銀建華

摘要：給出了賦值一組參數(shù)后的投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型與均值—絕對(duì)離差模型有相同投資組合分配向量的證明。利用情景分析的方法，建立了兩期投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型。

關(guān)鍵詞：有效投資組合 情景分析 統(tǒng)一模型

一、引言

投資組合理論是關(guān)于如何尋找資產(chǎn)的有效投資組合的理論。目前有很多產(chǎn)生有效投資組合的方法。在收益分布對(duì)稱的情況下，用方差來表示風(fēng)險(xiǎn)的Markowitz的均值-方差法（Mean–Variance）MV。經(jīng)Konno和Yamazaki修改MV方法后得到均值-絕對(duì)離差方法（Mean-Absolute Deviation）MAD。在收益分布不對(duì)稱的情況下，一個(gè)是Markowitz 的均值-半方差法（Mean-Semivariance）MSV， 另一個(gè)是Harlow 的使用下滑風(fēng)險(xiǎn)刻畫風(fēng)險(xiǎn)的均值-下滑風(fēng)險(xiǎn)方法（Mean-Downside Risk）MDR。分別修改MSV和MDR方法，Duarte和Maia 得到均值-絕對(duì)半離差方法（Mean-Absolute Semideviation）MASV和均值-絕對(duì)下滑風(fēng)險(xiǎn)方法（Mean-Absolute Downside Risk）MADR。

1999年，Duarte提出了投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型統(tǒng)一了上面提出的六種模型。通過給模型三個(gè)參數(shù)賦值0或1就能得到具體六種模型之一。Duarte的投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型只考慮了單期的投資組合問題。然而，投資行為，特別是機(jī)構(gòu)投資者的投資行為往往是長(zhǎng)期的。對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)期投資者來說，他將隨著投資環(huán)境的變化適時(shí)地調(diào)整投資組合頭寸，而不是將初期構(gòu)建的投資組合一成不變地保持到投資計(jì)劃期末。這時(shí)就要考慮多期投資組合。本文推廣了Duarte的單期投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型，建立了兩期投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型。

二、單期投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型

投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型是基于情景分析（Scenario Analysis）構(gòu)建的。情景分析可以看作是一個(gè)多叉樹模型，是隨機(jī)過程的一個(gè)可能實(shí)現(xiàn)的離散形式?；谇榫胺治龅哪Ｐ褪歉鶕?jù)每個(gè)情景的組合收益來計(jì)算最優(yōu)投資分配的。先計(jì)算出每個(gè)情景的組合收益，然后由這些各個(gè)情景的投資組合收益表示出投資組合的期望收益和投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，最后建立使期望收益最大、組合風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合優(yōu)化模型。

Duarte的統(tǒng)一模型只考慮了一期的情況。它假設(shè)n支證券有m個(gè)情景，每個(gè)情景是等概率的，第j支證券在情景i的回報(bào)為Rij，n支證券在m個(gè)情景的所有回報(bào)可用一個(gè)矩陣R來表示。

Duarte的單期投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型如下：

（1）

其中，m是情景數(shù)，n是證券數(shù)，是與風(fēng)險(xiǎn)厭惡有關(guān)的參數(shù)，，，是選擇方法的參數(shù)，X是投資組合分配向量，是可用投資財(cái)富，R是矩陣，Rij是證券j在情景i的回報(bào)，r是向量，是在情景i的最優(yōu)投資組合的回報(bào)，v是在MDR和MADR方法中最小的可接受回報(bào)，p是一個(gè)用來控制在有效前沿里期望回報(bào)水平的參數(shù)，u，d，w是非負(fù)的輔助向量。

當(dāng)我們對(duì)模型（1）的參數(shù)，，分別取0或1時(shí)，我們就可以分別得到六種模型，具體見表1。

表1 參數(shù)選擇與投資組合優(yōu)化方法的對(duì)應(yīng)表

例如，在模型（1）中令；時(shí)，其解與均值-半方差模型的解相同，其證明在1993年由Markowitz 給出。

再如，在模型（1）中令；時(shí)，其解與均值-方差模型的解相同，其證明在1999年由Duarte 給出。

若在模型（1）中令；，則得到優(yōu)化模型：

（2）

下面給出其與均值-絕對(duì)離差模型有相同投資組合分配向量的證明。

均值-絕對(duì)離差模型如下：

定理：模型（2）解中的x與均值-絕對(duì)離差模型的解x相同。

證明：首先證明若x*是均值-絕對(duì)離差模型的最優(yōu)解，

令，。

，。

，，，則是模型（2）的最優(yōu)解。

易證是模型（2）的可行解。

對(duì)模型（2）的任意可行解，x也是均值-絕對(duì)離差模型的可行解，由于x*是均值-絕對(duì)離差模型的最優(yōu)解，則

（3）

令，。

，。

則是模型（2）的可行解，且

這樣

（4）

由（3）（4）得：

這就證明了是模型（2）的最優(yōu)解。

下面證明若是模型（2）的最優(yōu)解，則x*是均值-絕對(duì)離差模型的最優(yōu)解。顯然x*是均值-絕對(duì)離差模型的可行解。對(duì)均值-絕對(duì)離差模型的任意可行解x，令

