潘 冬，趙 陽(yáng)，王興貴，馬文來(lái)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

反作用輪是高精度航天器姿態(tài)控制的主要擾動(dòng)源之一，隨著航天事業(yè)的發(fā)展及哈勃望遠(yuǎn)鏡、新一代望遠(yuǎn)鏡(NGST)等一系列航天器的發(fā)射升空，預(yù)示著未來(lái)的航天器向高精度、高穩(wěn)定性方向發(fā)展，目前中國(guó)在軌飛行的中低軌道遙感衛(wèi)星成像精度與國(guó)際先進(jìn)水平有明顯差距，其主因即為飛輪擾動(dòng)所致，對(duì)此迫切需要深入研究。

早在20世紀(jì)70年代，美國(guó)為解決反作用輪高頻振動(dòng)對(duì)哈勃望遠(yuǎn)鏡成像精度的影響，對(duì)其使用的反作用輪擾動(dòng)特性進(jìn)行了深入研究。王全武［1］等提出了一種基于經(jīng)驗(yàn)的飛輪擾動(dòng)模型。Bialke［2］對(duì)反作用輪擾動(dòng)的來(lái)源、實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模進(jìn)行了全面的闡述。目前我國(guó)對(duì)飛輪擾動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展的研究集中在飛輪擾動(dòng)理論模型建模技術(shù)主要考慮飛輪轉(zhuǎn)子不平衡(靜不平衡、動(dòng)不平衡)、飛輪結(jié)構(gòu)撓性、軸承振動(dòng)與摩擦特性以及電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩特性等四方面［3－7］。未考慮飛輪轉(zhuǎn)子與軸承間鉸間隙的影響，運(yùn)動(dòng)副的存在間隙不可避免，運(yùn)動(dòng)副間隙主要由兩種因素造成，一種由設(shè)計(jì)動(dòng)配合生產(chǎn)加工形成的規(guī)則的原始裝配間隙，一種由磨損引起的非規(guī)則的附加間隙，由于轉(zhuǎn)子不平衡在旋轉(zhuǎn)中發(fā)生偏心，且存在間隙，轉(zhuǎn)子與軸套間發(fā)生接觸碰撞產(chǎn)生的沖擊，嚴(yán)重影響航天器的控制精度與穩(wěn)定性。

本文以某高指向要求的遙感觀測(cè)衛(wèi)星為例，基于虛擬樣機(jī)技術(shù)，引入間隙矢量模型，對(duì)鉸間隙進(jìn)行建模，通過(guò)對(duì)Adams中已有模型參數(shù)的設(shè)定及自定義模型的引入，得到考慮飛輪鉸間隙的衛(wèi)星系統(tǒng)虛擬樣機(jī)模型，分析其反作用輪鉸間隙對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，進(jìn)而為控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供參考。

1 反作用輪間隙鉸動(dòng)力學(xué)建模

反作用輪是衛(wèi)星姿控系統(tǒng)關(guān)鍵執(zhí)行部件，主要由支撐軸、軸承、飛輪轉(zhuǎn)子、驅(qū)動(dòng)電機(jī)等零部件組成［8］，驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出力矩使飛輪轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)，從而提供衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)或保持的力矩。飛輪轉(zhuǎn)子與軸承間存在間隙，由于飛輪轉(zhuǎn)子的動(dòng)不平衡，轉(zhuǎn)子與軸承間發(fā)生接觸碰撞，隨著運(yùn)行時(shí)間的變長(zhǎng)將產(chǎn)生磨損，加大間隙，間隙的變大又會(huì)導(dǎo)致碰撞沖擊劇烈進(jìn)一步磨損，這是個(gè)循環(huán)促進(jìn)的過(guò)程，研究鉸間隙對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響，其關(guān)鍵是對(duì)鉸間隙進(jìn)行正確描述。

1.1 間隙鉸矢量模型

運(yùn)動(dòng)副鉸間間隙的存在對(duì)機(jī)構(gòu)主要有兩方面的影響:首先，由于間隙的存在，系統(tǒng)成為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可變的系統(tǒng)。含間隙的系統(tǒng)具有兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu):一種是兩體之間在間隙的方向上失去鉸間約束，構(gòu)件體做自由運(yùn)動(dòng);另一種是兩體之間相互接觸，構(gòu)件體做具有單邊約束的運(yùn)動(dòng)。間隙的另一個(gè)影響是機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生內(nèi)碰撞，含間隙的變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總是在自由運(yùn)動(dòng)和單邊約束兩種狀態(tài)間相互切換，而這種狀態(tài)間的切換幾乎不可能是光滑、平穩(wěn)的，總要包含一定的碰撞，而碰撞即會(huì)產(chǎn)生碰撞力，從而影響機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。

