韓艷莉

平面向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容，與三角函數(shù)、解析幾何、平面幾何等章節(jié)有密切聯(lián)系.在江蘇高考考試說(shuō)明中是8個(gè)C級(jí)要求之一，難度比較大.縱觀近幾年的高考試題，數(shù)量積的求解方法主要有以下幾種.

一、定義法

圖1評(píng)注：平面向量的數(shù)量積的定義是a·b=|a||b|cosθ，由此可見(jiàn)，利用定義求向量的數(shù)量積關(guān)鍵是求出兩個(gè)向量的模及其夾角.這里面兩個(gè)向量的夾角容易弄錯(cuò)，切記是通過(guò)平移使兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)所形成的[0°，180°]內(nèi)的角是兩個(gè)向量的夾角.

練習(xí)：已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求 AB·BC=.

二、坐標(biāo)法

圖2[例2]（2012年江蘇高考，9）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF的值是.

分析：圖形中有垂直關(guān)系，故想到求數(shù)量積用坐標(biāo)運(yùn)算.

評(píng)注：當(dāng)兩個(gè)向量的模或夾角不好求時(shí)而圖形中又有垂直或?qū)ΨQ關(guān)系時(shí)，雖然題目中沒(méi)有坐標(biāo)系，也可以建立直角坐標(biāo)系利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)求解.

評(píng)注：當(dāng)圖形中不好建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)法求數(shù)量積時(shí)，而題目條件集中在某幾個(gè)向量上時(shí)，可以將目標(biāo)向量用已知向量線性表示后再求數(shù)量積.目標(biāo)向量用已知向量線性表示時(shí)要用到向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、向量減法的三角形法則及向量的數(shù)乘運(yùn)算.

圖6練習(xí)：（2012年浙江卷）如圖6，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則AB·AC=.

分析：本題圖形中有直角可以建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，也可以用線性表示法，但相對(duì)來(lái)說(shuō)都比較復(fù)雜.本題用投影法就非常簡(jiǎn)單.

評(píng)注：設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，| b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影.如下圖所示：

由此可知，a，b的幾何意義是：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.

雖然向量數(shù)量積的求解方法很多，拿到具體的問(wèn)題要根據(jù)題目條件選擇合理、恰當(dāng)?shù)姆椒?，正確、快速地將問(wèn)題求解出來(lái).

（責(zé)任編輯黃春香）