張蓮蓮等

摘要：高中數(shù)學(xué)空間幾何體角與距離的學(xué)習(xí)一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重、難點(diǎn)，由于開發(fā)的難度大，國內(nèi)外現(xiàn)有的空間幾何體學(xué)習(xí)支撐工具的功能并不是十分完善，尤其是在角與距離問題的解決上缺乏針對性。本文針對國內(nèi)外現(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)空間幾何體學(xué)習(xí)支撐工具進(jìn)行比較，分析其針對角與距離問題解決上的優(yōu)缺點(diǎn)，為更好地設(shè)計(jì)與開發(fā)空間幾何體角與距離學(xué)習(xí)支撐工具提供一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；空間幾何體；角與距離；學(xué)習(xí)支撐工具

數(shù)學(xué)學(xué)科在基礎(chǔ)教育知識體系占有很重要的地位，為了滿足教學(xué)的需要，國內(nèi)外開發(fā)的此類軟件的種類很多，但真正適合教師和學(xué)生用來學(xué)習(xí)空間幾何的軟件少之又少，難以滿足教學(xué)需要。事實(shí)上，幾何是中學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，空間幾何則是其中的難點(diǎn)[1]，在空間幾何的學(xué)習(xí)過程中，空間幾何體角與距離的學(xué)習(xí)是其中的重、難點(diǎn)，主要原因是空間幾何體習(xí)題的解決需要學(xué)生建立空間想象能力，在空間幾何體角與距離問題的學(xué)習(xí)中主要內(nèi)容包括：線線角、線面角、二面角、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、異面直線的距離。其中，線面角、二面角、異面直線的距離都需要學(xué)生在立體空間中來解決，脫離了平面，在找角或找距離的時(shí)候非常的困難，不好理解，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識的時(shí)候只能借助自己的空間想象能力再加上教師的解釋來強(qiáng)行理解，因此學(xué)習(xí)的效果不是很好，而這部分知識又是高考中的重點(diǎn)知識，因此，需要相關(guān)的學(xué)習(xí)支撐工具來解決此類問題，提高教學(xué)質(zhì)量，從而提高教學(xué)效率。

● 高中數(shù)學(xué)空間幾何體教學(xué)軟件的分類及簡介

國內(nèi)外針對數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)需求開發(fā)的軟件頗多，比較突出的有幾何畫板、GeoGebra、Geometry Expressions、Z+Z智能教育平臺系列中面向平面幾何的超級畫板、Cabri3D、玲瓏3D，下面就針對這幾款軟件進(jìn)行簡單介紹。

1.幾何畫板

幾何畫板是適用于數(shù)學(xué)、平面幾何、物理的矢量分析、作圖，函數(shù)作圖的動態(tài)幾何工具。幾何畫板軟件是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優(yōu)秀教育軟件，1996年該公司授權(quán)人民教育出版社在中國發(fā)行該軟件的中文版。幾何畫板能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、揭示數(shù)學(xué)規(guī)律、直觀反映數(shù)學(xué)變化、動態(tài)保持形數(shù)關(guān)系，它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計(jì)算、動畫、跟蹤軌跡等，顯示或構(gòu)造出千變?nèi)f化的圖形。為教師和學(xué)生提供了直觀、方便、快捷、準(zhǔn)確的圖形表現(xiàn)工具，使學(xué)生在圖形的運(yùn)動和變化的過程中，觀察、歸納出圖形的數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)。幾何畫板適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）的教學(xué)。

2.GeoGebra

GeoGebra是一款結(jié)合“幾何”、“代數(shù)”與“微積分”的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它是由美國羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)的。一方面來說，GeoGebra是一個(gè)動態(tài)的幾何軟件，您可以在上面畫點(diǎn)、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線，甚至是函數(shù)，事后還可以改變它們的屬性；另一方面來說，可以直接輸入方程和點(diǎn)坐標(biāo)。所以，GeoGebra也有處理變數(shù)的能力（這些變數(shù)可以是一個(gè)數(shù)字、角度、向量或點(diǎn)坐標(biāo)），它也可以對函數(shù)作微分與積分，找出方程的根或計(jì)算函數(shù)的極大極小值。所以GeoGebra同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能。但正是由于GeoGebra具有了多種功能，所以，在每一部分的功能上并不是十分的完善，并且在打開軟件時(shí)默認(rèn)的界面含有坐標(biāo)系，這樣會影響圖形的構(gòu)建，默認(rèn)狀態(tài)下應(yīng)該是空白狀態(tài)，方便教師和學(xué)生使用。

3.Geometry Expressions

Geometry Expressions是一款世界領(lǐng)先的交互式符號幾何系統(tǒng)。這就意味著：幾何圖形可以按照符號幾何或者數(shù)字領(lǐng)域進(jìn)行定義。繪圖因?yàn)橛辛藚?shù)和符號動畫而顯得生動起來；有了新的符號約束，所有的一般建筑結(jié)構(gòu)都可以很好地展現(xiàn)。Geometry Expressions的功能界面略顯復(fù)雜，包含的功能十分多，特色的地方就是能夠?qū)D形與參數(shù)相對應(yīng)，但是由于參數(shù)的復(fù)雜性，它雖然能夠很容易地計(jì)算出相應(yīng)的面積和周長等所需要的答案，但是不利于學(xué)生的理解。

