夏莉娜 朱亞艷 茆國華 錢夢薇 汪珊珊 程翊

[摘要]本文將基站選址問題簡化為小圓覆蓋大圓問題，并且著重介紹基于蒙特卡羅理論思想的，用單位圓均勻布點(diǎn)方法隨機(jī)模擬估計(jì)覆蓋面積的統(tǒng)計(jì)理論方法，并且引入置信區(qū)間增加該方法的準(zhǔn)確性。

[關(guān)鍵詞]基站選址 隨機(jī)模擬 蒙特卡羅方法 置信區(qū)間

一、引言

近年來，移動通信技術(shù)可謂是發(fā)展迅猛，然而通訊信號的發(fā)出與接收需要基站的接力中轉(zhuǎn). 不僅如此，雷達(dá)、衛(wèi)星等等的通訊工具都有一定的信號接收范圍，而其昂貴的造價(jià)容不得其過多的采用. 如何用最少數(shù)量的中轉(zhuǎn)基站保證信號質(zhì)量和覆蓋率是值得研究的問題.

上述實(shí)際問題可通過解決下述數(shù)學(xué)問題來解決，即：設(shè)Ω是一半徑為R的大圓，用n個(gè)半徑為r的小圓Ω1，Ω2，…，Ωn（n是正整數(shù)）完全覆蓋大圓Ω，即 .對于不同的R和確定的r試確定n的最小值（即小圓的最小個(gè)數(shù)）.

1.基站選址的理論分析

（1）基于抽屜原理的等分圓周法（適用于n=2，3，4）

小圓個(gè)數(shù)較少時(shí)，情況相對簡單，我們可以用根據(jù)抽屜原理來解決這個(gè)問題。為方便起見，我們令大圓Ω的半徑為1，先討論在n一定的情況，r的最小值.

根據(jù)文獻(xiàn)《用小圓覆蓋大圓》，加以作圖1、圖2說明，我們?nèi)菀椎玫剑涸趎=2，3，4時(shí)，最小半徑分別為r2=1，

現(xiàn)已求出給定一大圓半徑，分別用2，3，4個(gè)小圓覆蓋大圓時(shí)的最小小圓半徑. 這與我們一開始提出的求給定一大圓半徑，用已知半徑的小圓覆蓋大圓時(shí)的小圓的最小個(gè)數(shù)等價(jià). 不妨設(shè)小圓的半徑為1，大圓的半徑為R，記此時(shí)所需要小圓的最小個(gè)數(shù)是f（R）（它是R的函數(shù)）. 則根據(jù)上面的討論，我們有：

但是此方法不能推廣到n≥5時(shí)，原因是當(dāng)n≥5時(shí)，按照上述方法求出的半徑為的小圓不能覆蓋大圓的全部，例如n=5，時(shí)，有圖3所示的結(jié)果，而其最優(yōu)方案應(yīng)該如圖4，它的最優(yōu)性也在1983年時(shí)被Károly Bezdek證明. 其證明過程繁雜，并且小圓的半徑r很難求出，但是我們可以知道它的半徑范圍為：

對于n≥5的情形一般很難討論，于是我們下面提出用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法來確定小圓的最小半徑。

2.基于Monte Carlo法的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法

首先我們研究覆蓋面積的統(tǒng)計(jì)分布，令大圓

小圓的圓心O1，…，Om，相互獨(dú)立且服從二維正態(tài)分布：

式（3）中的σ12，…，σm2為方差，I2為R2的單位矩陣. 令S表示大圓Ω被m個(gè)隨機(jī)小圓覆蓋的陰影面積. 這個(gè)陰影部分的面積S就是我們要研究的對象. 當(dāng)?shù)臄?shù)目在增加時(shí)，利用統(tǒng)計(jì)中的Monte Carlo方法，可得S的近似分布。

接下來，我們用數(shù)論的方法來進(jìn)行這一問題的隨機(jī)模擬。

首先在大圓Ω上構(gòu)造一個(gè)NT網(wǎng)，并假設(shè)該網(wǎng)由N個(gè)點(diǎn)組成，且這些點(diǎn)在大圓上均勻分布. 若其中有M個(gè)點(diǎn)被小圓隨機(jī)圓覆蓋，則S的面積可以用：

來估計(jì).

最后我們參考汪文俊等人的基于Monte Carlo法的思想求小圓最小半徑的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法。

理論上，用5000次隨機(jī)模擬就包含所有的情況似乎不夠嚴(yán)謹(jǐn). 故我們在這里引入的置信區(qū)間. 這里假設(shè)顯著性水平α=0.05，即置信度為95%.

假設(shè)樣本yk代表模擬計(jì)算得到的一系列可靠度值，將yk從小到大排得：

與第一部分類似地，當(dāng)小圓的半徑為1，大圓的半徑為R時(shí)，此時(shí)所需要小圓的最小個(gè)數(shù)：

二、結(jié)束語

本文主要針對基站選址的理論方法進(jìn)行闡述，把復(fù)雜的選址問題簡化成小圓覆蓋大圓的問題. 文章采用了等分圓周法（主要應(yīng)用抽屜原理）、數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法（基于Monte Carlo法）來解決小圓覆蓋大圓問題， 并加入置信區(qū)間來提高模擬精準(zhǔn)度。

但是本文重于理論的分析，操作性有所欠缺，希望有興趣之人可以將其完善。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：夏莉娜（1990.08—），女，漢，浙江杭州人，在讀本科生，數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)，職稱：學(xué)生，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)