張群 張超 李嶺 谷煒

［摘要］ 在目前研究較多的組合預(yù)測模型中加權(quán)系數(shù)是不變的。事實上，假定加權(quán)系數(shù)為常數(shù)，組合預(yù)測模型并不能很好地反映預(yù)測方法的有效性。基于以上事實，本文提出基于PLS的變權(quán)重組合預(yù)測方法，利用偏最小二乘回歸方法求得組合預(yù)測的權(quán)重函數(shù)。最后通過實例分析驗證了方法的有效性。

［關(guān)鍵詞］ 變權(quán)組合預(yù)測模型；偏最小二乘；蟻群算法

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 05. 015

［中圖分類號］F201［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A［文章編號］1673 - 0194（2012）05- 0028- 03

1引言

１９６９年，Ｂａｔｅｓ和Ｇｒａｎｇｅｒ首次對組合預(yù)測方法進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，其研究成果引起預(yù)測學(xué)者們的重視［１］。文章認(rèn)為選擇單個預(yù)測是不太明智的，因為被放棄的預(yù)測結(jié)果中包含了一些有用的、獨立于被選擇的預(yù)測的信息。正是由于這些信息使得組合預(yù)測的結(jié)果往往優(yōu)于單個預(yù)測。

所謂組合預(yù)測就是設(shè)法把不同的預(yù)測模型組合起來，綜合利用各種預(yù)測方法所提供的信息，以適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均形式得出組合預(yù)測模型［２］。組合預(yù)測最關(guān)心的問題就是如何求出加權(quán)平均系數(shù)，使得組合預(yù)測模型更加有效地提高預(yù)測精度。組合預(yù)測在國外被稱為Cｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ Fｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ或Cｏｍｂｉｎｅｄ Fｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ，在國內(nèi)也被稱為綜合預(yù)測等。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者在組合預(yù)測方法研究方面取得了很多研究成果，對國內(nèi)外文獻(xiàn)分析研究，可以看出關(guān)于組合預(yù)測的研究呈現(xiàn)以下特點：

提出多種準(zhǔn)則下的組合預(yù)測模型，對組合預(yù)測模型的求解和有效性的實證研究較為深入，但缺乏多種準(zhǔn)則框架下的組合預(yù)測模型有效性的理論研究成果。目前，國內(nèi)外學(xué)者主要提出以下一些組合預(yù)測方法：最小方差方法、無約束最小二乘方法、約束最小二乘方法、Ｂａｙｅｓ方法、基于不同準(zhǔn)則與范數(shù)的組合預(yù)測方法、遞歸組合預(yù)測方法等。

對組合預(yù)測方法有效性的理論研究已經(jīng)引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注。文獻(xiàn)［３］針對無非負(fù)約束的以誤差平方和達(dá)到最小的組合預(yù)測模型提出了優(yōu)性組合預(yù)測的概念，并利用組合預(yù)測絕對誤差信息矩陣的性質(zhì)判斷簡單平均方法是優(yōu)性組合預(yù)測的條件；文獻(xiàn)［４］研究了該模型組合預(yù)測誤差的界；文獻(xiàn)［５］提出了基于預(yù)測有效度的組合預(yù)測模型，并給出組合預(yù)測權(quán)系數(shù)的線性規(guī)劃的求解方法；文獻(xiàn)［６］針對此模型探討其有效性。

目前研究較多的組合預(yù)測模型的加權(quán)系數(shù)是不變的。事實上，假定權(quán)系數(shù)為常數(shù)，組合預(yù)測模型并不能很好地反映預(yù)測方法的有效性，而且會使組合預(yù)測精度降低。產(chǎn)生權(quán)系數(shù)變化的原因有很多，主要有以下兩個：

一是不同的預(yù)測方法特點不同，每種預(yù)測方法表現(xiàn)出“時好時壞性”，反映在權(quán)重上表現(xiàn)為“時大時小”。

二是不同的預(yù)測者對事物的客觀規(guī)律的認(rèn)識有差異，某種預(yù)測方法可能隨時間的推移越來越優(yōu)于其他單項預(yù)測方法，從而導(dǎo)致組合預(yù)測權(quán)系數(shù)的變化。

基于以上兩種原因，學(xué)者們提出了變權(quán)重組合預(yù)測方法。文獻(xiàn)［７］提出了變權(quán)重組合預(yù)測的模型，假定權(quán)重函數(shù)是連續(xù)的，依據(jù)Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ定理利用多項式一致逼近權(quán)重函數(shù)，通過求解逼近多項式的系數(shù)矩陣可得權(quán)重函數(shù)。文獻(xiàn)［８］在此基礎(chǔ)上，利用矩陣的行展開和克羅內(nèi)克積的概念對逼近多項式的系數(shù)矩陣進(jìn)行分析，并在系數(shù)矩陣列滿秩的條件下用帶約束最小二乘方法對系數(shù)矩陣進(jìn)行估計。但一般情況系數(shù)矩陣并不滿足列滿秩的條件。文獻(xiàn)［９］提出了一種估計系數(shù)矩陣的構(gòu)造性算法，并證明了算法的收斂性。