對(duì)衛(wèi)星反作用輪系統(tǒng)鉸間隙的真實(shí)有效描述是實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力學(xué)仿真的關(guān)鍵。本文主要定性研究反作用輪鉸間隙對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)的影響，將軸承考慮成軸套，不考慮軸承的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。如圖1所示，間隙矢量模型通過(guò)在轉(zhuǎn)子軸和軸套的旋轉(zhuǎn)鉸中引入一個(gè)間隙矢量來(lái)表達(dá)旋轉(zhuǎn)鉸的真實(shí)潛在行為，間隙矢量表征軸和軸套兩構(gòu)件間連接點(diǎn)的精確相對(duì)位置。

間隙矢量定義在一個(gè)局部浮動(dòng)笛卡爾坐標(biāo)系中，以軸套的回轉(zhuǎn)中心為間隙矢量的基準(zhǔn)起始點(diǎn)，間隙矢量的方向指向軸和軸套相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的潛在接觸點(diǎn)，該潛在接觸點(diǎn)構(gòu)成了軸與軸套的相對(duì)碰撞點(diǎn)對(duì)。間隙矢量的大小被嚴(yán)格限制在以軸套回轉(zhuǎn)中心為圓心且以軸和軸套的徑向尺寸公差為半徑的間隙圓內(nèi)，間隙矢量大小的變化能反映間隙運(yùn)動(dòng)副元素是否接觸［9］。

圖1 運(yùn)動(dòng)副間隙矢量模型Fig.1 Sketch of revolute joints with clearance

對(duì)含間隙反作用輪系統(tǒng)，假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)副鉸接處軸套與軸同心，間隙大小用軸套與軸半徑之差表示，則間隙為:

式中:ri為軸套半徑，rj為轉(zhuǎn)子軸半徑，eij為間隙矢量。

1.2 間隙鉸數(shù)學(xué)模型

圖2為軸與軸套碰撞時(shí)旋轉(zhuǎn)鉸間隙示意圖，Oi和Oj分別為軸承和軸的中心和是軸套和軸的中心在全局慣性坐標(biāo)系下位置矢量。

由圖2可知，軸套與軸的間隙矢量為:

根據(jù)間隙矢量定義知，間隙矢量表示軸相對(duì)于軸套的偏心矢量。軸與軸套碰撞時(shí)的法線單位矢量表示為:

Qi和Qj分別為軸套和軸的潛在接觸點(diǎn)，和是軸套和軸潛在接觸點(diǎn)對(duì)在全局慣性坐標(biāo)系下的位置矢量，當(dāng)軸套和軸接觸碰撞時(shí)，碰撞引起接觸變形的大小表示為:

其中:c為初始間隙，是軸套與軸的半徑之差，由式(1)求得。因此接觸變形量與間隙矢量相關(guān)。

圖2 碰撞時(shí)旋轉(zhuǎn)鉸間隙示意圖Fig.2 Bump of revolute joints with clearance

軸與軸套是否發(fā)生碰撞可根據(jù)接觸變形量δ判定，軸與軸套接觸碰撞條件為:

在軸與軸套發(fā)生接觸碰撞時(shí)，會(huì)產(chǎn)生接觸碰撞力，為計(jì)算碰撞力大小，需知道軸與軸套碰撞時(shí)接觸面間法向相對(duì)速度及切向相對(duì)速度，將δ·向碰撞接觸平面投影即可得到:

法向單位矢量n的方向可根據(jù)式(3)求得，切向單位矢量t的方向可由n逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到。

1.3 間隙鉸接觸碰撞力模型

間隙鉸的一個(gè)重要特征就是其系統(tǒng)為變拓?fù)湎到y(tǒng)，即分為無(wú)約束的自由運(yùn)動(dòng)和受單邊幾何約束的運(yùn)動(dòng)，自由運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)副處不受力的作用較好處理，但是當(dāng)受單邊幾何約束時(shí)，運(yùn)動(dòng)副處將會(huì)有力的作用，為了建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，需要將幾何約束轉(zhuǎn)化為力約束，利用合理的碰撞力模型來(lái)預(yù)測(cè)接觸碰撞力將是建立正確動(dòng)力學(xué)模型的關(guān)鍵。

本文采用非線性彈簧阻尼模型建立軸與軸套間隙接觸碰撞模型［10－11］，如圖3所示其廣義形式表示為:

式中:Fn為接觸點(diǎn)法向接觸力;Kn為等效接觸剛度;δ為接觸點(diǎn)法向穿透深度為接觸點(diǎn)法向相對(duì)速度;C(δ)為與δ有關(guān)的阻尼因子;m為指數(shù)，m≥1。彈簧恢復(fù)力Fk由Hertz接觸理論確定:

為克服線性阻尼模型接觸初始時(shí)刻碰撞力不為零的局限性，采用非線性阻尼模型確定接觸碰撞過(guò)程中的阻尼力Fd:

