肖海濱
摘 要: 創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂,在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須高度重視開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能,有計劃、有目的地對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)訓(xùn)練.教師在教學(xué)中要注意適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系,將有關(guān)概念、定理進(jìn)行歸納綜合,使之系統(tǒng)化,訓(xùn)練學(xué)生的系統(tǒng)思維,掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的方法.創(chuàng)新教育是時代的要求,教師要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容,采用不同的教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.
關(guān)鍵詞: 創(chuàng)新思維 逆向思維 直覺思維 聯(lián)想思維 發(fā)散思維
數(shù)學(xué)被稱為探索和發(fā)明的樂土,是思維訓(xùn)練頗佳的工具.數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)思維能力的基礎(chǔ)課程,數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)不但是使學(xué)生獲得新的知識,而且要促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展,同時要培養(yǎng)學(xué)生自覺運用數(shù)學(xué)知識、考慮和處理日常生活生產(chǎn)中所遇到的問題,從而形成良好的思維品質(zhì).創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂,是一個國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力,在教學(xué)中必須高度重視開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能,有計劃、有目的地對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)訓(xùn)練.
一、訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維,學(xué)會從反面分析問題
逆向思維是有意地從常規(guī)思維的反向思考問題的思維方式,在數(shù)學(xué)里,正逆運算、正逆定理、正向或逆向應(yīng)用公式、互為對稱關(guān)系、綜合法與分析法、直接證法和反證法等,都反映思維過程中思維方向的改變.逆向思維具有求異性、探索性和發(fā)散性等特征,能培養(yǎng)學(xué)生突破原有的思維模式尋求新的思維方式的思維能力,具有很大的創(chuàng)造性.
證法一(綜合法):
∵02a■,a+a■>2a■,…,a■+a■>2a■,以上諸式相加,得1+a+…+a■+a■+…+a■>2na■,
即有1+a+…+a■>(2n+1)a■,從而■>(2n+1)a■.
兩邊同乘以1-a,得1-a■>(2n+1)a■(1-a),即得證:(2n+1)a■(1-a)<1-a■.
證法二(分析法):
也就是■■+a■<1+a+…+a■
=(1+a■)+(a+a■)+…+(a■+a■)+a■……①
因為1+a■>2a■,a+a■>2a■,…,a■+a■>2a■,所以不等式①成立,從而原不等式成立.
這個不等式還可以用比較法、反證法證明(略).
從所給的證法可以看到,正向思維與逆向思維的思維方向雖然完全不同,但逆向思維并不完全是以相反的程序重復(fù)正向思維的過程,思維方向的改變并不是簡單的思維過程的顛倒,而是有著實質(zhì)性的差異.了解它們在思維過程中的區(qū)別與聯(lián)系,能有效地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,學(xué)會反向分析問題.
二、訓(xùn)練學(xué)生的直覺思維,掌握憑直覺思考問題的方法
直覺思維是運用有關(guān)知識對當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析、推理,并能發(fā)現(xiàn)解決問題的方向和途徑的思維形式,是以高度省略、簡化、濃縮的洞察問題實質(zhì)的思維.教學(xué)中不僅要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性、知識的完整性、結(jié)論的正確性,更應(yīng)重視學(xué)生的直覺思維.直覺思維要求學(xué)生有相當(dāng)?shù)闹R結(jié)構(gòu)和嫻熟的推理技能,因此要強(qiáng)化基礎(chǔ)知識教學(xué),完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu),同時在教學(xué)中要鼓勵學(xué)生猜想、大膽假設(shè),展開合理想象,提高學(xué)生對直覺的敏感性;教給學(xué)生捕捉直覺的方法,讓學(xué)生盡可能多地獲得解決問題的經(jīng)驗等.
例2:已知u=cosα+isinα,v=cosβ+isinβ,且u+v=■+■i.(1)求tan(α+β)的值;(2)求u■+v■+uv的值.
[直覺1]復(fù)數(shù)問題三角化:由u+v得cosα+cosβ=■sinα+sinβ=■,兩式相除得tan■后,再由萬能公式得tan(α+β),sin(α+β),cos(α+β),這樣uv確定后,(1)(2)均迎刃而解.
[直覺2]復(fù)數(shù)問題代數(shù)化:由|u|=|v|=1,可設(shè)u=x+yi(x,y∈R),v=(■-x)+(■-y)i,從而得x,y的方程組,求出u,v后可確定uv的值,使問題得解.
[直覺3]復(fù)數(shù)問題整體化:∵u+v=u·v·■+v·u·■=u·v·(■+■),∴uv=■=(u+v)■,可得uv的值.
