毛月梅，馬小箭

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同037009）

有限冪導p-群關(guān)于冪導嵌入的一些性質(zhì)

毛月梅，馬小箭

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同037009）

在A.Mann等人研究的冪導p-群的基礎(chǔ)上，給出了冪導p-群關(guān)于冪導嵌入子群的一些基本性質(zhì)。關(guān)鍵詞：有限p-群；冪導嵌入；正則；交換

對有限p-群，Φ（G）＝G′U1（G），當p＝2時，G′≤U1（G）。當p＞2時，則此結(jié)論不一定成立?；谶@樣的事實，Lubotzky和A.Mann于1987年首次在文獻[1]中提出了冪導p-群以及冪導嵌入的概念，并介紹了關(guān)于冪導性的一些基本性質(zhì)。L.Hethelyi在2003年的文獻[2]中得出了有限冪導p-群滿足|Λ1（G）|≤|G∶U1（G）|的重要結(jié)論。而Marcin Mazur在2007年的文獻[3]推廣了L.Hethelyi的結(jié)論得出了|Λ1（G）|≤|G∶U1（G）|對一切正整數(shù)i都成立。在文獻[4]中也給出了關(guān)于冪導p-群的一些性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，又推出了冪導p-群關(guān)于冪導嵌入的一些性質(zhì)。以下給出用到的一些主要定義.

定義1稱有限p-群G為冪導p-群，若p＞2，有 G′≤U1（G）；若p＝2，有G′≤U2（G）。

定義2設G為有限p-群，N為G的正規(guī)子群，若p＞2，有［N，G］≤U1（N）；若p＝2，有［N，G］≤U2（N），則稱N冪導嵌入于G。

引理1[1]若M，N冪導嵌入于G，那么［N，G］，U1（N），［N，M］，都冪導嵌入于G。

引理2[1]設G為有限p-群，若d（G′）＝2，那么G3≤Z（G）。

引理3[5]正則p-群G是p-交換群當且僅當U1（G′）＝1。

引理4[6]設G為有限p-群，那么[U1（Gn），sGk]≤U1（Gn+sk）Gpn+sk。

引理5[7]若G是有限冪導p-群，那么Ui（Uj（G））＝Ui+j（G）。

以下定理所涉及的正整數(shù)p，均指p＞2的奇素數(shù)。

定理1設G為有限p-群，若G′二元生成且非交換，那么G3冪導嵌入于G′。

定理2若G是有限冪導p-群，那么Ui（G）（i≥1）冪導嵌入于G。同時有U1（Ui（G））＝U1+i（G）。

證明 對i進行歸納來證明Ui（G）冪導嵌入于G。當i＝1時，結(jié)論顯然成立。假設Ui（G）冪導嵌入于G，下證Ui+1（G）冪導嵌入于G。在此假設下首先對|G|進行歸納來證明等式U1（Ui（G））＝U1+i（G）。顯然U1+i（G）≤U1（Ui（G）），下證U1（Ui（G））≤U1+i（G）。不妨設Ui+1（G）＝1。 設N是G的包含于Ui（G）的極小正規(guī)子群，考慮G/N。 因|G/N|＜|G|，對|G|歸納知U1（Ui（G））≤N，又因Ui（G）冪導，故U′i（G）≤U1（Ui（G））≤N≤Z（G），因此c（Ui（G））≤2，所以Ui（G）正則，又Ui+1（G）＝1，故U1（Ui（G））＝1。所以有U1（Ui（G））＝U1+i（G），由引理1知Ui+1（G）冪導嵌入于G。

推論3若G是有限冪導p-群，其中k為正整數(shù)，那么：

（1）[Uk（G），G]≤Uk+1（G），

（2）Gk≤Uk-1（G），

（3）[U1（G），Gk]≤Uk+1（G）。

證明（1）因為G冪導，故由定理1知Uk（G）也冪導，所以[Uk（G），G]≤U1（Uk（G））＝Uk+1（G）。

（2）對k進行歸納，當k＝1時，結(jié)論顯然成立。假定Gk≤Uk-1（G），那么Gk+1＝[Gk，G]≤[Uk-1（G），G]≤U1（Uk-1（G））＝Uk（G）。

（3）由引理4以及（2）知[U1（G），Gk]≤U1（G1+k）Gp+k≤U1（G1+k）Up+k+1（G）≤U1（Uk（G））Gp+k-1（G）≤Uk+1（G）。

定理4若G是方次數(shù)為p2的冪導p-群，那么G為p-交換群。

證明 因G的方次數(shù)為p2，故有U2（G）＝1，又G冪導，所以[U1（G），G]≤U2（G）＝1，即G′≤U1（G）≤Z（G），所以G正則。又由引理5知U1（G′）≤U1（U1（G））＝U2（G）＝1，所以由引理3知G為p-交換群。

定理5 設G為有限p-群（p＞2），若d（Gn）＝n，那么Gn是冪導p-群。

證明 不妨設U1（Gn）＝1，下證＝1。 若否，假

[1]Mann A，Alexander Lubotzky.Powerful p-group I finite Groups[J].JAlgebra，1987：484-505.

[2]Hethelyi L，Levai L.On elements of order p in powerful p-groups[J].JAlgebra，2003（270）：1-6.

[3]Marcin Mazur.On powers in powerful p-groups[J].Journal of Group Theory，2007（10）：431-433.

[4]毛月梅，馬小箭.有限冪導p群的一些基本性質(zhì)[J].山西大同大學學報：自然科學版，2009，25（2）：18-19.

[5]Alperin JL.On a special class of regular p-groups[J].Tran Amer Math Soc，1963（106）：77-99.

[6]Deane E.Arganbright.The power-commutator structure of finite p-groups[J].Tran Amer Math Soc，1969（29）：11-17.

[7]Mann A.Fania Posnick-Fradkin.Subgroups of powerful groups[J].Isra JMath，2003（138）：19-28.

〔責任編輯 高?！?/p>

Some Properties of Finite Powerful p-groups about Powerfully E embedded

M AO Yue-mei，M A Xiao-jian
（School ofMathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

This paper gives some other properties of powerfully embedded subgroups of finite p-groups on the base of powerful p-groupswhich were discussed by A.Mann.

finite p-groups；powerfully embedded；regularly；abelian

O175.12

A

1674-0874（2012）04-0004-02

2012-03-15

毛月梅（1980-），女，山西神池人，碩士，講師，研究方向：群論。