陳俊 周群艷

[摘 要]通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的基本思想、基本內(nèi)容、基本原則等方面的研究，力圖探索出一套行之有效的教學(xué)方法，促進(jìn)教學(xué)改革的發(fā)展，切實(shí)提高學(xué)生綜合素質(zhì)和能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模 教學(xué)方法 教學(xué)改革 案例式教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G427[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 2095-3437（2012）12-0073-02

一、引言

數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育重要和基本的內(nèi)容。對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容側(cè)重于傳授數(shù)學(xué)基本理論、方法和技巧，較少涉及具體的應(yīng)用，因?yàn)槌橄箅y懂，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程當(dāng)中感到困難并且覺(jué)得一無(wú)所用，學(xué)習(xí)積極性普遍不高。事實(shí)上，當(dāng)今數(shù)學(xué)的應(yīng)用廣泛而深入，但由于實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域的專業(yè)性和使用數(shù)學(xué)工具的復(fù)雜性，使得我們的學(xué)生在大學(xué)階段不大可能直接接觸到這些數(shù)學(xué)應(yīng)用的課題，因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的實(shí)際作用巨大而學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)卻感覺(jué)數(shù)學(xué)無(wú)用的矛盾。在此情況下，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的數(shù)學(xué)建模課程的開(kāi)展成為必然。另外，當(dāng)今計(jì)算機(jī)技術(shù)及數(shù)學(xué)軟件的飛速發(fā)展和普及也為改善、豐富數(shù)學(xué)建模課程內(nèi)容提供了條件。

二、數(shù)學(xué)建模課程改革與教學(xué)實(shí)踐

我校從2000年開(kāi)始組隊(duì)參加全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，2003年開(kāi)始面向數(shù)學(xué)系學(xué)生開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程。經(jīng)過(guò)幾年的競(jìng)賽和教學(xué)實(shí)踐，目前我們主要針對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)二年級(jí)或三年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模專業(yè)必修課，課時(shí)按照師范和非師范方向分為42和52學(xué)時(shí)兩種。鑒于數(shù)學(xué)建模課程的特點(diǎn)，我們要求該門課程的先行課程是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、微分方程、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等；在教學(xué)中結(jié)合我校實(shí)際情況及學(xué)生的自身特點(diǎn)，制訂適合的教學(xué)大綱、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等；教學(xué)的重點(diǎn)放在樹(shù)立信念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和能力上。

數(shù)學(xué)建模不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程，它強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)的應(yīng)用，而不單純是對(duì)某一方面的數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，因此課程中各部分的先后邏輯關(guān)系不那么明確，特別適合采用案例式教學(xué)方法。所謂案例教學(xué)方法就是在課堂教學(xué)中， 教師以具體的案例作為主要的教學(xué)內(nèi)容， 通過(guò)具體問(wèn)題的建模示例， 介紹建模的過(guò)程和思想方法。課堂上的活動(dòng)一部分是教師講授， 另一部分是讓學(xué)生進(jìn)行課堂討論， 即由學(xué)生發(fā)言， 提出對(duì)問(wèn)題的理解和對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)， 并提出新的數(shù)學(xué)模型， 對(duì)其求解、分析、討論， 進(jìn)行比較檢驗(yàn)。教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和評(píng)論。

我們?cè)趯?shí)施數(shù)學(xué)建模案例式教學(xué)時(shí)主要把握好以下幾個(gè)方面。

（一）教學(xué)內(nèi)容的選取

案例或問(wèn)題是關(guān)鍵，選擇合適的案例，這是數(shù)學(xué)建模教學(xué)取得良好教學(xué)效果的基礎(chǔ)。本著適用性、趣味性和創(chuàng)新性的原則，我們選取的主要教學(xué)案例如下：數(shù)學(xué)建模概論、初等模型、簡(jiǎn)單優(yōu)化模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、微分方程模型、離散模型、概率模型、統(tǒng)計(jì)回歸模型等。根據(jù)課時(shí)的情況每類模型講解3～4個(gè)具體案例，另外配以相適應(yīng)的課堂實(shí)踐問(wèn)題。在課堂實(shí)踐問(wèn)題的選取上特別注意與所介紹案例的關(guān)聯(lián)度，使學(xué)生可以通過(guò)適當(dāng)?shù)乃伎肌⒙?lián)想或類比將案例介紹的模型應(yīng)用于實(shí)踐問(wèn)題的解決中，增強(qiáng)他們解決問(wèn)題的自信心，加深他們對(duì)所講案例的印象，并引發(fā)興趣和思考。例如在講解初等模型部分的“汽車剎車距離”案例時(shí)，在得到剎車距離模型“d=0.75v+0.06v2”之后，提出實(shí)踐問(wèn)題“交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈，請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久”。這個(gè)問(wèn)題很好地與所介紹的案例相契合，既讓學(xué)生有思考的空間，又不至于太難，只要學(xué)生真正了解黃燈的作用，不難將黃燈時(shí)間與上述的剎車距離聯(lián)系起來(lái)，并得到結(jié)論。

（二）案例的課堂教學(xué)

