歐翠榮

摘要：波利亞的解題思想集中體現(xiàn)在“解題表”中。本文以該思想為理論基礎(chǔ)，以一元一次方程實(shí)際問題為載體，研究了在一元一次方程實(shí)際問題中，如何按照波利亞的解題步驟進(jìn)行解題，即如何理解題目、如何擬定方案、如何執(zhí)行方案、如何回顧反思。希望以此為基礎(chǔ)，對(duì)初中方程的解題教學(xué)起到一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：波利亞；解題思想；解題表；一元一次方程

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2013）09-0007

一、波利亞的數(shù)學(xué)解題思想簡介

波利亞認(rèn)為：“學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳授知識(shí)?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)科中，波利亞認(rèn)為能力就是指學(xué)生解決問題的才智，這里所指的問題，不僅僅是尋常的，它還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見解、判斷力、能動(dòng)性的創(chuàng)造精神。他發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)上要想獲得重大的成就或發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)該注重平時(shí)的解題。因此，波利亞曾指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是要加強(qiáng)解題的訓(xùn)練?！倍@種“解題”并不同于“題海戰(zhàn)術(shù)”，波利亞主張?jiān)诮忸}教學(xué)中要善于選擇一道有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入挖掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這一道題，就如同通過一道大門進(jìn)入一個(gè)暫新的天地。他所提出的“怎樣解題”表只是“題海游泳術(shù)”的綱領(lǐng)，他認(rèn)為解題應(yīng)該作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。

二、波利亞解題表簡介

波利亞的解題思想集中體現(xiàn)在解題表上，該解題表主要分為四個(gè)部分，分別為理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧反思。具體的步驟及問題如下表：

三、一元一次方程實(shí)際問題教學(xué)的重要性

方程是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條重要紐帶，而一元一次方程作為最基礎(chǔ)的方程，是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。掌握一元一次方程應(yīng)用題解題方法是中學(xué)生學(xué)好方程的關(guān)鍵，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，能使學(xué)生在更深層次上理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而學(xué)好數(shù)學(xué)。剛剛從小學(xué)升入初中的學(xué)生，通過對(duì)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成，數(shù)學(xué)命題的掌握，數(shù)學(xué)方法和技能的獲得都將起到重大的作用。一元一次方程的應(yīng)用是讓學(xué)生通過審題，根據(jù)應(yīng)用題的現(xiàn)實(shí)意義，找出等量關(guān)系，列出有關(guān)方程。一元一次方程的應(yīng)用題，為學(xué)生初中階段學(xué)好必備的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，解決實(shí)際問題起到啟蒙作用，對(duì)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)也將起到積極的促進(jìn)作用。在提高學(xué)生解決問題能力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣等方面有獨(dú)特的意義。

如何能讓學(xué)生對(duì)一元一次方程實(shí)際問題形成一種規(guī)范的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，拓展學(xué)生的解題思維呢？本文以實(shí)例為載體，以波利亞的解題思想為理論基礎(chǔ)對(duì)該問題進(jìn)行了研究。

四、波利亞解題表在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用

在接下來的研究中，本文選擇了一道一元一次方程中常見的“相遇問題”作為研究的載體，希望對(duì)一元一次方程實(shí)際問題的解題教學(xué)起到“拋磚引玉”的作用。

例：甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛，出發(fā)后經(jīng)3小時(shí)兩人相遇。已知在相遇時(shí)乙比甲多行駛了90千米，相遇后乙經(jīng)1小時(shí)到達(dá)A地。問甲、乙行駛的速度分別是多少？

1. 理解題目

理解題目就相當(dāng)于我們平時(shí)所說的審題，它是成功解決問題的前提。研究表明，善于解題的人用一半的時(shí)間來理解題目。因此，在解題中善于理解題目顯得尤為重要。而理解題目包括對(duì)題目的表層理解和深層理解。表層理解表現(xiàn)為對(duì)問題的字面含義進(jìn)行解釋。而深層理解則要在此基礎(chǔ)上抓住題目的關(guān)鍵信息，并能用自己的話解釋題目的已知條件、分析出題目隱含條件、探索出從已知到未知的可能途徑。那么，如何達(dá)到深層理解呢？可以根據(jù)波利亞解題表進(jìn)行自我提示實(shí)現(xiàn)。

以上面的例題來看，在理解該題時(shí)，我們可以自我提問：這是一個(gè)什么類型的問題？題設(shè)是什么？結(jié)論是什么？題設(shè)與結(jié)論有什么聯(lián)系？關(guān)鍵信息在哪里？我可以通過畫圖描繪題設(shè)與結(jié)論嗎？

自我提示可以誘導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)這是一道和一元一次方程有關(guān)的“行程問題”，本題涉及路程、速度、時(shí)間三個(gè)基本量，它們之間有如下關(guān)系：速度=■。題目主要告訴了我們甲乙相遇的時(shí)間及相遇時(shí)二者所行駛的路程之間的大小關(guān)系，結(jié)論要求我們求甲乙的速度?？梢援嫵霾輬D幫助分析：

通過圖1我們可以看出，甲乙分別從A、B出發(fā)，經(jīng)過3小時(shí)在C點(diǎn)相遇，且有數(shù)量關(guān)系BC=AC+90。如果設(shè)其中一個(gè)的速度為x，則可以利用該數(shù)量關(guān)系結(jié)合速度=■求出另一個(gè)的速度，所以只需要設(shè)其中一個(gè)未知數(shù)即可。

此外，通過進(jìn)一步挖掘題目信息，題目還有一個(gè)非常關(guān)鍵的信息就是相遇后乙經(jīng)1小時(shí)到達(dá)A地，從圖1來看就是乙從C到A所需時(shí)間為1小時(shí)，而乙從B到C的時(shí)間是3小時(shí)且勻速行駛，則說明BC=3AC。