三、訓(xùn)練學(xué)生的聯(lián)想思維,掌握舉一反三、觸類旁通的創(chuàng)新方法
由此及彼的類比、聯(lián)想,常能拓寬我們的視野,啟發(fā)我們的思維.運用類比、聯(lián)想法探索解題的規(guī)律和方法,不僅有利于基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握和鞏固,而且對于提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力無疑是極其重要的.
例3:設(shè)P■(x■,y■),P■(x■,y■)是圓x■+y■=r■上的兩點,k■=k(非零常數(shù),下同),P■P■平移時,試求P■P■的中點Q的軌跡方程.
分析:把圓的方程化為■+■=1,∵Q(x,y)是P■P■的中點,∴OQ⊥P■P■.
∵k■·k■=-1,∴■·k=-1=-■,即得所求的軌跡方程為y=-■x.
由于Q點只能在圓內(nèi)部,故所求軌跡為直線y=-■x在已知圓內(nèi)的部分.
由此我們可以類比聯(lián)想到:
問題1:設(shè)P■(x■,y■),P■(x■,y■)是橢圓■+■=1,(a>b>0)上的兩點,k■=k,當(dāng)P■P■平移時,試求P■P■的中點Q的軌跡方程.
問題2:設(shè)P■(x■,y■),P■(x■,y■)是雙曲線為■-■=1,(a>b>0)上的兩點,k■=k,當(dāng)P■P■平移時,試求P■P■的中點Q的軌跡方程.
這兩個問題是否也有類似的解法?
事實上,問題1只需利用k■k■=-■,即■·k=-■.
由此可求得點Q的軌跡為直線y=-■x在已知橢圓內(nèi)部的一條線段.
問題2可仿問題1利用k■k■=■,
亦可求得點Q的軌跡為直線y=■x在已知雙曲線內(nèi)部的兩條射線(|k|>■)或經(jīng)過中心的一條線段(|k|<■).
通過對條件與條件、結(jié)論與結(jié)論、結(jié)論與條件、新題與舊題之間的“聯(lián)動”思維,分析其內(nèi)在聯(lián)系,從而“碰撞”到解題思路的入口.
四、訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維,讓學(xué)生掌握全方位考慮問題的方法
所謂發(fā)散思維其本質(zhì)特征是思維的多向性,表現(xiàn)在對已知信息進(jìn)行多方面、多角度、多層次的思考.在解題時,若能將問題逐步引申,使解題思路能順利遷移,尋求多種解題途徑,則不僅能鞏固所學(xué)知識,而且能較好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維.
例4:已知f(x)=■,a、b為相異實數(shù),求證:|f(a)-f(b)|<
|a-b|.
這一習(xí)題從解題方法的角度進(jìn)行發(fā)散,不難得出如下幾種解題思路:
思路一:按證明絕對值不等式的常規(guī)方法,經(jīng)過平方去絕對值符號,作差比較,利用配方法證之.
思路二:注意函數(shù)f(x)=■的結(jié)構(gòu)特征,設(shè)x=tanα轉(zhuǎn)化為三角不等式證之.
思路三:考慮方程y=■表示雙曲線y■-x■=1的上支,■是雙曲線上兩點(a,f(a))與(b,f(b))連線斜率的絕對值,于是問題可轉(zhuǎn)化為雙曲線上支任一弦所在直線斜率的估計問題,而雙曲線y■-x■=1的漸近線斜率為x=±1,問題即可得證.
思路四:考察表達(dá)式■=■可視作P(x,1)到(0,0)的距離,當(dāng)a≠b時,由點P■(a,1),P■(b,1)和原點確定的三角形OP■P■中任一邊大于其余兩邊之差即可證得結(jié)論.
思路五:觀察函數(shù)f(x)=■的特點,聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模,可構(gòu)造復(fù)數(shù)z=1+xi,利用復(fù)數(shù)的三角不等式進(jìn)行證明.
通過從不同角度引導(dǎo)學(xué)生,使學(xué)生能全方位地考慮問題,這對促進(jìn)知識之間的橫向聯(lián)系,提高解題能力,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性是十分有益的.在教學(xué)中還可以通過一式多變、一題多問、一題多思等方法培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.
教師在教學(xué)中要注意適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系,如教學(xué)完一單元,布置學(xué)生寫單元小結(jié),將有關(guān)概念、定理進(jìn)行歸納綜合,使之系統(tǒng)化,訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,使其掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的方法.總之,創(chuàng)新教育是時代的要求,教師要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容,采用不同的教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.