王學(xué)海

【摘要】 現(xiàn)實(shí)世界既包含大量的相等關(guān)系，又存在許多不等關(guān)系. 解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)不能確定或無(wú)需確定某個(gè)量的具體取值，但可以求出或確定這個(gè)量的變化范圍，不等式（組）就是探求不等關(guān)系的基本工具. 列不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，同時(shí)也是中考的熱點(diǎn). 解這類(lèi)題的關(guān)鍵是在實(shí)際問(wèn)題中找出相等關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程和不等式. 但在解不等式（組）時(shí)有的同學(xué)常因基礎(chǔ)不扎實(shí)、概念不清、粗心大意，而在解題過(guò)程中遇到各種困難.

【關(guān)鍵詞】 初中生；一元一次不等式（組）應(yīng)用題；應(yīng)對(duì)策略

對(duì)于“不等式（組）”，新課程標(biāo)準(zhǔn)的具體要求是：“能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次不等式和一元一次不等式組， 解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題， 并體會(huì)不等式（組）也是描述實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型.”

雖然同學(xué)們都能夠記住解題步驟，但是在解這類(lèi)應(yīng)用題時(shí)由于經(jīng)驗(yàn)不足、抓不到關(guān)鍵詞、概念混淆、思維定式等原因的存在，使學(xué)生們?cè)诮忸}過(guò)程中遇到困難，而不能得到正確的解.

一、解題中遇到的困難及常見(jiàn)錯(cuò)誤

１． 生活經(jīng)驗(yàn)的不足及問(wèn)題信息量大是造成初中生解應(yīng)用題難的兩大屏障

例１ 地磚按每塊５．５元出售，地磚每邊長(zhǎng)３５厘米，用這種磚鋪滿(mǎn)長(zhǎng)７．８米、寬５．７米的房間，需花費(fèi)多少錢(qián)購(gòu)買(mǎi)地磚？

評(píng)析 要正確地解應(yīng)用題，必須讀懂題目中語(yǔ)言文字表達(dá)的問(wèn)題條件和問(wèn)題要求. 本題中，學(xué)生必須清楚“地磚”、“出售”、“購(gòu)買(mǎi)”、“鋪”等詞語(yǔ)的含義，否則不能讀懂題意.“地磚問(wèn)題”中的事實(shí)知識(shí)包括長(zhǎng)方形、正方形的概念，以及米與厘米之間的進(jìn)率換算. 像這類(lèi)與生活綜合知識(shí)聯(lián)系較緊的應(yīng)用題還有很多，信息量大，經(jīng)驗(yàn)不足導(dǎo)致學(xué)生讀不懂題目，不知從何下手，是學(xué)生最傷腦筋的. 總之，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、課外知識(shí)、社會(huì)知識(shí)的儲(chǔ)備量，已成為度量學(xué)生解答應(yīng)用題思維厚度的一把標(biāo)尺.

2． 思維定式造成設(shè)未知數(shù)出錯(cuò)并帶來(lái)列式困難

例２ 蘇科版八年級(jí)下教科書(shū)２０頁(yè)練習(xí)第１題.

某班學(xué)生外出春游時(shí)合影留念，１張彩色底片的費(fèi)用為１元，沖?。睆埐收招瑁埃对? 如果每人預(yù)定１張彩照，且每人所花費(fèi)用不超過(guò)０．８元，那么參加合影的學(xué)生至少有多少人？

錯(cuò)解 設(shè)參加合影的學(xué)生至少有ｘ人， （錯(cuò)誤原因：設(shè)未知數(shù)不確切，應(yīng)改為設(shè)“參加合影的學(xué)生有ｘ人”）

則１ ＋ ０．６ｘ ≥ ０．８ｘ，（錯(cuò)誤原因：列式時(shí)不等號(hào)反向）

解這個(gè)不等式，得 ｘ ≤ ５.

