李麗

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009）

變量代換在求解一階微分方程中的應用

李麗

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009）

變量代換是一種重要數(shù)學變換，其主要目的是通過代換能使問題化繁為簡，化難為易；將不能解決的問題轉(zhuǎn)化為能解決的問題。本文通過實例，探討了變量代換法在求解一階微分方程中的應用。

變量代換；一階微分方程；齊次方程

所謂變量代換法，就是把某個式子看成一個整體，用一個變量代替它，從而使問題得到簡化，這也叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去解決。變量代換法是高等數(shù)學理論和方法的重要工具之一，在高等數(shù)學領域中有著廣泛的應用。如在代數(shù)中求極限、求導、求積分等，在微分方程中求齊次方程、歐拉方程、微分方程組等[1—5]。本文對變量代換在求解隱式微分方程與微分方程組中的應用作了初步研究。

1 在解齊次方程中的應用

即

將上式分離變量，即有兩邊積分，得到

此外，方程（1）還有解

tan u＝0，

即

sin u＝0。

如果在（2）中允許c＝0，則sin u＝0也就包括在（2）中，這就是說，方程（1）的通解為（2）。代回原來的變量，得到原方程的通解

2 在解一階微分方程中的應用

2.1 在一階線性方程中的應用

一階線性方程的形式

其中，p（x），q（x）為已知函數(shù)。該方程所對應的齊次方程的通解為

y＝ce-∫p（x）d x，

作代換

y＝c（x）e-∫p（x）d x，

以此作為原方程的解，代入原方程中得

從而解出c（x），進而得出原方程的解。

的通解為y＝cex，可得齊次線性方程的通解

2.2 在一階隱式微分方程中的應用

一階隱式微分方程的一般形式為

（3）是關(guān)于x，p的一階微分方程，但它的導數(shù)已解出，于是可解出方程的解。

兩邊對x求導，得到

或

又由2p-x＝0解得

3 結(jié)束語

通過以上幾類微分方程的分析可以看出，變量代換作為一種基本技巧，是求解一階微分方程問題的重要方法。它可將復雜的數(shù)學形式及不可直接求解的形式通過變量替換進行形式轉(zhuǎn)化，使問題變得簡潔，且易于求解。

[1]王高雄，周之銘.常微分方程（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]劉顯鳳.變量代換在高等數(shù)學中的應用[J].高校講壇，2006（15）：164-165.

[3]張東.變量代換法在求解微分方程問題中的應用[J].遼寧交通高等專科學校學報，2003，5（4）：54-55.

[4]許敏偉，吳炳華.變量代換在求解微分方程中的應用[J].徐州教育學院學報，2008，23（3）：171-172.

[5]何彩香，張媛祥.換元思想在解高數(shù)題中的應用[J].大理學院學報，2004，3（3）：87-88.

〔責任編輯 高?！?/p>

Variable Substitution in Some App lications of Higher M athematics

LILi
（School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong shanxi，037009）

Variable substitution is an important form of mathematical transformation，the purpose of which is to simplify problems.This paper，with examples，discusses the application of variable substitution in solving firstorder differential equations.

variable substitution；f irstorder differential equations；h omogeneous equation

O175.1

A

1674-0874（2012）04-0006-02

2012-05-25

李麗（1975-），女，山西左云人，助教，研究方向：計算機算法。