，。

，。

則也是模型（2）的可行解。

由于是模型（2）的最優(yōu)解，則

則也是模型（2）的可行解。并可類似于前部分證明可證得

這樣

但是模型（2）的最優(yōu)解，于是

（7）

由（6）（7）得

（8）

那么

這就證明了x*是均值-絕對(duì)離差模型的最優(yōu)解。證畢。

三、兩期投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型

下面考慮兩期投資組合優(yōu)化問題。

假設(shè)有n支證券，第一期m個(gè)情景，然后由第一期每個(gè)情景延續(xù)到第二期的m個(gè)情景，這樣第二期共有m2個(gè)情景，如圖1。假設(shè)每個(gè)情景都是等概率的。

假設(shè)第一期各證券在每個(gè)情景的回報(bào)構(gòu)成第一期回報(bào)矩陣 R1，它是一個(gè)m×n矩陣。R1（i，j）表示矩陣的第i行第j列的元素，代

圖1 情景多叉樹

表證券j在情景i的回報(bào)。x1表示第一期的投資組合分配向量，r1表示第一期的組合回報(bào)向量。它們有關(guān)系式：R1x1 = r1。

假設(shè)由第一期的第i個(gè)情景延續(xù)到第二期的回報(bào)矩陣為R2i，它也是m×n矩陣。R2i（k，j）表示矩陣的第k行第j列的元素，代表第一期的第i個(gè)情景延續(xù)到第二期的第k個(gè)情景的第j支證券的回報(bào)。x2i表示相應(yīng)于第一期的第i個(gè)情景在第二期的投資組合分配向量，r2i表示相應(yīng)于第一期的第i個(gè)情景在第二期的投資組合回報(bào)向量。它們有關(guān)系式：

第二期的投資組合回報(bào)向量。第二期的投資組合分配向量。

假設(shè)投資是自融資的。即除在第一期初投資后沒有新的資金注入，也沒有資金撤出。假設(shè)資產(chǎn)市場(chǎng)無任何交易成本、稅收，資產(chǎn)數(shù)量無限可分。于是在第一期末和第二期初的每個(gè)情景的資產(chǎn)等值，即，，其中，為r1的第i個(gè)元素。

記

那么

用r2表示出投資組合的期望收益和投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，建立使期望收益最大、組合風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合優(yōu)化模型。這樣就得到了兩期投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型：

其中，m是第一期的情景數(shù)，m2是第二期的情景數(shù)，第一期的每個(gè)情景到第二期有m個(gè)情景。x1是第一期的投資組合分配向量，x2是第二期的投資組合分配向量，R1是第一期的回報(bào)矩陣，R2是第二期的回報(bào)矩陣。r2是第二期投資組合的回報(bào)向量。

當(dāng)引入一個(gè)松馳變量和一些記號(hào)，模型（10）能被寫成：

（11）

其中M是半正定矩陣，因此模型（11）是凸二次規(guī)劃。M， A都是稀疏矩陣。模型（11）具有個(gè)決策變量，個(gè)等式約束。

參考文獻(xiàn)：

[1]H M MARKOWITZ.Portfolio Selection： Efficient diversification of Investments[M].New York：John Wiley， 1959

[2]H KONNO，H YAMAZAKI.Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to tokyo stock market[J].Management Science， 1991， 37（5）： 519-531

[3]W V HARLOW.Asset allocation in a downside risk framework[J].Financial Analysts Journal，1991，47（5）：28-40

[4]Jr A M DUARTE， M L A MAIA. Optimal portfolios with derivatives[J]. Derivatives Quarterly， 1997， 4（2）： 53-62

[5]Jr A M DUARTE. Fast computation of efficient portfolios[J]. Journal of Risk， 1999， 1（4）： 71-94

[6]H M MARKOWITZ， P TODD， G XU， Y YAMANE. Computation of mean-semivariance efficient sets by the critical line algorithm[J]. Annals of Operations Research， 1993， 45： 307-317