劉彥琦，褚福磊

(清華大學(xué) 精密儀器與機(jī)械學(xué)系，北京 100084)

圓柱殼是典型的工程結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于航空、航天、機(jī)械及船舶等領(lǐng)域，其動(dòng)力學(xué)行為廣受關(guān)注［1－5］。圓柱殼的固有頻率特性是系統(tǒng)振動(dòng)分析的基礎(chǔ)與關(guān)鍵，但在圓柱殼頻率特性研究中，細(xì)長(zhǎng)圓柱殼頻率特性研究較多，短粗圓柱殼頻率特性則較少關(guān)注。鑒于此，本文將研究幾何參數(shù)(厚度與半徑之比、半徑與長(zhǎng)度之比)對(duì)圓柱殼頻率與振型比的影響，重點(diǎn)分析半徑大于長(zhǎng)度的圓柱殼振動(dòng)特性。

1 振動(dòng)方程

圓柱殼動(dòng)力學(xué)模型示意圖見圖1，圓柱殼以角速度Ω轉(zhuǎn)動(dòng)，其中厚度為h，半徑為r，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。采用曲坐標(biāo)系oxθz描述旋轉(zhuǎn)圓柱殼系統(tǒng)，u，v與w分別為圓柱殼在x，θ與z方向位移。

圖1 旋轉(zhuǎn)圓柱殼模型示意圖Fig.1 Mode of rotating circular cylindrical shell

基于Love薄殼理論，考慮慣性力、科氏力與離心力，采用Hamilton原理建立旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程如下:

其中:ρ為密度，E為彈性模量，μ為泊松比，K=Eh/(1－μ2)為薄膜剛度，D=Eh3/12(1－μ2)為彎曲剛度。

上述方程描述了旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼在u，v和w三個(gè)方向的振動(dòng)，其中等式左端包含慣性力項(xiàng)、科氏力項(xiàng)及離心力項(xiàng)，右端為剛度項(xiàng)。

2 振動(dòng)特性分析

將圓柱殼的振型表示為軸向梁函數(shù)與周向三角函數(shù)組合形式，系統(tǒng)的解可表示為［6］:

其中，φ(x)=a1cosh(λmx/L)+a2cos(λmx/L)－σm·［a3sinh(λmx/L)+a4sin(λmx/L)］離散系統(tǒng)Galerkin得:

整理得:

由方程(4)有非平凡解的條件可得到系統(tǒng)頻率方程:

其中，βi為系數(shù)。

基于上述分析，本節(jié)將針對(duì)五種不同邊界條件，探討幾何參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)圓柱殼固有頻率特性的影響。

簡(jiǎn)支－簡(jiǎn)支(S－S):

固支－簡(jiǎn)支(C－S):

固支－自由(C－F):

自由－簡(jiǎn)支(F－S):

固支－固支(C－C):

旋轉(zhuǎn)圓柱殼系統(tǒng)參數(shù)選為:μ=0.3，E=1.078×105MPa，ρ=4.5×103kg/m3，N=6000 r/min;針對(duì)振型(m=1，n=6)的情況，基于上述給定參數(shù)，分別分析幾何參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)圓柱殼固有頻率和振型比的影響。

圖2 h/r對(duì)頻率特性的響應(yīng)Fig.2 Frequency characteristic for different h/r

厚度與半徑之比(h/r)是描述圓柱殼形狀的重要指標(biāo)之一，針對(duì)五種不同邊界條件情況，厚度與半徑之比對(duì)圓柱殼固有頻率的影響如圖2所示。由圖可知，隨著h/r的增大，五種邊界條件下圓柱殼固有頻率值均單調(diào)增加，且變化幅度較小。

半徑與長(zhǎng)度之比(r/L)是描述圓柱殼形狀的重要指標(biāo)之二，半徑與長(zhǎng)度之比對(duì)圓柱殼固有頻率的影響，如圖3～圖6所示。由圖可知，在0.01＜r/L＜0.1時(shí)(圖3)，除C－F時(shí)固有頻率隨r/L的增大而減小外，其它幾種邊界情況固有頻率均隨r/L的增大而增大;且頻率值按C－C，F(xiàn)－S，C－S，S－S，C－F依次由大到小。

在0.1＜r/L＜0.6時(shí)(圖4)，除 C －F時(shí)固有頻率隨r/L的增大而減小外，其它幾種邊界情況時(shí)固有頻率均隨r/L的增大而增大。另外，當(dāng)r/L＞0.4時(shí)，五種邊界條件下圓柱殼固有頻率值的大小排序變化明顯，即按F－S，S－S，C－S，C－C，C－F的順序圓柱殼固有頻率值依次由大到小。由此可見，隨著半徑與長(zhǎng)度之比的逐漸增大，不僅圓柱殼固有頻率值的大小在變，五種邊界圓柱殼固有頻率值的大小排序也在變。

