閆波 徐一千

內(nèi)插法是數(shù)學(xué)中最常用的工具之一，也是函數(shù)逼近的重要方法，在統(tǒng)計學(xué)、天文學(xué)、工程經(jīng)濟(jì)學(xué)等多學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。內(nèi)插法是已知若干自變量所對應(yīng)的函數(shù)值，求這些自變量之間其他自變量對應(yīng)的函數(shù)值的一種方法。按函數(shù)的性質(zhì)，內(nèi)插法可分為線性內(nèi)插法、變率內(nèi)插法和高次內(nèi)插法。本文將從線性內(nèi)插法的原理入手，重點介紹其在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。

一、線性內(nèi)插法的原理

線性插值是數(shù)學(xué)、工程經(jīng)濟(jì)學(xué)、計算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域廣泛使用的一種簡單插值方法。假設(shè)已知AB兩點坐標(biāo)分別為（X1，Y1）、（X2，Y2），設(shè)C（X0，Y0）

二、線性內(nèi)插法在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用

線性內(nèi)插法在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用很廣泛，如投資回收期、內(nèi)部收益率、復(fù)利系數(shù)及累計概率等都可以利用線性內(nèi)插法求解，同時利用這種方法還可以避免記憶一些復(fù)雜繁瑣的公式。下面結(jié)合實例來介紹內(nèi)插法在工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的具體應(yīng)用。

（一）求系數(shù)

1、非整數(shù)利率

在復(fù)利因子的附表中，我們可以輕松找到一些整數(shù)利率的復(fù)利系數(shù)，但是卻無法得到非整數(shù)利率的復(fù)利系數(shù)，利用線性內(nèi)插法就可以解決這個問題。

例1：求（F/P，5.5%，9）。在復(fù)利因子的附表中，通常我們可以查到（F/P，5%，9）=1.5513，（F/P，6%，9）=1.6895，在不使用公式法求解的情況下，可以利用線性內(nèi)插法求取。

解：（F/P，5.5%，9）=+1.5513=1.6204

2、非整數(shù)年數(shù)

工程經(jīng)濟(jì)學(xué)中一些非整數(shù)年份求解也可以利用線性內(nèi)插法。

例2：求（F/P，8%，7.9）。在復(fù)利因子的附表中，通常我們可以查到（F/P，8%，7）=1.7138，（F/P，8%，8）=1.8509，在不使用公式法求解的情況下，可以利用線性內(nèi)插法求取。

解：（F/P，8%，7.9）= =1.8372

（二）求年數(shù)

例3：已知（P/A，10%，n）=4，求n。

解：查表可知（P/A，10%，6）=4.3553，（P/A，10%，5）=3.7908

利用線性內(nèi)插法可得n=+5=5.37

（三）求利率

例4：已知（P/A，i，9）=5，求i。

解：查表可知（P/A，12%，9）=5.3282，（P/A，14%，9）=4.9164

利用線性內(nèi)插法可得i =+12%=13.59%

（四）求投資回收期

在多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)投資回收期時常因記不住公式，求解時出現(xiàn)困難。如果內(nèi)利用線性內(nèi)插法，既避免了記憶繁瑣的公式，又容易理解。

例5：某項目現(xiàn)金流量表如下表，求該項目靜態(tài)和動態(tài)投資回收期。（ic =10%）

解：利用線性內(nèi)插法可得：

Pt =+4=4.88年

Pt ==5.84年

（五）求內(nèi)部收益率

對于內(nèi)部收益率IRR的求解也是很多學(xué)生頭疼的地方，如果利用線性內(nèi)插法，既無需背誦公式，又容易理解。

例6：某項目當(dāng)i =20%時，NPV=3.19萬元，當(dāng)i =25%時，NPV=-8.11萬元，求該項目的IRR。

解：IRR=+20%=21.41%

（六）求凈現(xiàn)值≥0的概率

在風(fēng)險估計中，要計算項目凈現(xiàn)值≥0的概率，同樣也可以使用線性內(nèi)插法。

例7：某項目凈現(xiàn)金流量未來可能發(fā)生7種狀態(tài)，如下表，求P（NPV≥0）。

解：P（NPV<0）=+0.21=0.243

P（NPV≥0）=1- P（NPV<0）=0.757

三、結(jié)語

線性內(nèi)插法計算簡單，容易理解。熟練掌握內(nèi)插法的使用方法和技巧，對于學(xué)好該課程將帶來極大的方便。本文基于作者對于工程經(jīng)濟(jì)學(xué)的多年教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)，將線性內(nèi)插法在本學(xué)科的使用進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納，希望對大家有所幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉曉君主編《建筑技術(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)》，西安，中國建筑工業(yè)出版社，2003年；

[2]劉穎春，閆波《工程經(jīng)濟(jì)學(xué)》中國電力出版社，2010