其中:C為阻尼系數(shù)，與恢復(fù)系數(shù)及接觸剛度有關(guān):

等效接觸剛度Kn取決于兩個(gè)接觸碰撞體的幾何特征及材料屬性，根據(jù)Hertz接觸理論可知:

圖3 旋轉(zhuǎn)鉸非線性彈簧阻尼模型Fig.3 Nonlinear equivalent spring-damp model

其中:ν，E分別為泊松比與楊氏模量。

1.4 間隙鉸摩擦力模型

反作用輪轉(zhuǎn)子與軸套間還存在切向摩擦力，其力矩會(huì)進(jìn)一步影響含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，求解間隙處切向摩擦力采用修正的Coulomb摩擦模型［12］，切向摩擦力表示為:

其中:μd為滑動(dòng)摩擦系數(shù)，cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)，νt為相對(duì)切向速度。cd由下式獲得:

式中:νmin，νmax為給定的速度極限值。

通過(guò)建立的法向接觸力與切向摩擦力模型，可較準(zhǔn)確描述反作用輪系統(tǒng)間隙鉸處的約束問(wèn)題，從而根據(jù)多體動(dòng)力學(xué)理論得到考慮反作用輪鉸間隙的衛(wèi)星系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。

引入階躍函數(shù):

間隙處約束力為:

從而含間隙雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為:

式中:q為廣義坐標(biāo)列陣，M，C，K，φq，F(xiàn)分別為衛(wèi)星系統(tǒng)的廣義質(zhì)量陣、阻尼陣、剛度陣、約束方程的雅克比矩陣、廣義速度二次項(xiàng)以及力陣的和，λ為L(zhǎng)agrange乘子列陣。

2 虛擬樣機(jī)模型

對(duì)于含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，準(zhǔn)確檢測(cè)接觸碰撞點(diǎn)并精確求解是研究的難點(diǎn)問(wèn)題。當(dāng)建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型后，如何編程實(shí)現(xiàn)對(duì)接觸碰撞點(diǎn)的實(shí)時(shí)檢測(cè)將很困難，而多體動(dòng)力學(xué)分析軟件Adams能很好的解決這一問(wèn)題，所以本文基于虛擬樣機(jī)技術(shù)，應(yīng)用Adams計(jì)算平臺(tái)對(duì)考慮反作用輪鉸間隙的衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。

衛(wèi)星的整星結(jié)構(gòu)包括推進(jìn)艙、服務(wù)艙、有效載荷艙以及太陽(yáng)帆板、連接架、服務(wù)艙隔板等。其中在服務(wù)艙中裝有反作用輪系統(tǒng)，本文主要研究反作用輪轉(zhuǎn)子與軸套間隙對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，所以在太陽(yáng)帆板、連接架等結(jié)構(gòu)與衛(wèi)星本體間定義固定副，作為一個(gè)整體，不計(jì)太陽(yáng)帆板柔性的影響。為考慮飛輪轉(zhuǎn)子不平衡因素的影響，在轉(zhuǎn)子上加一較小的附加質(zhì)量，如圖4所示。

圖4 反作用輪不平衡示意圖Fig.4 Reaction wheel unbalanced

通過(guò)建立的反作用輪間隙處動(dòng)力學(xué)模型，用間隙鉸處接觸碰撞產(chǎn)生的力約束代替含間隙的幾何約束，從而達(dá)到考慮鉸間隙進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真的目的，圖5為建立的衛(wèi)星系統(tǒng)虛擬樣機(jī)模型。

圖5 衛(wèi)星系統(tǒng)虛擬樣機(jī)Fig.5 Virtual prototype model of satellite

3 仿真結(jié)果與分析

間隙鉸的存在，對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及指向精度都將產(chǎn)生一定的影響，基于建立的虛擬樣機(jī)，分別針對(duì)飛輪轉(zhuǎn)子與軸套間為理想鉸及間隙鉸兩種情況進(jìn)行仿真分析，分析鉸間隙對(duì)各特征變量的影響。

3.1 仿真條件

航天器材料為鋁蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)，在進(jìn)行仿真運(yùn)算時(shí)，對(duì)其結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行假設(shè)等效，仿真中的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。反作用輪轉(zhuǎn)子半徑rj=0.0195 m，軸套半徑為ri=0.02 m。半徑間隙c=0.0005 m，電機(jī)輸出力矩為M1=0.1 Nm，間隙接觸等效剛度值為1.3×108N/m、等效阻尼值為176 Ns/m，滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.1。

表1 衛(wèi)星系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structure parameters of the satellite

3.2 結(jié)果分析

根據(jù)以上仿真條件，對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)虛擬樣機(jī)進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖6所示。