教師在講授具體的建模案例時(shí)， 應(yīng)注重兩個(gè)方面。第一個(gè)方面要從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)， 講清問(wèn)題的背景、建模的要求和已掌握的信息，如何通過(guò)合理的假設(shè)和簡(jiǎn)化分析建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。還要強(qiáng)調(diào)如何用求解結(jié)果去解釋實(shí)際現(xiàn)象，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。這種方法既突出了教學(xué)的重點(diǎn)， 又給學(xué)生留下了進(jìn)一步思考的空間。例如講授傳染病模型時(shí)， 不同的假設(shè)會(huì)導(dǎo)致建立不同的模型， 只有從實(shí)際出發(fā)， 不斷地修正才能使之成為一個(gè)成功的模型。此外，還可以給學(xué)生提供一些改進(jìn)的方向，讓學(xué)生自己課外獨(dú)立探索和鉆研。另外一個(gè)方面是教師的講授必須和學(xué)生的討論相結(jié)合。在教師先講清楚案例的背景、關(guān)鍵的因素、所運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具等情況下， 運(yùn)用怎樣的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想、建立怎樣的數(shù)學(xué)模型可以讓學(xué)生各抒己見(jiàn)， 進(jìn)行討論式教學(xué)。這樣一來(lái)可以避免教師的“滿堂灌”，同時(shí)可以活躍課堂氣氛，提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣和積極性，使傳授知識(shí)變?yōu)閷W(xué)習(xí)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，真正地達(dá)到提高素質(zhì)和培養(yǎng)能力的教學(xué)目的。

在教學(xué)手段上， 由于本課程具有知識(shí)更新快、信息量大、涉及的專業(yè)知識(shí)多等特點(diǎn)，因此特別適合引入多媒體教學(xué)手段，利用PPT課件、網(wǎng)頁(yè)資料、軟件等展示教學(xué)案例或背景材料，使得許多教學(xué)內(nèi)容更豐富和具有趣味性，許多難以理解的東西更直觀，同時(shí)能讓學(xué)生接受更多的新知識(shí)。

（三）課程考查

考查方法在一定程度上直接影響著教學(xué)的效果，放松考查環(huán)節(jié)可能導(dǎo)致學(xué)生的敷衍， 但傳統(tǒng)的考查方法顯然是不合適的，為此我們?cè)诳疾榉绞缴献隽艘恍└母锖吞剿?，嘗試了以下幾種考查方式：

1.閉卷考試。考查與課堂講授或書本模型相關(guān)或簡(jiǎn)單推廣的內(nèi)容。

2.課程大作業(yè)。一種方式是組織班級(jí)2～3人為一組，模擬數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的形式就給定的問(wèn)題進(jìn)行建模求解，并寫作建模論文上交。以此培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)合作能力，并親身體驗(yàn)和實(shí)踐對(duì)于較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的建模過(guò)程。另一種方式是要求學(xué)生通過(guò)圖書館或網(wǎng)絡(luò)收集感興趣和有一定水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)建模案例，或者由教師推薦相關(guān)案例，例如歷年中美數(shù)學(xué)建模賽題論文等，對(duì)這些案例進(jìn)行學(xué)習(xí)、分析、研究和總結(jié)，以自己的理解寫成課程報(bào)告上交。通過(guò)這種方式讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)比較完整復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模案例，積累應(yīng)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

3.平時(shí)小作業(yè)。以課本習(xí)題為主，或者引申課堂教學(xué)案例作進(jìn)一步的探討。

4.開(kāi)卷課程考試?？疾閷W(xué)生對(duì)課程的掌握和應(yīng)用能力。

5.答辯式考試。這是一種比較理想的考試方式， 但由于工作量太大， 僅限于小范圍進(jìn)行。

通過(guò)幾年的教學(xué)實(shí)踐，目前我們主要采用比較有效且較易實(shí)施的第1、2、3種方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合考查，具體來(lái)說(shuō)我們將考查分為兩部分：一是平時(shí)，包括課堂表現(xiàn)與考勤，小作業(yè)及大作業(yè)，占40%；二是期末閉卷考試，占60%。這樣的考查能夠較真實(shí)地反映學(xué)生的水平， 也受到了學(xué)生的歡迎。

三、成績(jī)與不足

通過(guò)數(shù)年的教學(xué)實(shí)踐與探索，我校數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)改革初見(jiàn)成效，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大大提高，動(dòng)手和應(yīng)用能力逐步增強(qiáng)。我校學(xué)生參加全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽曾多次獲得過(guò)全國(guó)二等獎(jiǎng)，江蘇省一、二、三等獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)。2008年在我們的指導(dǎo)下數(shù)學(xué)系2007級(jí)學(xué)生成功申報(bào)了“江蘇省大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目”——“城市公共交通線路選擇問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模及算法研究”，并于2010年順利結(jié)題。但另一方面應(yīng)該看到我校的數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)還存在諸多不足，需要進(jìn)一步改進(jìn)和完善。這主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1. 開(kāi)課學(xué)生較單一?？紤]到學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，我校目前主要還是針對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程。這無(wú)疑縮小了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的受眾面。為此，在我?？梢苑e極創(chuàng)造條件，逐步擴(kuò)大開(kāi)設(shè)該課程的專業(yè)范圍。

2. 利用和開(kāi)發(fā)網(wǎng)絡(luò)資源不足，師生互動(dòng)與交流較少。為此我們可以在校園網(wǎng)上建立數(shù)學(xué)建模論壇，在論壇上教師可以布置相關(guān)課題，共享數(shù)據(jù)資料。師生之間也可以互相交流數(shù)學(xué)建模的心得。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊. 數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 尚壽亭，王雪峰，焦光虹，張池平，王勇. 數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)研究與素質(zhì)教育實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2002，32（3）：509-510.

[3] 王梅華.談?wù)剶?shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題[J].大學(xué)教育，2012，（2）：52.

[4] 馬力.將培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的理念貫穿于教學(xué)活動(dòng)各環(huán)節(jié)中[J].大學(xué)教育，2012，（1）：51.

[責(zé)任編輯：陳 明]