答：參加合影的學(xué)生有５人． （錯(cuò)誤原因：認(rèn)為此題結(jié)果是確定值，而此題結(jié)果是一個(gè)取值范圍）

評(píng)析 在列不等式解應(yīng)用題中，學(xué)生設(shè)未知數(shù)時(shí)，往往受方程應(yīng)用題的遷移，沿用求什么設(shè)什么的做法，常給列式帶來(lái)困難，甚至出錯(cuò)．

3． 列不等式（組）時(shí)忽視關(guān)鍵詞

例３ （２０１１山東棗莊）某中學(xué)為落實(shí)市教育局提出的“全員育人，創(chuàng)辦特色學(xué)?！钡臅?huì)議精神，決心打造“書(shū)香校園”. 計(jì)劃用不超過(guò)１９００本科技類(lèi)書(shū)籍和１６２０本人文類(lèi)書(shū)籍，組建中、小型兩類(lèi)圖書(shū)角共３０個(gè)．已知組建一個(gè)中型圖書(shū)角需科技類(lèi)書(shū)籍８０本，人文類(lèi)書(shū)籍５０本；組建一個(gè)小型圖書(shū)角需科技類(lèi)書(shū)籍３０本，人文類(lèi)書(shū)籍６０本．

（１）符合題意的組建方案有幾種？請(qǐng)你幫學(xué)校設(shè)計(jì)出來(lái)；

（２）若組建一個(gè)中型圖書(shū)角的費(fèi)用是８６０元，組建一個(gè)小型圖書(shū)角的費(fèi)用是５７０元，試說(shuō)明（１）中哪種方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？

解 （１）設(shè)組建中型圖書(shū)角x個(gè)，則組建小型圖書(shū)角為（３０ － ｘ）個(gè)．由題意，得

８０ｘ ＋ ３０（３０ － ｘ） ≤ １９００，５０ｘ ＋ ６０（３０ － ｘ） ≤ １６２０，

解這個(gè)不等式組，得１８ ≤ ｘ ≤ ２０．

由于ｘ只能取整數(shù)，∴ ｘ的取值是１８，１９，２０．

當(dāng)ｘ ＝ １８時(shí)，３０ － ｘ ＝ １２；當(dāng)ｘ ＝ １９時(shí)，３０ － ｘ ＝ １１；當(dāng)ｘ ＝ ２０時(shí)，３０ － ｘ ＝ １０．

故有三種組建方案：方案一，中型圖書(shū)角１８?jìng)€(gè)，小型圖書(shū)角１２個(gè)；方案二，中型圖書(shū)角１９個(gè)，小型圖書(shū)角１１個(gè)；方案三，中型圖書(shū)角２０個(gè)，小型圖書(shū)角１０個(gè)．

（２）方案一的費(fèi)用是：８６０ × １８ ＋ ５７０ × １２ ＝ ２２３２０（元）；

方案二的費(fèi)用是：８６０ × １９ ＋ ５７０ × １１ ＝ ２２６１０（元）；

方案三的費(fèi)用是：８６０ × ２０ ＋ ５７０ × １０ ＝ ２２９００（元）．

故方案一費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是２２３２０元．

評(píng)析 解這類(lèi)應(yīng)用題的難點(diǎn)在于理清題意，尋找題目中的關(guān)鍵詞語(yǔ). 例３中的兩個(gè)關(guān)鍵詞“不超過(guò)”、“ 不少于”是列不等式（組）的依據(jù). 另外還要注意所設(shè)未知數(shù)受實(shí)際情況的制約，此例中中型圖書(shū)角的個(gè)數(shù)ｘ應(yīng)是正整數(shù)．

不等式應(yīng)用題的取材廣泛，又緊密結(jié)合實(shí)際生活，解這類(lèi)題首先要理清題意，尋找關(guān)鍵詞，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要節(jié)省”等，從而找到不等關(guān)系，列出不等式（組），通過(guò)解不等式確定不等式的解，最后要檢驗(yàn)所求解是不是與實(shí)際問(wèn)題相符合.

