王晶，劉彭

（山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 泰安 271018）

參數(shù)估計方法是基礎(chǔ)的統(tǒng)計推斷方法之一，此類方法在自然科學(xué)和社會科學(xué)各領(lǐng)域涉及到數(shù)據(jù)分析的問題中被大量使用.在實際問題中，人們感興趣的問題往往與分布族中的未知參數(shù)有關(guān).參數(shù)估計方法是在總體分布形式已知時，利用樣本值對分布中某一個或某幾個未知參數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計推斷的方法，一般分為點估計和區(qū)間估計問題.

在總體分布形式已知時，對于其分布中的未知參數(shù)θ，除了求出其點估計外，還希望估計出一個范圍，使其以較大可信度包含參數(shù)θ的真值.這樣的范圍通常以區(qū)間形式給出，同時還給出其包含參數(shù)θ真值的可信程度，這種形式的估計稱為參數(shù)的區(qū)間估計，而這樣的區(qū)間稱為參數(shù)θ的置信區(qū)間[1].

定義1[2]設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ,若有來自總體X的一組樣本（X1,X2,…,Xn）確定的2個統(tǒng)計量，使得對于給定的α（0＜α＜1），有，則稱隨機(jī)區(qū)間是參數(shù)θ置信度為1-α的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和置信上限，1-α稱為置信度.

在經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)中，構(gòu)造參數(shù)θ的置信區(qū)間最常用的方法是樞軸量法，其基本步驟可概括為：

Step1選取樣本（X1,X2,…,Xn）的一個函數(shù)G（X1,X2,…,Xn;θ），其中只含所求置信區(qū)間的未知參數(shù)θ，且分布已知；

Step2對于給出的置信水平1-α，確定Step1 中分布的雙側(cè)分位點λ1，λ2，則有

Step3利用不等式變形得到未知參數(shù)θ的置信區(qū)間.

構(gòu)造置信區(qū)間的方法關(guān)鍵在于Step1 中所選取的函數(shù)G（X1,X2,…,Xn;θ）為樞軸量.關(guān)于樞軸量，在大部分概率統(tǒng)計教材中對其是這樣描述的：選取合適的統(tǒng)計量，要求包括待檢驗的參數(shù)，不含其它任何未知參數(shù)，且統(tǒng)計量的分布已知[3]，滿足這種要求的統(tǒng)計量即為在區(qū)間估計中所謂的樞軸量[4-5].而在參數(shù)的區(qū)間估計問題中，即使是對同一個未知參數(shù)求置信區(qū)間，滿足以上條件的統(tǒng)計量也往往不是唯一的，此時就面臨著如何選取樞軸量的問題.針對選擇不同的樞軸量得到的置信區(qū)間其性質(zhì)是否有差別，不同樞軸量下得到的同一參數(shù)的置信區(qū)間之間是否有優(yōu)劣之分問題，本文以單個正態(tài)分布總體中方差σ2這一參數(shù)的區(qū)間估計問題為例進(jìn)行討論.

1 基于2 種不同樞軸量的正態(tài)總體方差區(qū)間估計

設(shè)總體X～N（μ,σ2），其中總體均值μ已知，（X1,X2,…,Xn）為來自總體容量為n的簡單隨機(jī)樣本，則有

式中：X為樣本均值.

2 2 種置信區(qū)間比較

2 種區(qū)間（3）（4）是基于不同樞軸量對單個正態(tài)總體方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計的結(jié)果，若要對其優(yōu)劣進(jìn)行比較主要基于可靠度和精度2個指標(biāo).在區(qū)間估計中，置信度1-α反映的是估計的可靠性程度，置信度越大，估計的可靠性程度也就越大；置信區(qū)間的長度反映的是估計的精度，置信區(qū)間長度越短，估計的精度也就越高.在樣本容量n一定的情況下，這2個要求往往是互相矛盾的[6].在實際應(yīng)用中，置信度一般按照應(yīng)用需求直接給定，可靠性已經(jīng)確定，此時可認(rèn)為平均長度較小的置信區(qū)間精度較高，估計結(jié)果更好.

對于置信區(qū)間（3），其平均長度為

對于置信區(qū)間（4），其平均長度為

因此可構(gòu)造兩者比值，其為樣本容量n的函數(shù)，記為

顯然n=1 時，，此時L1=L2.當(dāng)n＞ 1時，g(n)的部分結(jié)果見表1（α=0.05）.由表1可見，隨著n的增大，置信區(qū)間對應(yīng)g(n) 的差值逐漸減小，即隨著樣本容量增大，2種置信區(qū)間平均長度比逐漸趨于穩(wěn)定.