本文在前人的研究基礎(chǔ)上提出了一種基于PLS方法的變權(quán)重組合預(yù)測方法。

2變權(quán)重組合預(yù)測模型

現(xiàn)有ｎ個歷史觀測數(shù)據(jù)Ｙ＝（Ｙ１，Ｙ２，…，Ｙｎ）Ｔ， 對每個歷史數(shù)據(jù)Ｙｔ（ｔ＝１，２，…，ｎ）用m個預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果分別為ｆｔ１，ｆｔ２，…，ｆｔｍ，由這些預(yù)測結(jié)果組成的變權(quán)重組合模型，可用下式表示：

Yt=■ｇｉ（ｔ）ｆｕ＋ｕ（１）

式中，ut為隨機噪聲；ｇi（ｔ）為第i個參與組合預(yù)測模型t時的權(quán)重。為了討論簡便，假設(shè)ｇｉ（ｔ）是連續(xù)函數(shù)。依據(jù)Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ定理，任意區(qū)間［ａ，ｂ］上的任一連續(xù)ｆ（ｔ）函數(shù)皆可由多項式一致通過逼近。而通常ｇｉ（ｔ）滿足：0≤ｇｉ（ｔ）≤１，因ｇｉ（ｔ）可用ｔ的多項式表示：

ｇｉ（ｔ）＝ｇｉ０＋ｇｉ１ｔ＋ｇｉ２ｔ２＋…＋ｇｉｐｔｐ

因而，式（１）可表示為：

yt=［ｆｔ１，ｆｔ２，…，ｆｔｍ］ｇ１０ ｇ１１ … ｇ１ｐｇ２０ ｇ２１ … ｇ２ｐｆｍ０ ｇｍ１ … ｇｍｐｔ０ｔ１ｔｐ＋ｕｔ

＝ｇ１０ ｆ ｔ１＋ｇ１１ ｆｔ１ｔ＋…＋ｇ１ｐ ｆｔ１ｔｐ＋…＋ｇｍ０ ｆｔｍ＋…＋ｇｍ１ ｆｔｍｔｐ＋ｕｔ

＝■■ｇｉｊｔｊ－１ｆｔｉ＋ｕｔ＝Ｇ·Ｆｔ＋ｕｔ

式中，Ｇ＝［ｇ１０，…，ｇ１ｐ，…，ｇｍ０，…，ｇｍｐ］，

Ｆｔ＝［ｆｔ１ｔ０，…，ｆｔ１ｔｐ，…，ｆｔｍｔ０，…，ｆｔｍｔｐ］Ｔ

因此，估計出G即可求得變權(quán)重組合預(yù)測模型。

3基于PLS的變權(quán)重組合預(yù)測模型

由以上分析可知，如何估計G是求解變權(quán)重組合預(yù)測模型的關(guān)鍵。模型參數(shù)估計應(yīng)用最廣泛的方法是最小二乘法。但是簡單最小二乘法在自變量之間存在線性相關(guān)性時會導(dǎo)致方法失效。已有研究表明用m個預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果ｆ１，ｆ２，…ｆｍ，呈強相關(guān)性，在本文研究的模型中，顯見自變量Ｆｔ＝［ｆｔ１ｔ０，…，ｆｔ１ｔｐ，…，ｆｔｍｔ０，…，ｆｔｍｔｐ］Ｔ也呈強相關(guān)性，需要考慮用其他參數(shù)估計方法。偏最小二乘（PLS）方法能夠在自變量存在嚴(yán)重多重相關(guān)性的條件下進(jìn)行參數(shù)估計。

變權(quán)重組合預(yù)測模型的偏最小二乘的建模方法：

因變量Y和（ｐ＋１）×ｍ個自變量Ｆｔ＝［ｆｔ１ｔ０，…，ｆｔ１ｔｐ，…，ｆｔｍｔ０，…，ｆｔｍｔｐ］Ｔ。觀測了n個樣本點，由此構(gòu)成了自變量與因變量的數(shù)據(jù)表Ｙ＝（ｙ）ｎ×１和Ｆ＝（Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ）Ｔ，其中，Ｆｔ＝［ｆｔ１ｔ０，…，ｆｔ１ｔｐ，…，ｆｔｍｔ０，…，ｆｔｍｔｐ］Ｔ，ｔ＝１，２，…，ｎ。記Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘ（ｐ＋１）×ｍ），其中ｘｉ＋ｊ×（ｐ＋１）＝（ｆｔｊｔｉ）ｎ×１。偏最小二乘法在X中提取成分u1（也就是說u1是ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ的線性組合）。在提取成分時，有如下要求：