圖3 0.01＜r/L＜0.1時(shí)頻率特性Fig.3 Frequency characteristic 0.01 ＜r/L ＜0.1

圖4 0.1＜r/L＜0.6時(shí)頻率特性Fig.4 Frequency characteristic 0.1 ＜ r/L ＜0.6

圖5 0.1＜r/L＜1時(shí)頻率特性Fig.5 Frequency characteristic 0.1＜r/L＜1

當(dāng)r/L增大到0.6時(shí)，C－F邊界條件下圓柱殼的固有頻率突然增大，且遠(yuǎn)大于其它幾種邊界情況下的圓柱殼固有頻率值，見圖5。

圖6 0.01＜r/L＜4時(shí)頻率特性Fig.6 Frequency characteristic 0.01 ＜ r/L ＜4

圖6表述了在0.01＜r/L＜4范圍內(nèi)，半徑與對(duì)比系統(tǒng)頻率系數(shù)的影響。由圖可知，r/L較小時(shí)，即長(zhǎng)度大于半徑的圓柱殼，系統(tǒng)的固有頻率較小;對(duì)于長(zhǎng)度小于半徑的短圓柱殼，系統(tǒng)的頻率遠(yuǎn)大于細(xì)長(zhǎng)圓柱殼的固有頻率，并分別在 r/L 值為 1.5，2.，2.5，3 時(shí)有最大值，然后隨著r/L的增大而減小，但依然大于細(xì)長(zhǎng)圓柱殼的頻率值。由上述分析得知:厚度與半徑之比對(duì)圓柱殼固有頻率的影響較小，半徑與長(zhǎng)度之比對(duì)圓柱殼的固有頻率影響顯著。

除固有頻率特性外，振型比是描述振動(dòng)形態(tài)另一個(gè)主要因素。旋轉(zhuǎn)圓柱殼系統(tǒng)的振型比為:

圖7 圓柱殼的振型比Fig.7 Ratio of vibration mode for circular cylindrical shell

振型比為兩個(gè)振動(dòng)形態(tài)之比值，圖7分別為簡(jiǎn)支－簡(jiǎn)支、固支－簡(jiǎn)支、固支－自由、自由－簡(jiǎn)支、固支－固支五種邊界條件下圓柱殼的振型比圖。由圖可知，在給定的幾種邊界條件下，半徑與長(zhǎng)度之比r/L對(duì)圓柱殼系統(tǒng)振型比的影響顯著;對(duì)于細(xì)長(zhǎng)圓柱殼(r/L較小)，w方向振動(dòng)最大，但對(duì)于短粗圓柱殼(r/L較大)，固支－自由圓柱殼u方向的振動(dòng)最大，其它固支－簡(jiǎn)支，固支－自由，自由－簡(jiǎn)支，固支－固支四種邊界情況均為v方向的振動(dòng)最大。

3 結(jié)論

本文分析了幾何參數(shù)厚度與半徑之比h/r及半徑與長(zhǎng)度之比r/L對(duì)旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼固有頻率與振型比的影響。結(jié)論如下:

(1)在給定的幾種邊界條件下，圓柱殼固有頻率隨著厚度與半徑之比h/r的增加而單調(diào)增大，變化幅度較小。

(2)半徑與長(zhǎng)度之比對(duì)圓柱殼固有頻率影響顯著，且隨著r/L的增大，頻率值并不單調(diào)變化，在某范圍內(nèi)，系統(tǒng)的固有頻率明顯高于其它范圍內(nèi)的固有頻率。

(3)r/L處于不同范圍內(nèi)時(shí)，不同邊界簡(jiǎn)支－簡(jiǎn)支，固支－簡(jiǎn)支，固支－自由，自由－簡(jiǎn)支，固支－固支情況下，系統(tǒng)頻率值的大小排序發(fā)生變化。其中，細(xì)長(zhǎng)圓柱殼在固支－固支時(shí)頻率最大，固支－自由時(shí)頻率最小;相對(duì)較短的圓柱殼在自由－簡(jiǎn)支時(shí)頻率最大。

(4)隨著半徑與長(zhǎng)度之比的逐漸增大，當(dāng)半徑大于長(zhǎng)度(r/L＞1)時(shí)，圓柱殼的固有頻率明顯高于半徑小于長(zhǎng)度(r/L＜1)時(shí)的固有頻率。并且隨著r/L的繼續(xù)增大，圓柱殼固有頻率值又開始減小。

(5)對(duì)于細(xì)長(zhǎng)圓柱殼，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注w方向振動(dòng);對(duì)于短粗圓柱殼應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注v方向或u方向的振動(dòng)。細(xì)長(zhǎng)圓柱殼的振動(dòng)特性與短粗圓柱殼的振動(dòng)特性差異顯著。

［1］El-Mously M. Fundamentalnaturalfrequencies ofthin cylindrical shells:a comparative study［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，264:1167－1186.

［2］杜長(zhǎng)城，李映輝.功能梯度薄壁圓柱殼的自由振動(dòng)［J］.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)，2010，8(3):219－223.

［3］Li H，Lam K Y.Frequency characteristics of a thin rotating cylindrical shell using the generalized differential quadrature method［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1998，40(5):443－459.

［4］Guo D，Chu F L，zheng Z C.The influence of rotation on vibration of a thick cylindrical shell［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，242(3):487－505.

［5］Pradhana S C，Loya C T，Lama K Y，et al.Vibration characteristics of functionally graded cylindrical shells under various boundary conditions［J］.Applied Acoustics，2000，61:111－129.

［6］Gulgazaryan G R，Gulgazaryan L G，Saakyan R D.The vibrations of a thin elastic orthotropic circular cylindrical shell with free and hinged edges［J］. JournalofApplied Mathematics and Mechanics，2008，72:312－322.