李娜　仁慶道爾吉

[摘 要]高等數(shù)學(xué)已經(jīng)被大部分高校列為重要的公共基礎(chǔ)課，該課程內(nèi)容多，概念抽象，理論嚴(yán)密，對(duì)學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及研究生入學(xué)考試都有著不可忽視的作用。然而，近年來，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣每況愈下，不及格率大大增加。本文提出將傳統(tǒng)的高數(shù)教學(xué)方式進(jìn)行適當(dāng)改革，將具有強(qiáng)大科學(xué)計(jì)算功能的計(jì)算軟件MATLAB應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，給出了MATLAB分別在極限、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、積分運(yùn)算、微分方程中的應(yīng)用實(shí)例。作為教學(xué)的輔助教學(xué)手段，使機(jī)算與枯燥的手工計(jì)算相結(jié)合，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力，活躍了課堂氣氛，最終提高教學(xué)效果。

[關(guān)鍵字]MATLAB 高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 積分

[中圖分類號(hào)] G642.0[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 2095-3437（2012）11-0066-03

一、引言

高等數(shù)學(xué)這一課程已經(jīng)被大部分本科院校列為培養(yǎng)計(jì)劃中重要的公共基礎(chǔ)課，它對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)以及思維素質(zhì)的培養(yǎng)都起著重要的作用。該課程理論嚴(yán)密，觀點(diǎn)抽象，內(nèi)容多而且復(fù)雜。掌握好該課程的基本內(nèi)容不僅為學(xué)生深入學(xué)習(xí)后繼課程奠定了基礎(chǔ)，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)及能力是一個(gè)良好的訓(xùn)練、提高過程。在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中，學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、抽象分析能力、綜合與推理能力都可以得到鍛煉。而傳統(tǒng)的教學(xué)方式主要以課本的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，概念、公式為主，加上工科院校學(xué)習(xí)任務(wù)重，課時(shí)緊，各科教師迫于學(xué)時(shí)的壓力，在課堂教學(xué)很難注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。盡管老師們一再?gòu)?qiáng)調(diào)高等數(shù)學(xué)的重要性，但數(shù)學(xué)的抽象和嚴(yán)謹(jǐn)，足以使大部分學(xué)生望而生畏，學(xué)生感到數(shù)學(xué)的許多東西都是看不到，摸不著，太抽象，太枯燥，致使學(xué)習(xí)興趣每況愈下，不及格率大大增加。所以有必要對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方式進(jìn)行適當(dāng)改革。

MATLAB是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。20世紀(jì)70年代，美國(guó)新墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任Cleve Moler為了減輕學(xué)生編程的負(fù)擔(dān)，用FORTRAN編寫了最早的MATLAB。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市場(chǎng)。到20世紀(jì)90年代，MATLAB已成為國(guó)際控制界的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件。此后，公司不斷推出新的版本，直到2012年3月，公司推出了MATLAB的最新版本MATLAB7.14。

MATLAB可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)圖像、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。該語(yǔ)言主要有以下幾個(gè)其他語(yǔ)言無法比擬的特點(diǎn)：

（1）高效的數(shù)值計(jì)算及符號(hào)計(jì)算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中解脫出來：（2）具有完備的圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和編程的可視化；（3）友好的用戶界面及接近數(shù)學(xué)表達(dá)式的自然化語(yǔ)言，使學(xué)者易于學(xué)習(xí)和掌握；（4）功能豐富的應(yīng)用工具箱（如信號(hào)處理工具箱、通信工具箱等） ，為用戶提供了大量方便實(shí)用的處理工具?？梢哉f，MATLAB語(yǔ)言已成為國(guó)際上最具吸引力、應(yīng)用最為廣泛的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言。