（１）u1應(yīng)盡可能多地攜帶它們各自數(shù)據(jù)表中的變異信息。

（２）u1和Y的相關(guān)程度能夠達(dá)到最大。

在第１個成分u1被提取后，偏最小二乘實施X對u1的回歸。如果回歸已經(jīng)達(dá)到滿意的精度，則算法終止；否則，將利用X被u1解釋后的殘余信息進(jìn)行第２輪的成分提取。如此反復(fù)，直到能達(dá)到一個較滿意的精度為止。若最終對X共提取了ｋ個成分ｕ１，ｕ２，…，ｕｋ，偏最小二乘將通過施行ｙ對ｕ１，ｕ２，…，ｕｋ的回歸，然后表達(dá)成ｙ關(guān)于變量｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ｝的回歸方程。將ｘｉ＋ｊ×（ｐ＋１）＝ｆｔｊｔｉ代入回歸方程，得到變權(quán)重組合預(yù)測模型。

4實例仿真

為了說明方法的有效性，采用１９７５-２００４年中國工業(yè)總產(chǎn)值進(jìn)行研究。數(shù)據(jù)來源于《中國工業(yè)經(jīng)濟(jì)年鑒》。本文選用４種單個預(yù)測方法對中國工業(yè)總產(chǎn)值進(jìn)行預(yù)測，４種單個預(yù)測方法分別為簡單移動平均法、指數(shù)平滑預(yù)測法、ＡＲＭＡ方法和數(shù)據(jù)重心預(yù)測法。本文用１９７５-１９９４年的２０個數(shù)據(jù)對方法進(jìn)行訓(xùn)練，用１９９５-２００４年的１０個數(shù)據(jù)對方法進(jìn)行測試。

圖１為各單個方法預(yù)測的結(jié)果。用單個預(yù)測結(jié)果分別乘ｔ０，…，tp（１９７５年記t=1）得Ｆｔ＝［ｆｔ１ｔ０，…，ｆｔ１ｔｐ，…，ｆｔｍｔ０，…，ｆｔｍｔｐ］Ｔ。其中， 簡單移動平均法為ft1，指數(shù)平滑預(yù)測法為ft2，ＡＲＭＡ方法為ft3，數(shù)據(jù)重心預(yù)測法為ft4。本文取p=2。

表１是Ｆｔ各列的相關(guān)系數(shù)，記Ｘ＝（ｘ１ｔ，ｘ２ｔ，…，ｘ（ｐ＋１）×ｍ，ｔ），其中ｘｉ＋ｊ×（ｐ＋１），ｔ＝（ｆｔｊｔｉ）ｎ×１，ｊ＝１，２，３，４。從表1中可以看出，各列之間具有很強的正相關(guān)性。

采用偏最小二乘回歸得到變權(quán)重組合預(yù)測模型。模型如下：

yt=0.306 2 ft1-0.007 5 ft1t+0.000 2 ft1t2+0.176 6 ft2+0.006 8 ft2t+0.000 2 ft2t2+0.276 9 ft3+0.002 2 ft3t+0.190 3 ft4-0.001 6 ft4t-0.000 4 ft4t2（2）

采用式（2）對測試樣本進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果與實際中國工業(yè)總產(chǎn)值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖２所示。

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，選取兩個誤差指標(biāo)評價預(yù)測的效果。

誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，即：

MSE=■

平均絕對百分比誤差，即：

MAPE=■■■

其中，yt為指標(biāo)序列第t時刻的實際觀測值?！觯魹槟愁A(yù)測方法第t時刻的預(yù)測值。N為測試樣本數(shù)。各預(yù)測結(jié)果的精度比較見表２。

從表２可以看出，本文提出的變權(quán)重組合預(yù)測方法的預(yù)測精度比各單個預(yù)測方法的預(yù)測精度有較大改進(jìn)。同時，比一般組合預(yù)測方法的預(yù)測精度也有所提高。

5結(jié)論

本文在前人研究的基礎(chǔ)上提出了基于PLS的變權(quán)重組合預(yù)測方法。文章首先分析了變權(quán)重組合預(yù)測模型，而后利用偏最小二乘方法對變權(quán)重組合預(yù)測的權(quán)重函數(shù)進(jìn)行回歸，最后通過實例驗證了方法的有效性。

本文考慮了單個預(yù)測方法隨時間的變化對組合預(yù)測的影響。假設(shè)權(quán)重函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)，而權(quán)重函數(shù)是否還有其他形態(tài)，不同的函數(shù)形態(tài)對預(yù)測結(jié)果是否有影響，這些都是需要進(jìn)一步考慮的問題。

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［收稿日期］2012-01-30

［基金項目］國家自然科學(xué)基金資助項目（７０６７２１０２）。