葉良銓

摘要：教師在課堂教學(xué)中不應(yīng)機(jī)械地執(zhí)行預(yù)設(shè)方案，而應(yīng)根據(jù)師生、生生互動(dòng)的情況，允許“節(jié)外生枝”，有意識(shí)地抓住這些“意外通道”，捕捉那些“美麗圖景”，使課堂因“生成”而精彩。

關(guān)鍵詞：課前預(yù)設(shè)；課堂生成；推證；教后反思

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?搖 文章編號(hào)：1674-9324（2012）09-0230-02

著名教育家葉瀾教授曾說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵守固定的線路而沒有激情的行程?！币虼?，教師在課堂教學(xué)中不應(yīng)機(jī)械地執(zhí)行預(yù)設(shè)方案，而應(yīng)在課堂特定的動(dòng)態(tài)環(huán)境中，根據(jù)師生、生生互動(dòng)的情況，允許“節(jié)外生枝”，有意識(shí)地抓住這些“意外通道”，捕捉那些“美麗圖景”，并運(yùn)用教學(xué)睿智因勢(shì)利導(dǎo)地組織學(xué)生進(jìn)行探究，在探討過程中獲取意外收獲，使課堂因“生成”而精彩。以下是我在一堂高三復(fù)習(xí)課上的意外收獲，現(xiàn)整理成文，與同行交流。

案例：以下是我在一堂高三解幾復(fù)習(xí)課上的教學(xué)片段。

例題 已知橢圓■+y2=1內(nèi)一點(diǎn)P（1，■），過點(diǎn)P的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰好把弦AB平分，求弦AB所在的直線方程。

課前預(yù)設(shè)

因?yàn)槿绻O(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）；則有x1+x2=2y1+y2=1這自然就與韋達(dá)定理聯(lián)系上了，因此我備課時(shí)的預(yù)設(shè)解法是用通法——韋達(dá)定理來(lái)求解，快速收?qǐng)鲈僦v其他的題型，結(jié)果是……

課堂生成

在我寫出題目之后，讓學(xué)生思考了片刻，主動(dòng)去探求解題的思路，我并沒有直接拋出課前的預(yù)設(shè)。

師：好，下面讓我們一起來(lái)探求一下這道題的解法，同學(xué)們有何思路？（這時(shí)就有很多同學(xué)紛紛舉手）

【生成1】生1：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)锳，B兩點(diǎn)均在橢圓上，將其代入橢圓方程x2+4y2=4得：

x12+4y12=4 ①x22+4y22=4 ②①-②得：

x12-x22=-4（y12-y22）?圯-■=■·■

∴-■=■·kAB，故kAB=-■，lAB又過點(diǎn)P（1，■）

所以由直線方程的點(diǎn)斜式可得lAB：x+2y-2=0

板演過后我很驚訝，也暗喜，因?yàn)檎n前我沒想到學(xué)生能這么快就得到了此題的一個(gè)特法（點(diǎn)差法）解法，看來(lái)只要給學(xué)生思考的空間，就能綻放智慧的光芒。

【生成2】生2：老師，剛才前一位同學(xué)計(jì)算到：-■=■·■，這個(gè)表達(dá)式從圖形上看，不就是-■=kAB·kOP嗎？

師：哦？是嗎？大家說是不是？果真如此。這位同學(xué)觀察力真夠敏銳的。

【生成3】生3：從這個(gè)式子看：-■=kAB·kOP，也就是說kAB·kOP是一個(gè)定值。那么更一般情況下也應(yīng)該成立的。（這時(shí)我有點(diǎn)忐忑不安，課前根本沒考慮到，不知能否解答這個(gè)問題）

師：那我們不妨一起來(lái)探索一下！

【生成4】師生共同協(xié)作：原問題的一般情況是：已知橢圓■+■=1（a＞b＞0）內(nèi)一點(diǎn)P（x0，y0），過點(diǎn)P的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰好把弦AB平分，求弦AB所在的直線方程。