4． 移項(xiàng)或兩邊同乘（除）負(fù)值時(shí)不變號(hào)

根據(jù)題意正確地列出不等式（組）后，最重要的是解不等式（組）．

例４ 解不等式：２ｘ ＋ ４ ＞ ｘ － １．

錯(cuò)解 移項(xiàng)，得２ｘ ＋ ｘ ＞ －１ ＋ ４．

即３ｘ ＞ ３，則ｘ ＞ １．

例５ 解不等式：－３ｘ ＋ ９ ＜ ０．

錯(cuò)解 移項(xiàng)，得－３ｘ ＜ －９．

系數(shù)化為１，得ｘ ＜ ３．

評(píng)析 上面兩例均犯了不變號(hào)的錯(cuò)誤. 例４、例５分別因“移項(xiàng)要變號(hào)”、“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向應(yīng)改變”這類(lèi)知識(shí)點(diǎn)不能及時(shí)回應(yīng)所致. 因而求解時(shí)應(yīng)在掌握知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上再加細(xì)心. 例４的正確結(jié)果應(yīng)為ｘ ＞ －５，例５的正確結(jié)果應(yīng)為ｘ ＞ ３.

5． 概念或意義不明確

例６ 求不等式 ２ｘ － ４ ＜ ０的非負(fù)整數(shù)解．

錯(cuò)解 因?yàn)椋玻?－ ４ ＜ 0的解為ｘ ＜ ２，所以它的非負(fù)整數(shù)解為１．

例７ 解不等式：｜ｘ｜ ＜ ３．

錯(cuò)解 ｘ ＜ ３．

評(píng)析 例６和例７錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)某些概念不明確或混淆，如“非負(fù)整數(shù)解”、“絕對(duì)值”等. 非負(fù)整數(shù)應(yīng)包括0和一切正整數(shù)，故例６正確解為：０和１. 絕對(duì)值的意義是指在數(shù)軸上某個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離，故例７的正確解為：－３ ＜ ｘ ＜ ３.

6． 去括號(hào)時(shí)不遵守運(yùn)算法則

例８ 解不等式：３ｘ － ２（１ － ２ｘ） ≥ ５．

錯(cuò)解 去括號(hào)，得３ｘ － ２ － ２ｘ ≥ ５，

故ｘ ≥ ７．

評(píng)析 本題有括號(hào)，根據(jù)解不等式的步驟，要先去括號(hào). 括號(hào)前的數(shù)要與括號(hào)里的各項(xiàng)相乘. 去括號(hào)時(shí)，除應(yīng)遵循乘法的分配律不能漏乘外，還應(yīng)遵循去括號(hào)法則：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面為“－”，去括號(hào)要將括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào). 本題產(chǎn)生錯(cuò)解的原因有兩點(diǎn)：括號(hào)外的數(shù)只與第一項(xiàng)相乘，括號(hào)前面是負(fù)號(hào)只對(duì)第一項(xiàng)變號(hào). 因此本題的正確解應(yīng)為ｘ ≥ １.

7． 去分母時(shí)，漏乘不含分母的項(xiàng)

例９ 解不等式： ＋ ２ ≥ －２ｘ．

錯(cuò)解 去分母，得ｘ － １ ＋ ２ ≥ －４ｘ．

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得５ｘ ≥ －１，即ｘ ≥ －．

評(píng)析 本例的解答過(guò)程中沒(méi)有掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)，去分母時(shí)，不等式的兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)，漏乘不含分母的項(xiàng)，漏乘了常數(shù)項(xiàng)，這是解一元一次不等式（組）時(shí)常出的錯(cuò)誤之一，應(yīng)引起高度重視. 因此本題的正確解應(yīng)為ｘ ≥ －.