表1 不同樣本容量下2 種置信區(qū)間的平均長度比

在SPSS22.0[7-8]中得到樣本容量n∈［1,20］及n∈［1,100］時函數(shù)g(n)變化趨勢（見圖1）.

圖1 置信區(qū)間長度比變化趨勢

由表1 和圖1可以看出，當(dāng)n＞ 1時，g(n)的值隨著n的增大持續(xù)變小，n＞ 5時變化趨于平緩，因此對任意樣本容量n，總有g(shù)(n) ≤ 1，即L1≤L2，在相同的置信度下，置信區(qū)間（3）的精度優(yōu)于置信區(qū)間（4）.在總體均值已知情形下，用樞軸量（3）對單個正態(tài)總體的方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計效果更好.

為了進(jìn)一步對結(jié)論進(jìn)行驗證，可從特定正態(tài)總體中抽樣隨機(jī)模擬獲得直觀比較結(jié)果.設(shè)總體X～N(0,1），即參數(shù)σ2的真值為1.運用R 軟件[9]，從此分布總體中隨機(jī)抽取100 組容量為n的樣本，根據(jù)式（3）～（4），由隨機(jī)抽樣結(jié)果分別計算σ2置信度為95%的100 個置信區(qū)間.n=10，n=100時100個置信區(qū)間的模擬結(jié)果分別見圖2～3.

圖2 樣本容量為10 時的100 個置信區(qū)間

圖3 樣本容量為100 時的100 個置信區(qū)間

由圖2～3 可以看出，2種情形下均有置信區(qū)間（3）的平均長度遠(yuǎn)小于置信區(qū)間（4）的平均長度.相比較下，用樞軸量對單個正態(tài)總體的方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計，置信區(qū)間精度較高，結(jié)果更好.

3 實例驗證

利用2種方法在總體均值已知情況下，對正態(tài)總體方差σ2進(jìn)行區(qū)間估計，通過具體實驗結(jié)果的計算比較，也能看到置信區(qū)間（3）的精度較高.

例[10]發(fā)芽期隨機(jī)抽取某種作物16 株，對株高進(jìn)行測量，測得株高（單位：cm）數(shù)據(jù)分別為2.15，2.10，2.12，2.10，2.14，2.11，2.15，2.13，2.13，2.11，2.14，2.13，2.12，2.13，2.10，2.14.求株高標(biāo)準(zhǔn)差σ的95%置信區(qū)間（設(shè)總體X～N（2,σ2））.

解由實際測量數(shù)據(jù)，根據(jù)式（3）～（4）分別可計算得到株高方差σ2和標(biāo)準(zhǔn)差σ的95%置信區(qū)間，結(jié)果見表2.

表2 2種不同方法下株高方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間

對于該例題，在2種區(qū)間估計方法下，具體算得的置信區(qū)間差別比較大，顯然此例中置信區(qū)間（3）的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于置信區(qū)間（4），說明其精度較高.在實際應(yīng)用中，在可靠度一定的情況下，精度高的置信區(qū)間是應(yīng)該優(yōu)先選擇的，而在經(jīng)典教科書中對于此類均值已知情形下正態(tài)總體方差的區(qū)間估計均選用樞軸量進(jìn)行構(gòu)造，是有其深刻意義的.可見，樞軸量的選擇是有其標(biāo)準(zhǔn)可言的.

4 結(jié)語

通過總體均值已知時單個正態(tài)分布總體方差σ2參數(shù)的區(qū)間估計問題，初步闡述了樞軸量的選取標(biāo)準(zhǔn)及其對置信區(qū)間結(jié)果的影響.在進(jìn)行置信區(qū)間的評價時，可靠性和精度是2個基本標(biāo)準(zhǔn)，而它們也與樣本容量n的大小有直接關(guān)系，在此不再深入探討.需要注意的是當(dāng)考慮置信區(qū)間精度這一標(biāo)準(zhǔn)時，應(yīng)盡量選擇區(qū)間平均長度小的置信區(qū)間.在討論2種情況下置信區(qū)間的平均長度大小關(guān)系時，對不同樣本容量n的進(jìn)行了直觀模擬.由于比值函數(shù)中包含χ2分布分位點，其值為χ2分布的分布函數(shù)的反函數(shù)值，其取值范圍的嚴(yán)格證明仍需要進(jìn)行更深層次的思考.