圖6 間隙矢量距Fig.6 Sketch of revolute joints with clearance

圖6為反作用輪轉(zhuǎn)子與軸套的間隙矢量距，根據(jù)間隙矢量定義知，初始時(shí)轉(zhuǎn)子與軸套同心，間隙矢量距為0，當(dāng)電機(jī)對(duì)轉(zhuǎn)子施加轉(zhuǎn)矩后，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)并發(fā)生偏心，與軸套接觸碰撞，軸套與轉(zhuǎn)子間隙為0.5mm，當(dāng)間隙矢量距達(dá)到0.5mm時(shí)即代表發(fā)生接觸，從圖中可看出只是在運(yùn)動(dòng)初期轉(zhuǎn)子與軸套有脫離接觸，隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，兩者一直保持接觸狀態(tài)，即運(yùn)動(dòng)副間發(fā)生連續(xù)接觸變形。

圖7 衛(wèi)星系統(tǒng)平動(dòng)特性Fig.7 Translational characteristics of satellite systems

圖8 衛(wèi)星系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)特性Fig.8 Rotational characteristics of satellite systems

圖7為衛(wèi)星本體在反作用輪作用下，理想鉸與間隙鉸兩種不同工況下質(zhì)心的平動(dòng)特性，其中圖7(a)為質(zhì)心的位移曲線，由于間隙的存在，使衛(wèi)星在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中位置出現(xiàn)偏差，且隨著時(shí)間的積累偏差逐漸增大。從圖7(b)、圖8(a)衛(wèi)星的平動(dòng)速度、角速度曲線中看出，間隙使衛(wèi)星速度發(fā)生波動(dòng)，而間隙處消耗能量，在電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩相同情況下，考慮間隙時(shí)衛(wèi)星的機(jī)動(dòng)速度小于理想情況下的速度。圖7(c)、圖8(b)衛(wèi)星的加速度曲線表明，間隙使間隙鉸處發(fā)生內(nèi)碰撞，加速度出現(xiàn)很大的峰值。

通過(guò)分析可知，由于反作用輪轉(zhuǎn)子與軸套間存在的間隙，使衛(wèi)星系統(tǒng)的速度與加速度都出現(xiàn)很大的波動(dòng)，對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性及定位精度極其不利。

圖9為衛(wèi)星反作用輪系統(tǒng)間隙鉸處產(chǎn)生的接觸碰撞力，其中圖9(a)、圖9(b)分別為法向接觸力和切向摩擦力，由動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程可知，法向接觸力由彈簧阻尼器等效求得，而摩擦力則根據(jù)修正的庫(kù)倫摩擦力模型求得。從圖中可看出，由于間隙的存在，間隙鉸處發(fā)生內(nèi)碰撞，法向力和摩擦力都有很大的沖擊峰值，且法向力數(shù)值大于摩擦力，圖9(c)為接觸碰撞力的合力與理想鉸鉸間力的對(duì)比，從圖中明顯看出考慮間隙情況下的接觸碰撞力遠(yuǎn)大于理想情況下產(chǎn)生的鉸間力，最大峰值約為理想情況下的10倍，過(guò)大的沖擊力將加速機(jī)構(gòu)的破壞與磨損，反作用輪鉸間隙的存在對(duì)于衛(wèi)星系統(tǒng)的定位精度及工作壽命影響極大。

圖9 間隙接觸碰撞力Fig.9 Joint clearance bump force

4 結(jié)論

反作用輪作為衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的關(guān)鍵執(zhí)行部件，其也是影響高精度航天器的主要擾動(dòng)源之一，文中采用非線性彈簧阻尼模型建立了間隙處的接觸碰撞模型，同時(shí)采用修正的Coulomb摩擦模型考慮運(yùn)動(dòng)副間隙處的摩擦作用，研究了反作用輪鉸間間隙對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。仿真結(jié)果表明:

(1)反作用輪鉸間隙的存在，將影響衛(wèi)星系統(tǒng)的定位精度，出現(xiàn)定位偏差，且隨著運(yùn)行時(shí)間的增長(zhǎng)，偏差累積增大。

(2)間隙的存在使鉸間發(fā)生內(nèi)碰撞，引起衛(wèi)星系統(tǒng)速度、加速度劇烈抖動(dòng)，產(chǎn)生很大的峰值。

(3)鉸間的內(nèi)碰撞將產(chǎn)生很大的接觸碰撞力，加速機(jī)構(gòu)的磨損與破壞，影響反作用輪系統(tǒng)的使用壽命。運(yùn)動(dòng)副間隙不可避免，在建立反作用輪系統(tǒng)擾動(dòng)模型時(shí)應(yīng)充分考慮間隙對(duì)系統(tǒng)的影響，以獲得更準(zhǔn)確的擾動(dòng)模型，為航天器材料的選擇及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考。

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