基于MATLAB 的以上特點(diǎn)，我們可以將MATLAB和高等數(shù)學(xué)課程有機(jī)結(jié)合起來，把傳統(tǒng)的筆算改為筆算與機(jī)算相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐相結(jié)合，大大提高學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，從而可以提高教學(xué)質(zhì)量。同時(shí)，該軟件的繪圖功能，可以將圖形直觀的呈現(xiàn)給學(xué)生，有助學(xué)生對(duì)圖形的識(shí)別和部分概念的理解。下面，我們從幾個(gè)不同方面來說明一下MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

二、 MATLAB在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）MATLAB在極限中的應(yīng)用

極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，同時(shí)也是研究高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本工具。為此，極限概念的理解以及求極限的運(yùn)算就是學(xué)生必須要掌握的內(nèi)容。在MATLAB中，可以通過命令“l(fā)imit（）”實(shí)現(xiàn)函數(shù)的極限計(jì)算。同時(shí)，我們可以利用MATLAB的畫圖功能，幫助學(xué)生理解相關(guān)概念。

例1：計(jì)算■x sin■。

在MATLAB的命令窗口輸入：

subplot（1，2，1）

fplot（‘sin（1/x），[-0.001，0.001]）% 畫出函數(shù)y=sin■，x∈[-0.001，0.001]的圖形

subplot（1，2，2）

fplot（‘x*sin（1/x），[-0.001，0.001]） %畫出函數(shù)y=x sin■，x∈[-0.001，0.001]的圖形

syms x

limit（x*sin（1/x），x，0）% 求函數(shù)在變量x趨于0的極限

limit（x*sin（1/x），x，0，‘left）% 求函數(shù)在變量x趨于0的左極限

limit（x*sin（1/x），x，0，‘right）% 求函數(shù)在變量x趨于0的右極限

執(zhí)行結(jié)果：

■

1圖表明函數(shù)y=sin■的值在-1與1之間波動(dòng)，函數(shù)有界，但沒有極限，x=0是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)。2圖表明函數(shù)y= x sin■的值不斷振蕩，但離0的值越來越近，即趨近于0。通過命令“l(fā)imit（）”可以求出函數(shù)的左右極限和極限，給學(xué)生提供了方便。同時(shí)恰當(dāng)應(yīng)用matlab的畫圖功能，有助于學(xué)生對(duì)圖形的掌握和概念理解。

（二）MATLAB在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念。相關(guān)的內(nèi)容有復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值問題等等，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容。

例2：z=exsiny2，求■，■，■，■。

在MATLAB的命令窗口輸入：

syms x y z

z=exp（x）*sin（y^2）；

diff （z， x）%求z對(duì)x的偏導(dǎo)

diff （z， y）%求z對(duì)y的偏導(dǎo)

diff （z， y，2） %求z對(duì)y的2階偏導(dǎo)

diff （diff（z， x）， y） %求z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)再對(duì)y求偏導(dǎo)

執(zhí)行結(jié)果：

ans =exp（x）*sin（y^2）

ans =2*exp（x）*cos（y^2）*y

ans =-4*exp（x）*sin（y^2）*y^2+2*exp（x）*cos（y^2）

ans =2*exp（x）*cos（y^2）*y

利用命令“diff（ ）”， 可以求出函數(shù)對(duì)指定變量的任意階導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)，運(yùn)算相當(dāng)方便。

例3：求函數(shù)y=2e-xsina x 在[2，5]的最值點(diǎn)和最值。

在MATLAB的命令窗口輸入：

syms x；

[xmin，ymin]=fminbnd（‘2*exp（-x）*sin（x），2，5）； %求最小值點(diǎn)和最小值

[xmax，ymax]=fminbnd（‘-2*exp（-x）*sin（x），2，5）；%求最大值點(diǎn)和最大值，轉(zhuǎn)化為求-y的最小值點(diǎn)和最小值，

xmin，ymin，xmax，-ymax%輸出原函數(shù)的最小值點(diǎn)，最小值，最大值點(diǎn)和最大值

fplot（‘2*exp（-x）*sin（x） ，[2，5]）

執(zhí)行結(jié)果：

xmin =3.9270

ymin =-0.0279

xmax =2.0000

-ymax =0.2461

利用命令“fminbnd （ ）”可以求出函數(shù)在指定區(qū)間的最小值以及最小值點(diǎn)，如果想計(jì)算函數(shù)的最大值和最大值點(diǎn)，只需要轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的負(fù)值函數(shù)的最小值和最小值，再用該命令即可完成。其實(shí)，另外一種方法，可以利用畫圖命令畫出函數(shù)的圖即可找出最值。

