湯曉虹

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著極其重要的作用，如何將函數(shù)思想滲透到數(shù)列教學(xué)中，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增加體校生的有效學(xué)習(xí)是我們作為體校教師的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想;數(shù)列知識(shí);數(shù)學(xué)思想方法オ

體校學(xué)生有其自身的特點(diǎn)：活潑、好動(dòng)、頭腦靈活，他們?cè)趯W(xué)習(xí)上沒(méi)有考試壓力，沒(méi)有升學(xué)壓力，學(xué)習(xí)全靠自己的興趣和來(lái)自教練的壓力，所以對(duì)他們感興趣的課程，他們聽(tīng)得津津有味，反之就是我行我素，課堂一片混亂.當(dāng)然還有就是大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，根本不能和普通中學(xué)的學(xué)生相比，即使有少數(shù)學(xué)生在初中和小學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)得還不錯(cuò)，但是進(jìn)入體校以后，沒(méi)有壓力，沒(méi)有氛圍，成績(jī)也下降很多.平時(shí)我也和學(xué)生交流的很多，他們對(duì)數(shù)學(xué)課向來(lái)比較排斥，一方面覺(jué)得枯燥，另一方面總覺(jué)得數(shù)學(xué)和他們的生活沒(méi)什么太大的聯(lián)系，覺(jué)得沒(méi)有像語(yǔ)文、英語(yǔ)那樣實(shí)用，所以學(xué)習(xí)起來(lái)沒(méi)有動(dòng)力.這就要求我們教師在課堂中盡可能多的用一些簡(jiǎn)便的方法，讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)沒(méi)有那么難學(xué)，是可以掌握一點(diǎn)的.拿數(shù)列舉例是因?yàn)閿?shù)列的題目其實(shí)在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常碰到，一些報(bào)紙、書刊將其作為趣味題來(lái)做，我們學(xué)生也會(huì)買些報(bào)紙來(lái)找規(guī)律填數(shù)字，但是要在其內(nèi)容上深入和擴(kuò)展，就需要后續(xù)的練習(xí)和總結(jié)了.函數(shù)是學(xué)生從初中就開(kāi)始接觸的重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，很多學(xué)生學(xué)的相對(duì)其他知識(shí)要好得多，以函數(shù)知識(shí)為鋪墊來(lái)講授數(shù)列知識(shí)有一定的可行性.因?yàn)閿?shù)列就是按照一定的次序排列的一列數(shù)，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列是定義在N*或者其有限子集{1,2，…，n}上的函數(shù)f(n)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始依次取整數(shù)時(shí)，f(n)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值：f(1),f(2),f(3),…,f(n)，引導(dǎo)學(xué)生得到：(1,a1),(2,a2),…,(n,f(n))，就是一次函數(shù)f(n)=a璶=d璶+(a1-d)圖像上的散開(kāi)的點(diǎn)，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生本題實(shí)際上涉及三個(gè)點(diǎn)：A(10,a10),B(100,a100)，C(110,a110).

所以由已知A(10,a10),B(100,a100),C(110,a110)在同一直線上，由圖像及相似性質(zhì)可以得到：100-10[]110-10=100-10[]100-a110.解得a110=0.

同學(xué)覺(jué)得相當(dāng)巧妙，也深深地感受到了函數(shù)知識(shí)在數(shù)列知識(shí)中的應(yīng)用.總結(jié)相關(guān)例題：

一、等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列{a璶}為等差數(shù)列詎a璶=An+B(A≠0),

S璶=An2+Bn或S璶[]n=An+B(A≠0).

圖像為排在同一直線上的一系列孤立點(diǎn)，點(diǎn)(n,S璶)分布在二次函數(shù)y=〢x2+狟x的圖像上，所以數(shù)列的一些最值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解.

例1 設(shè)數(shù)列{a璶}的前n項(xiàng)和為S璶=An+Bn(n-1),﹏∈狽*，A,B為常數(shù)，且A≠B.

（1）證明：數(shù)列{a璶}為等差數(shù)列;

（2）證明：以a璶,S璶[]n-1為坐標(biāo)的點(diǎn)P璶(n∈N*)在同一直線上，并求出直線方程.

證明 （1）因?yàn)镾璶=An+B(n-1),n∈N*，ニ以a璶=A(n=1)，

S璶-S﹏-1(n≥2,n∈N*)，

即

a璶=A(n=1)，

2Bn+A-2B(n≥2,n∈N*)，

當(dāng)n=1,a1=A,也滿足a璶=2Bn+A-2B，

所以{a璶}是等差數(shù)列.

（2）因?yàn)镾璶[]n-1-S1[]1-1[]a璶-a1=An+Bn(n-1)[]n-A[]2B(n-1)=1[]2,ニ以a璶，S璶[]n-1在以1[]2為斜率的直線上，該直線方程為y-(A-1)=1[]2(x-A),即y=1[]2x+1[]2A-1.

例2 設(shè){a璶}是等差數(shù)列，a1=25,S17=S9，問(wèn)：數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？求此最大值.

解 由a1=25，S17=S9,有d=-2，S璶=-(n-13)2+169,所以當(dāng)n=13時(shí)，有最大值169.用的是二次函數(shù)求最值的方法——配方法.

二、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

等比數(shù)列{a璶}中，通項(xiàng)公式a璶=a1q﹏-1就是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù).求和公式S璶=a1(1-q琻)[]1-q=-a1[]1-qq琻+a1[]1-q=Aq琻+B(q≠1,Aq≠0,A+B=0),點(diǎn)(n,S璶)分布在函數(shù)y=Aq琻+B的圖像上.