８. 分子是多項(xiàng)式，去分母時(shí)忽視了分?jǐn)?shù)線(xiàn)的括號(hào)作用

例１０ 解不等式： －＞ ０．

錯(cuò)解 去分母，得４ｘ － １ － ３ｘ － １ ＞ ０，

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得ｘ ＞ ２．

評(píng)析 去分母時(shí)， 當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，各分式的分子必須看成一個(gè)整體. 忽視分?jǐn)?shù)線(xiàn)的括號(hào)作用也是解一元一次不等式時(shí)常出的錯(cuò)誤之一.為避免出這類(lèi)錯(cuò)，應(yīng)分別對(duì)分子添加括號(hào)，再運(yùn)用去括號(hào)法則. 例10中沒(méi)有添加括號(hào)導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

正確 去分母，得２（２ｘ － １） － ３（ｘ － ２） ＞ ０．

去括號(hào)，得４ｘ － ２ － ３ｘ ＋ ６ ＞ ０，

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得ｘ ＞ －４．

二、學(xué)好解一元一次不等式（組）及應(yīng)用題的策略

1． 理解有關(guān)的概念

① 不等式：用“＜”或“＞”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.

② 一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是１的不等式，叫做一元一次不等式. 分母中不能含有未知數(shù).

③ 不等式的解：在含有未知數(shù)的不等式中，把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解. 不等式若有解，一般它的解有無(wú)數(shù)個(gè).

④ 不等式的解集：如果一個(gè)不等式有解，能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)解集. 不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知數(shù)的值.

２． 領(lǐng)悟不等式的三個(gè)基本性質(zhì)

① 不等式的兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變.

② 不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

③ 不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

不等式的三個(gè)基本性質(zhì)是進(jìn)行不等式變形的根本依據(jù)，其中前兩個(gè)性質(zhì)類(lèi)似于等式的性質(zhì)，而在運(yùn)用性質(zhì)③時(shí)，要注意必須改變不等號(hào)的方向，這是不等式特有的性質(zhì).

3． 牢固掌握不等式（組）的解法

解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程相同：① 去分母；② 去括號(hào)；③ 移項(xiàng)；④ 合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤ 系數(shù)化成１.

各步需注意事項(xiàng)：① 去分母：不要漏乘不含分母的項(xiàng)，是否改變不等號(hào)的方向；② 去括號(hào)：括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均要變號(hào)；③ 移項(xiàng)：移項(xiàng)要變號(hào)；④ 合并同類(lèi)項(xiàng)：系數(shù)相加，字母及字母指數(shù)不變；⑤ 系數(shù)化成１：是否改變不等號(hào)的方向.

4． 牢固掌握列不等式（組）解應(yīng)用題的步驟，抓住不等關(guān)系關(guān)鍵詞，挖掘隱含的不等關(guān)系

在能構(gòu)建不等式的題目中往往有表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)，如“大于、小于、不大于、不小于、超過(guò)、不超過(guò)”等．我們一定要利用好這些關(guān)鍵信息，列出不等式（組）以解決實(shí)際問(wèn)題.

有些題目中無(wú)明顯表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞，而是深藏于題意中，這就要求老師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，深入挖掘蘊(yùn)含其中的不等關(guān)系．

5. 重視不等式（組）應(yīng)用題的教學(xué)

在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中， 教師既要注重知識(shí)的傳授和題目的解答，也要重視學(xué)生的實(shí)踐性活動(dòng)的開(kāi)展和教學(xué)，這樣才會(huì)避免數(shù)學(xué)和實(shí)際生活脫節(jié)，同時(shí)教學(xué)中要不斷地增加新的背景和內(nèi)容， 跟上時(shí)代，彌補(bǔ)生活經(jīng)驗(yàn)的不足，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情．對(duì)于不等式（組）應(yīng)用題文字較多學(xué)生獲得信息困難的問(wèn)題，教師平常在教學(xué)中在應(yīng)用題上要多停留，有耐心.

在實(shí)際問(wèn)題中，有許多用方程很難解決的問(wèn)題，而用不等式去處理則可輕易解決. 應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，列不等式解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，根據(jù)題意正確地列出不等式（組），解應(yīng)用題就成功了一半. 一元一次不等式（組）的解法十分重要，它與一元一次方程的解法有許多相似之處，但又有其自身特點(diǎn)，同學(xué)們要認(rèn)清兩者解法的聯(lián)系與區(qū)別. 正確應(yīng)對(duì)學(xué)生在解題過(guò)程中遇到的困難，提高學(xué)習(xí)的積極性，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，才有可能應(yīng)用一元一次不等式（組）去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

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