4.Z+Z 智能教育平臺——超級畫板

“Z+Z 智能教育平臺”是由我國著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、著名科普作家、中國科學(xué)院院士張景中教授主持策劃和開發(fā)的。超級畫板兼顧幾何與代數(shù)的教學(xué)，并具有自動推理、編程與宏工具的制作等高級功能，可選擇空間比較大，但是需要教師掌握的功能也很多?！癦+Z智能教育平臺”是為我國的基礎(chǔ)教育量身定做的[2]，Z+Z智能教育平臺系列中的立體幾何其自動推理功能非常強(qiáng)大，不僅能讓機(jī)器自動推理，還能讓用戶進(jìn)行交互式推理，并且還能對用戶的解答給出評價(jià)和修改。但由于其幾何圖形的顯示和交互方面存在一定的缺陷，因此并不適用于當(dāng)前的立體幾何教學(xué)。

5.Cabri3D

法國的Cabri3D于2004年推出，是世界第一款專門針對立體幾何學(xué)習(xí)的輔助教學(xué)軟件，基于Cabri3D的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)法有助于培養(yǎng)學(xué)生的立體感，提高學(xué)生的空間想象能力，大大改善立體幾何的教學(xué)質(zhì)量，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績具有正面影響力，但其只是一款動態(tài)幾何繪制軟件，并沒有自動推理及其相關(guān)的功能，因此學(xué)生不能方便地去探究圖中幾何元素之間的關(guān)系，也無法讓計(jì)算機(jī)去輔助其學(xué)習(xí)定理的證明等。Cabri3D軟件中所以提供的空間幾何圖形需要手動操作，比較麻煩，繪圖時(shí)很費(fèi)時(shí)間，所提供的圖形不夠全面，比如說球體。

6.玲瓏3D

玲瓏3D是一款好用、實(shí)用、靈活、方便的動態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件。能動態(tài)展示幾何、函數(shù)等圖形，具有創(chuàng)新性、實(shí)用性，適用于高中、初中、小學(xué)數(shù)學(xué)教師及學(xué)生，是一款不錯(cuò)的教學(xué)輔助軟件。可以真實(shí)地體現(xiàn)三維空間，進(jìn)行教學(xué)動畫演示，但是玲瓏3D不能提供現(xiàn)成的棱錐、棱臺、球體、圓柱的立體圖形，因此為空間幾何體角與距離的學(xué)習(xí)帶來不便，因?yàn)檫@些圖形是比較難畫的，教師和學(xué)生創(chuàng)作這些圖形將會浪費(fèi)太多時(shí)間。

● 六種學(xué)習(xí)支撐工具在問題解決上的對比分析

通過對六種學(xué)習(xí)支撐工具的研究與分析，我們得出了其在解決空間幾何體角與距離問題上的對比分析表（如下表），空間幾何體角與距離問題主要可以歸類為線線角、線面角、二面角、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、異面直線的距離這六大方面，下表也主要從這六個(gè)方面進(jìn)行對比分析。

從分析表中我們可以清楚地看到，這六種空間幾何體學(xué)習(xí)支撐工具在解決角與距離六大問題上的局限性，目前并沒有一款軟件可以同時(shí)解決空間幾何體角與距離中的六大知識點(diǎn)，因此需要開發(fā)新的學(xué)習(xí)支撐工具來滿足現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)空間幾何體的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，進(jìn)一步將教學(xué)重難點(diǎn)易化，保證教學(xué)質(zhì)量，提高教學(xué)效率。

● 研究結(jié)論

目前，缺乏高質(zhì)量的高中數(shù)學(xué)空間幾何體角與距離學(xué)習(xí)支撐工具，己經(jīng)制約了信息技術(shù)和空間幾何體角與距離學(xué)習(xí)的有效整合。由于各類學(xué)習(xí)支撐工具中角與距離學(xué)習(xí)的功能不是十分完善，因此在空間幾何角與距離問題的解決上更是缺乏針對性。在數(shù)字化學(xué)習(xí)環(huán)境下高中數(shù)學(xué)空間幾何體角與距離學(xué)習(xí)存在的主要問題包括以下幾點(diǎn)：

①現(xiàn)有軟件大都只具備平面幾何功能而缺少立體幾何相關(guān)的功能。

②現(xiàn)有教學(xué)缺乏針對性，缺少典型案例庫。

③現(xiàn)有學(xué)習(xí)缺少具有針對性的學(xué)習(xí)支撐工具。

針對這些問題需要開發(fā)和設(shè)計(jì)相關(guān)的高中數(shù)學(xué)空間幾何體學(xué)習(xí)支撐工具來解決在學(xué)習(xí)此類問題時(shí)遇到的困難。

● 結(jié)束語

筆者希望能夠研究設(shè)計(jì)一款學(xué)習(xí)支撐工具來解決空間幾何體角與距離問題，空間幾何體角與距離可以劃分為線線角、線面角、二面角、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距，異面直線距離這六大類，能夠利用三維解決空間幾何前所未有的難題，所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)支撐工具包含所有典型空間幾何角與距離問題，通過對各種題型的分析理解，能夠讓學(xué)生掌握兩種方法求解空間幾何角與距離問題，總結(jié)此類問題的各種題型和解題思路，從而建立學(xué)生的空間想象能力，提高運(yùn)算能力。我們期待著這一問題的提出能為新課程改革中的高中數(shù)學(xué)空間幾何體成角與距離的教學(xué)帶來應(yīng)用創(chuàng)新。