例3 數(shù)列{a璶}為等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和S璶=5﹏-1+t，求t的值.

解 由以上性質(zhì)知，等比數(shù)列中S璶=1[]5?5琻+t，所以﹖=-1[]5.

三、函數(shù)具有單調(diào)性，數(shù)列是特殊的函數(shù)，也可以利用單調(diào)性來(lái)解題，但要注意其定義域

例4 設(shè)數(shù)列{a璶}的通項(xiàng)公式為a璶=n2+2-n，證明數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

證明 令f(x)=x2+2-x=2[]x2+2+x，當(dāng)x>0,ゝ(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以{a璶}為單調(diào)遞減數(shù)列（n>0）.

例5 設(shè){a璶}是等差數(shù)列，a1=25,S17=S9，問(wèn)：數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？是否能用單調(diào)性來(lái)解題，大家考慮一下.

解 因?yàn)閧a璶}是等差數(shù)列，a1=25,S17=S9，所以{a璶}為單調(diào)遞減數(shù)列，且a10+a11+a12+…+a17=0，由等差數(shù)列性質(zhì)

有a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，則a13+゛14=0，又因?yàn)槭菃握{(diào)遞減數(shù)列，所以a13>0，a14<0,即S13最大.

注 利用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，當(dāng)a1>0，且為單調(diào)遞減數(shù)列時(shí)，前n項(xiàng)和S璶有最大值，如果從第n項(xiàng)開(kāi)始變號(hào)，則在n-1處取得最大值.

四、函數(shù)中圖形是它的一個(gè)很重要的特征，利用函數(shù)的圖像來(lái)解題可以起到事半功倍的作用，所以數(shù)列既然是特殊的函數(shù)，它也可以充分利用圖形來(lái)解決一些問(wèn)題

例6 設(shè){a璶}是等差數(shù)列，a1=25,S17=S9，問(wèn)：數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？以上我們已經(jīng)用了性質(zhì)——單調(diào)性來(lái)解，是否能試著用圖像來(lái)解？

解 因?yàn)镾璶=d[]2n2-a1-d[]2n,又a1=25,S9=S17,ニ以d<0，從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看S璶是關(guān)于n的拋物線上的孤立的點(diǎn)，且開(kāi)口向下.

又因?yàn)镾17=S9，

所以對(duì)稱軸為n=9+17[]2=13，即S13最大.

五、函數(shù)有周期性，數(shù)列是特殊的函數(shù)，自然也會(huì)有周期性，利用函數(shù)的周期性解數(shù)列中某些特定的項(xiàng)或者求和

例7 設(shè)數(shù)列{a璶}中，a1=15,a2=67，對(duì)所有自然數(shù)n有a﹏+1=a璶+a﹏+2，求a2011.

解 因?yàn)閍﹏+1=a璶+a﹏+2，

所以a﹏+2=a﹏+1+a﹏+3，兩式相加，a﹏+3=-a璶，

所以a﹏+6=-a﹏+3=a璶，則該數(shù)列是以6為周期的數(shù)列.

由a1=15,a2=67，得a3=52,a4=-15,a5=-67,a6=-52,

a2011=a6×334+1=a1=15.

思考 等差數(shù)列{a璶}中，a1=12,d=-2,（1）求S璶，并畫出S璶(1≤n≤13)的圖像；（2）分別求S璶單調(diào)遞增、單調(diào)遞減時(shí)n的取值范圍，并求{S璶}最大（?。┑捻?xiàng)；（3）{S璶}有多少項(xiàng)大于0.

分析 本題分三個(gè)小題，第（1）題要求畫圖像，然后第（2）題再求單調(diào)范圍，學(xué)生就很容易聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)性，這種題目表面上樸實(shí)，但內(nèi)涵豐富，學(xué)生理解起來(lái)輕松自如，思維也是貫穿的、一氣呵成的.思考完成后讓學(xué)生更好地理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù)，相關(guān)的問(wèn)題可以用函數(shù)知識(shí)去解決.相類似的問(wèn)題在教學(xué)過(guò)程中比比皆是，要好好地利用它，不能輕描淡寫的過(guò)去，要好好培養(yǎng)學(xué)生腳踏實(shí)地的求學(xué)精神.在用二次函數(shù)求解范圍后，從通項(xiàng)公式a璶入手，考慮a璶≥0,a﹏+1≤0，就可以求出哪項(xiàng)開(kāi)始負(fù)，進(jìn)而求解.

數(shù)學(xué)思想方法不僅在數(shù)列教學(xué)中有所應(yīng)用，在高中的其他知識(shí)中也有重要的作用，教師在平時(shí)的教學(xué)中，要循序漸進(jìn)，把數(shù)學(xué)思想滲透到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力是大有益處的.

【參考文獻(xiàn)】オ

［1］沈豐.巧用函數(shù)思想妙解數(shù)列試題［J］.新課程學(xué)習(xí)(社會(huì)綜合),2009(08).

［2］孫福平.函數(shù)教學(xué)中的遷移問(wèn)題研究［D］.首都師范大學(xué),2004.

［3］王學(xué)忠.用函數(shù)的眼光“看”數(shù)列問(wèn)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué),2006(11).

［4］楊可友.針對(duì)數(shù)列問(wèn)題研究的方法［J］.池州師專學(xué)報(bào),2004(05)：63-65.

［5］張?jiān)寿?利用函數(shù)思想求解數(shù)列問(wèn)題［J］.廣東教育(高中版),2007(01)：15-16.