（三）MATLAB在積分運(yùn)算中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中的積分運(yùn)算包括不定積分，定積分和二重積分等。

例4：計(jì)算■■。

在MATLAB的命令窗口輸入：

syms x；

y=（x*（1+x）^3）^（-0.5）；

int（y，0，+inf）

執(zhí)行結(jié)果：

ans =2

利用命令“int （f，v，a，b）”可以求出函數(shù)f關(guān)于變量v在區(qū)間[a，b]的定積分，如果省去v，則求出的是關(guān)于syms定義的符號(hào)變量的積分，如果省去a，b則得到的就是不定積分，并且結(jié)果不自行添加積分常數(shù)C。如果想要計(jì)算二重積分，首先要轉(zhuǎn)化為累次積分，再利用該命令指定積分變量積分即可?？梢娫撁钣闷饋硎址奖?。

（四）MATLAB在求解微分方程中的應(yīng)用

所謂微分方程就是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程，在數(shù)學(xué)和物理上都有很多的應(yīng)用。常見的微分方程有可分離變量微分方程、齊次方程、一階線性、常系數(shù)（非）奇次線性微分方程。

例5：求微分y″+2y′+y=0方程滿足初始條件y（0）=4，y′（0）=-2的特解。

在MATLAB的命令窗口輸入：

syms x；

equ=‘D2y+2*Dy+y=0；

y=dsolve （equ， ‘x）%求方程的通解

y1= dsolve （equ， ‘y（0）=4，Dy（0）=-2 ， ‘x）%求方程滿足初始條件的特解

執(zhí)行結(jié)果：

y =C1*exp（-x）+C2*exp（-x）*x

y1 =4*exp（-x）+2*exp（-x）*x

在表達(dá)式中，符號(hào)Dy表示對(duì)變量y的一階導(dǎo)數(shù)，Dny表示對(duì)變量y的n階導(dǎo)數(shù)。命令“dsolve （‘equation， ‘var）”可以求出自變量為“var”的方程”equation”的通解，若“var”缺省，則默認(rèn)自變量為變量“t”。如果求的方程的滿足初始條件的特解命令為“dsolve （‘equation， ‘cond1，cond2，…， ‘var）”。

以上介紹了MATLAB軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的4個(gè)方面應(yīng)用，利用并不復(fù)雜的命令可以實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的很多基本計(jì)算，而且準(zhǔn)確率高，運(yùn)行效率高。其實(shí)MATLAB的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不僅如此，將MATLAB與高等數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，給學(xué)生提供了動(dòng)手驗(yàn)證的機(jī)會(huì)，枯燥的純手工計(jì)算不再乏味，同時(shí)大大增加了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，提高了教學(xué)質(zhì)量，起到了不錯(cuò)的教學(xué)效果。另外學(xué)生掌握了一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)軟件，對(duì)以后的科學(xué)計(jì)算研究也是大有裨益的。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 王沫然. MATLAB與科學(xué)計(jì)算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[3] 唐新華.MATLAB在微積分中的應(yīng)用[J].科技信息，2009，（16）.

[4] 周德亮，白巖.用MATLAB解決高等數(shù)學(xué)中的圖形問題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2002，（1）.

[5] 菅小艷.MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)時(shí)代， 2011，（5）.

[責(zé)任編輯：戴禎杰]

[收稿時(shí)間]2012-09-08

[基金項(xiàng)目]內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目課題（2011056，2011063）。

[作者簡(jiǎn)介]李娜（1982-），女，碩士，講師， 研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。