了求極限需考察左、右極限的幾種函數(shù)。

關(guān)鍵詞：極限；左右極限；函數(shù)

求函數(shù)極限的方法很多，有些函數(shù)可直接計(jì)算極限。另外，還有些函數(shù)需要分別考查兩個(gè)單側(cè)極限，即左、右極限，然后利用函數(shù)極限存在的充分必要條件判斷。若左、右極限相等，則函數(shù)在該處的極限存在；否則不存在。需考察左、右極限的函數(shù)求極限問題是教學(xué)的難點(diǎn)，為了便于掌握，將常見題型分析如下：

一、求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限

一般地，若某點(diǎn)的兩側(cè)是同一表達(dá)式，則可直接計(jì)算雙側(cè)極限，如果是分段函數(shù)的區(qū)間分段點(diǎn)，由于分段點(diǎn)的兩側(cè)具有不同的表達(dá)式，因而左右極限有可能不同，必須考察左、右極限。求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限時(shí)，不必考慮函數(shù)在分段點(diǎn)的取值情況，只需分析在分段點(diǎn)左右兩側(cè)的取值情況即可。

例1：函數(shù)f（x）=x+1 x>1x-1 x≤1，問■f（x）在x=1處的極限是否存在。

解：f（x）在x=1處的右極限f（x）=■x+1=2，

f（x）在x=1處的左極■f（x）=■x-1=0，

因?yàn)椤?f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=1處的極限不存在。

二、求含絕對(duì)值的函數(shù)的極限

含絕對(duì)值的函數(shù)在求極限時(shí)，一般可先去掉絕對(duì)值，改寫為分段函數(shù)，然后再考察函數(shù)在分段點(diǎn)的左、右極限。

例2：考察函數(shù)f（x）=■在x=0處的極限。

解：將|x|改寫為分段函數(shù)|x|=-x，x<1x，x≥0，

所以■f（x）=■■=-1，■f（x）=■■=-1

因?yàn)椤鰂（x）≠■f（x），所以f（x）在x=0處的極限不存在。

三、求取整函數(shù)的極限

由[x]≤x<[x]+1或x-1<[x]≤x知，計(jì)算整數(shù)點(diǎn)的極限時(shí)，應(yīng)先考察其左、右極限。如它們存在且相等，則極限存在；否則極限不存在。

例3：討論極限■（■-[■]）是否存在。

解：當(dāng)x>1時(shí)，有0<■<1？圯[■]=0，于是有■（■-[■]）=0；當(dāng)x<1時(shí)，有1<[■]<■，由迫斂性得■[■]=1，從而有■（■-[■]）=0；綜上所知，極限■（■-[■]）不存在。

四、求當(dāng)x趨向無窮時(shí)含ax（a>0且a≠1）的函數(shù)極限，或求當(dāng)x趨于零時(shí)含a■的函數(shù)的極限

因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，■ax=0或■a■=0，■ax=+∞或■a■=+∞，當(dāng)0

■ax=+∞或■a■=+∞，

所以■ax或■a■不存在。故需要討論左右極限。

例4：討論f（x）=■）在x=0處的極限是否存在。

解：當(dāng)x→0-時(shí)■2■=■2u=0，當(dāng)x→0+時(shí)■2■=■2u=+∞，所以■f（x）=■■=■=-1，■f（x）=■■=■=1，

因此該函數(shù)在x=0處的極限不存在。

五、求含arctanx（arccotx）的函數(shù)x趨向無窮的極限，或含arctan■（arccot■）的函數(shù)x趨于零的極限

這是因?yàn)楫?dāng)■arctanx=π/2，當(dāng)■arctanx=-π/2，故■arctanx不存在。同樣■arccotx=π，■arccotx=0，故■arccotx不存在。

同理當(dāng)x→0+和x→0-時(shí)arctan■（arccot■）的極限值不相等，故需討論左、右極限。

例5：求極限■■的值。

解：因?yàn)椤觥?■=0，■■=■=0，該函數(shù)的左右極限存在且相等，故所求極限存在且■■=0。

六、求含偶次方根的函數(shù)的極限

由于開偶次方根的結(jié)果為非負(fù)數(shù)，求x→x0或x→∞時(shí)的極限，應(yīng)分x→x0+或x→∞和x→x0-或x→-∞兩種情況討論。

例6：求■x（■-x）

解：因?yàn)椤鰔（■-x）=■■

=■■=■，■x（■-x）

=■■=■■=∞，故所求極限不存在。

左、右極限的概念和計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，這部分內(nèi)容概念抽象，題型靈活多樣，需要及時(shí)總結(jié)歸納。只有深刻理解基本概念，掌握好各種題型的解題技巧，才能找到解決問題的切入點(diǎn)和突破口。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1997.

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