張慧芬，王蘭卿

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

三維空間中曲面與曲線的對(duì)稱

張慧芬，王蘭卿

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

給出了求曲面和曲線的對(duì)稱曲面和對(duì)稱曲線的方法，并舉例說(shuō)明該方法的使用。

曲面；曲線；對(duì)稱

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，空間解析幾何一章中引入空間直角坐標(biāo)系后，涉及到了點(diǎn)分別關(guān)于點(diǎn)、坐標(biāo)軸以及坐標(biāo)平面的對(duì)稱，這些在課后習(xí)題中都有提到，這里不再贅述。但是在空間幾何學(xué)中關(guān)于曲線與曲面的對(duì)稱曲線和對(duì)稱曲面的研究，常見特殊情況，本文試著給出幾個(gè)結(jié)論，希望在空間曲線和曲面的對(duì)稱問題上有所幫助。

1 空間曲面

1.1 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

定理1空間曲面F（x，y，z）＝0關(guān)于定點(diǎn)P0（x0，y0，z0）的對(duì)稱曲面方程是

F（2x0-x，2y0-y，2z0-z）＝0。

所以

x1＝2x0-x，y1＝2y0-y，z1＝2z0-z。

又點(diǎn)P1（x1，y1，z1）在曲面F（x，y，z）＝0上，有

F（x1，y1，z1）＝0，

故所求對(duì)稱曲面的方程是

F（2x0-x，2y0-y，2z0-z）＝0。

1.2 關(guān)于直線對(duì)稱

證明 設(shè)曲面F（x，y，z）＝0上任一點(diǎn)P1（x1，y1，z1）關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)是P（x，y，z），且P1P交直線l于P（x，y，z），且P（x，y，z）是—P→P的中點(diǎn)，則：

由（1）（2）整理，化簡(jiǎn)得

而F（x1，y1，z1）＝0，

故所求對(duì)稱曲面的方程是

1.3 關(guān)于平面對(duì)稱

定理3空間曲面F（x，y，z）＝0關(guān)于平面Ax +By+Cz+D＝0的對(duì)稱曲面方程是

證明 設(shè)曲面F（x，y，z）＝0上任一點(diǎn)P1（x1，y1，z1）關(guān)于平面π

Ax+By+Cz+D＝0的對(duì)稱點(diǎn)是P（x，y，z），且P1P交平面π于P0（x0，

又P0（x0，y0，z0）在平面π上，有

Ax0+By0+Cz0+D＝0

將（4）代入（3），化簡(jiǎn)得

而F（x1，y1，z1）＝0，

故所求對(duì)稱曲面的方程是

特殊情形 空間曲面F（x，y，z）＝0關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲面是F（-x，-y，-z）＝0；關(guān)于坐標(biāo)軸x，y，z軸的對(duì)稱曲面是

F（x，-y，-z）＝0，F(xiàn)（-x，y，-z）＝0，

F（-x，-y，z）＝0；關(guān)于坐標(biāo)平面xoy，yoz，zox的對(duì)稱曲面是F（x，y，-z）＝0，F(xiàn)（-x，y，z）＝0，F(xiàn)（x，-y，z）＝0。

2 空間曲線

由上述定理1，2，3可類似得到下面結(jié)論，不再證明。

特殊情形 空間曲線 關(guān)于坐標(biāo)軸x，y，z軸的對(duì)稱曲線是

關(guān)于坐標(biāo)平面xoy，yoz，zox的對(duì)稱曲線分別是

3 應(yīng)用舉例

解 由定理1，3可知

所求對(duì)稱橢球面方程分別是

例1 求橢球面

分別關(guān)于定點(diǎn)（0，-1，0）與平面x-y+1＝0的對(duì)稱曲線方程。

解 由定理4、6得對(duì)稱曲線分別是

與

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]馮愛萍.曲面與曲線分別關(guān)于點(diǎn)、平面的對(duì)稱曲面和對(duì)稱曲線[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2007，7（18）：4701-4703.

[4]鄭明華.解析幾何中有關(guān)對(duì)稱問題的處理[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2006（9）：24-25.

[5]馮愛萍.曲面、曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲面、對(duì)稱曲線[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2008，8（17）：4961-4963.

[2]方麗箐.空間中關(guān)于平面的對(duì)稱問題[J].廣西民族學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，8（4）：15-17.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Symmetry of Curved Surface and Curve in Three-Dimensional Space

ZHANG Hui-fen，WANG Lan-qing
（School ofMathematics and Computer Sciences，ShanxiDatong Universty，Datong Shanxi，037009）

This paper gives themethod to find out symmetrical curved surface，symmetrical curve of curved surface and curve，and then illustrate s the use of themethod.

curved surface；curve；symmetry

O182.2

A

1674-0874（2012）04-0001-03

2012-03-26

張慧芬（1974-），女，山西應(yīng)縣人，碩士，講師，研究方向：微分方程。