2. 擬定方案

理解題目后，接下來要確定解決問題的策略，即擬定方案，它決定著問題解決的方向與成敗。波利亞建議分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接聯(lián)系；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來的問題做出某些必要的變更或修改，如引進(jìn)輔助元素。這兩步可以通過自我提示實(shí)現(xiàn)。譬如，看著未知數(shù)、回到定義去、重新表述問題、考慮相關(guān)問題、分解或重新組合、特殊化、一般化、類比等，積極誘發(fā)念頭、努力變化問題。

對(duì)于上面的例子，關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，如果設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，可以自我提問：可以通過哪一個(gè)關(guān)系建立等量關(guān)系？不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)理解題目得到的信息，可以得出AC=3x，BC=3x+90，而乙行駛BC這段距離所用時(shí)間為3小時(shí)，可以得出乙的速度為 ■千米/時(shí)。而乙從C到A所用的時(shí)間為1小時(shí)，故AC的距離用乙的速度和行駛時(shí)間可表示為：AC=■·1=■，從而可以建立等量關(guān)系3x=■，如下圖2所示：

此外，根據(jù)理解題目得出的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)BC=3AC，從而可以通過BC建立等量關(guān)系，可以得出等式3x+9=3·3x如下圖3所示：

本題分別從AC和BC建立了等量關(guān)系，那么進(jìn)一步自我提問：還可以從哪一段建立等量關(guān)系呢？不難發(fā)現(xiàn)還可以從AB建立等量關(guān)系，從而得到等式：■（3x+9）+3·3x=3x+（3x+9）

綜合以上的分析，本題共得到了三種基本解題方案，分別為：

方案一：通過AC建立等量關(guān)系，3x=■

方案二：通過BC建立等量關(guān)系，（3x+9）=3·3x

方案三：通過AB建立等量關(guān)系，■（3x+9）+3·3x=3x+（3x+9）

對(duì)比三種方案，可以發(fā)現(xiàn)方案二最簡單，故教師在進(jìn)行解題教學(xué)的時(shí)候要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目中的隱含條件，發(fā)散學(xué)生的思維，尋求最簡便的解決方案。

3. 執(zhí)行方案

方案擬定之后，相當(dāng)于解題已經(jīng)完成了一大半，但是往往要檢驗(yàn)這個(gè)方案是否是清晰合理及最簡便的。不加以判斷地執(zhí)行這樣的方案是愚蠢的，所以我們?yōu)榱耸棺约捍_信每一個(gè)細(xì)節(jié)都符合這個(gè)框架，不得不細(xì)心檢查，對(duì)每一步演算和推理進(jìn)行檢驗(yàn)，直到每一點(diǎn)都非常清晰，不再有任何可能隱藏的錯(cuò)誤或含糊之處。諸如以下這些自我提示是有幫助的：解題的每一步理由充分嗎？解題過程是否遵循數(shù)學(xué)原理或規(guī)律？解題的結(jié)果是否符合實(shí)際或原來想法？等。

以上例來說，往往很多學(xué)生容易得到方案一，這時(shí)大多數(shù)學(xué)生就開始解方程得到答案，忽略了檢驗(yàn)和進(jìn)一步思考這一步。這樣，學(xué)生的思維得不到進(jìn)一步的發(fā)展，題目如果稍加變化可能又不會(huì)做。這時(shí)候可以進(jìn)一步自我提問，如：我得到的方案一的方程是最簡單的嗎？還有其他的方法嗎？剛才是利用AC建立的等量關(guān)系，還可以通過其他的線段建立等量關(guān)系嗎？BC和AC之間又有怎樣的關(guān)系呢？通過這樣不斷的自我提問，就很容易得到方案二，而且發(fā)現(xiàn)方案二的方程更簡單。

確定方案之后，下一步就是解方程，根據(jù)解出的結(jié)果就可以求出甲、乙的速度，這一步是比較容易的。

4. 回顧反思

對(duì)于解題來說，完成了解題過程，并不意味著一次“解題學(xué)習(xí)”活動(dòng)的結(jié)束，對(duì)解題的真正學(xué)習(xí)是“解題回顧”。這好比采蘑菇，在你找到第一朵蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L的，用推廣題的方法，可以解決更多的問題。眾多研究表明，回顧與反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心。但目前的普遍情況是，與前面解題步驟相比，“解題回顧”是最容易被忽視的階段。

所謂解題回顧，不僅要回顧有關(guān)知識(shí)、解題方法以及理解題意的過程，而且更要回顧：一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤；是否還有其他解題策略；改變部分條件，會(huì)得出什么結(jié)論；這些結(jié)論或解題策略對(duì)于另外一些問題有什么意義等等。這些回顧能引領(lǐng)我們反思、評(píng)價(jià)整個(gè)解題結(jié)果與過程，能促使我們一題多解、舉一反三，能啟發(fā)我們總結(jié)歸納相關(guān)知識(shí)、解題策略等，并形成解題經(jīng)驗(yàn)。

波利亞的解題思想啟示我們，解題的關(guān)鍵在于理解題目，要學(xué)會(huì)深度挖掘題目的條件。此外，還要學(xué)會(huì)反思，真正做到“做一題，會(huì)一類”。

解題的目標(biāo)不僅在于解題結(jié)果，解題本身是一個(gè)有意義的學(xué)習(xí)過程，深入挖掘波利亞解題表中蘊(yùn)含的解題思想，在解題中學(xué)習(xí)解題，能促使我們學(xué)會(huì)解題，并最終解放題海戰(zhàn)術(shù)。

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（作者單位：廣西柳城縣民族中學(xué) 545200）