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)锳，B兩點(diǎn)均在橢圓上，將其代入橢圓方程得b2x2+a2y2=a2b2：

b2x12+a2y12=a2b2①b2x22+a2y22=a2b2② ①-②得：

-■=■·■

∴-■=■·kAB

kOP·kAB=-■（定值）

可見同學(xué)們的猜想是完全正確的。

【生成5】生4：因?yàn)殡p曲線方程■-■=1（a＞0，b＞0）的結(jié)構(gòu)與橢圓方程■+■=1（a＞b＞0）的結(jié)構(gòu)類似，我猜想在雙曲線方程中也應(yīng)該有類似的結(jié)論。（我簡(jiǎn)直不敢相信，居然在這個(gè)地方同學(xué)們用上了類比推理，太不可思議了?。?/p>

師：果真如此嗎？那我們一起來(lái)推證一下：

設(shè)雙曲線?祝：■-■=1（a＞0，b＞0）內(nèi)一點(diǎn)P（x0，y0），過點(diǎn)P的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰好把弦AB平分，求弦AB所在的直線方程。

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)锳，B兩點(diǎn)均在橢圓上，將其代入橢圓方程雙曲線?祝：b2x2-a2y=a2b2得：

b2x12-a2y12=a2b2①b2x22-a2y22=a2b2②①-②得：

■=■·■

∴■=■·kABkop·kAB=■（定值）

可見這個(gè)類比，通過我們的證明也是正確的，太妙了！

【生成6】生5：老師，這一結(jié)論是在圓錐曲線這同一類中得到的，我想它們應(yīng)該有共性的地方。從結(jié)論的結(jié)構(gòu)上來(lái)看，我感覺跟它們的離心率有著密切的關(guān)系。（縱同學(xué)猜疑的眼光）

師：是圓錐曲線這同一類的，確實(shí)不假，有沒有共性的東西呢？我們不妨一起來(lái)推證下它們的離心率：

橢圓：e=■?圯e2=■=■=1-■?圯-■=e2-1

雙曲線：e=■?圯e2=■=■=1+■?圯-■=e2-1

∴kop·kAB=e2-1（e指的是橢圓，雙曲線的離心率）

太精彩了?。。≡瓉?lái)無(wú)論是在橢圓，還是在雙曲線中kop·kAB都等于各自的離心率的平方減一，這正是它們共性的地方。

【生成7】生6：老師，我剛才悄悄推導(dǎo)了一下當(dāng)圓錐曲線為拋物線時(shí)也有一個(gè)結(jié)論。

師：是嗎？確實(shí)在圓錐曲線中，我們還差了一個(gè)拋物線，請(qǐng)寫出您的結(jié)論好嗎？（這位學(xué)生興奮、自信地快歩上到講臺(tái)進(jìn)行了板演）

解：設(shè)拋物線方程y2=2px（p＞0）內(nèi)一點(diǎn)P（x0，y0），過點(diǎn)P的直線交橢圓于A（x1，y2），B（x2，y2），兩點(diǎn)，將其代入方程得：

y12=2px1①y22=2px2②

①-②得：■=2P

∴2y0·kAB=2p

故kAB=■（此時(shí)全班同學(xué)都向他投出了驚羨的目光）

教后反思

學(xué)生們的出色表現(xiàn)，讓我深深感到，每一位學(xué)生都有著巨大的潛力，就看作為教師的我們，是否意識(shí)、樂意把這些潛力給挖掘出來(lái)，而要挖掘?qū)W生們的潛力，把他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，就需要我們?nèi)?chuàng)造一種寬松的氛圍，讓學(xué)生們敢于參與、樂于參與，讓他們張揚(yáng)，讓他們“表演”。雖然有的時(shí)候，學(xué)生的想法在老師看來(lái)似乎很幼稚，甚至是可笑的，但是我們卻要像呵護(hù)幼苗一樣去保護(hù)它，不能讓它葬送在我們手里。也許教師不經(jīng)意間的一個(gè)冷漠的眼神，就可能挫傷學(xué)生的積極性；相反，一句激勵(lì)的話語(yǔ)，就可能讓學(xué)生因此而愛上數(shù)學(xué)。