張永正 李長青 孫振

【摘 要】 鑒于Markowitz投資組合模型與線性回歸模型之間的聯(lián)系，可以在線性回歸框架下解決投資組合問題，并作相關(guān)的統(tǒng)計(jì)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)。Markowitz投資組合權(quán)重是最優(yōu)的，但并不保證該證券在分散組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)方面顯著有效，線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)告訴我們，只有最優(yōu)組合權(quán)重通過了顯著性檢驗(yàn)的證券才對分散組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)有明顯的貢獻(xiàn)。在實(shí)例中，首先用線性回歸的方法估計(jì)出最小方差點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)重；其次通過顯著性檢驗(yàn)，把不顯著的證券從組合中去掉，建立更加簡潔有效的投資組合，降低管理成本；最后，使用鄒氏預(yù)測檢驗(yàn)對投資組合的動態(tài)性或最優(yōu)組合權(quán)重的結(jié)構(gòu)性變化進(jìn)行檢驗(yàn)，為投資組合的最佳調(diào)整時(shí)機(jī)選擇提供一種思路。

【關(guān)鍵詞】 投資組合模型； 線性回歸模型； 非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)； 穩(wěn)定性檢驗(yàn)

引 言

1952年，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主Harry Markowitz發(fā)表了《資產(chǎn)組合的選擇》，第一次以較嚴(yán)密的數(shù)理方法分析了人們?yōu)槭裁匆獦?gòu)建資產(chǎn)組合以及如何建立有效的資產(chǎn)組合，為資產(chǎn)組合策略提供了理論基礎(chǔ)。

對于最優(yōu)投資組合權(quán)重的估計(jì)方法，許多學(xué)者作了進(jìn)一步研究。張立山、張曉紅用線性規(guī)劃單純形法解決證券投資組合的優(yōu)化問題。萬中等人構(gòu)造了外點(diǎn)罰函數(shù)，采用Frank-Wolf算法解決這一問題。但隨著證券種類以及數(shù)目的不斷增多，當(dāng)線性規(guī)劃模型的決策變量數(shù)目增加時(shí)，增大了計(jì)算工作量，最優(yōu)投資比例的確定變得非常困難。徐緒松、陳彥斌用模擬退火算法求解基于絕對離差的證券投資組合模型。楊利、李玉娟提出了一種改進(jìn)的模擬退火算法，應(yīng)用懲罰函數(shù)法將Markowitz投資組合模型轉(zhuǎn)化成無約束的優(yōu)化問題，并對基本的模擬退火法的關(guān)鍵過程和參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，解決了模擬退火法初始溫度和解的產(chǎn)生機(jī)制問題，達(dá)到了速度和精度的平衡，提高了算法的效率。由于理論最小迭代次數(shù)無法確定，存在著計(jì)算效率偏低的問題，仍需要進(jìn)一步研究。

從Markowitz的投資組合模型開始，資產(chǎn)組合均值-方差有效性的問題對于投資實(shí)務(wù)具有重要意義，理論研究者在這方面做了大量檢驗(yàn)工作。給定一個特定的投資組合，其組成部分或投資組合比例是已知的，傳統(tǒng)上，把檢驗(yàn)資產(chǎn)組合的有效性問題轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)資本資產(chǎn)定價(jià)模型的有效性。Gibbons（1982）首先在多元統(tǒng)計(jì)框架下檢驗(yàn)資產(chǎn)組合的有效性。在存在無風(fēng)險(xiǎn) 資產(chǎn)的情況下 ， Gibbons、Ross &Shanken（1989）提供了有效檢驗(yàn)方法解決了資產(chǎn)組合有效性精確檢驗(yàn)的問題。在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下， Zhou（1991）應(yīng)用特征值檢驗(yàn)來檢驗(yàn)資產(chǎn)組合有效性。Harvey & Zhou（1990） 使用貝葉斯推斷來檢驗(yàn)投資組合的有效性。

目前有許多方法可以用來估計(jì)投資組合的最優(yōu)權(quán)重，但這些方法大多非常復(fù)雜，如果能將投資組合問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，借助技術(shù)上成熟的最小二乘法估計(jì)最優(yōu)組合權(quán)重，計(jì)算量會大幅下降，且估計(jì)精度提高。已有的對投資組合的有效性檢驗(yàn)主要是針對整個市場的，對于個別投資者則更關(guān)注自己所持有的組合是否有效或持有由哪些資產(chǎn)組成的組合更加有效，因?yàn)槌酥笖?shù)基金或大型投資基金能夠?qū)崿F(xiàn)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的充分分散，對于大多數(shù)中小投資者是很難做到的。所以研究由少數(shù)股票組成的投資組合是否有效具有實(shí)際意義。投資組合的有效性主要在于是否能夠有效分散非系統(tǒng)性的風(fēng)險(xiǎn)，這取決于各組成證券在組合中的作用是否有效或顯著。另外，隨著經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和企業(yè)經(jīng)營的變化，人們的預(yù)期發(fā)生變化，投資組合也必須隨之做出調(diào)整，投資組合呈現(xiàn)出動態(tài)性或時(shí)效性特點(diǎn)，過去是最優(yōu)的組合權(quán)重，現(xiàn)在未必是最優(yōu)的，如果調(diào)整，需要支付一定的成本，且頻繁調(diào)整會造成投資效率的下降；不調(diào)整，或錯過了最佳調(diào)整時(shí)機(jī)，則可能無法適應(yīng)市場的結(jié)構(gòu)變化，形成投資損失，因此投資組合調(diào)整的時(shí)機(jī)選擇也是投資者關(guān)注的一個問題。

一、Markowitz投資組合模型與線性回歸模型

投資者是利益驅(qū)動和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，總是期望收益率越高越好，而方差（風(fēng)險(xiǎn)）越小越好，所以投資者主要關(guān)心投資的收益率和方差：

Markowitz投資組合模型以收益率的期望來衡量未來收益率的水平，以收益率的方差來衡量收益率的不確定性，證券組合的特征完全由期望收益率和收益率的方差來描述。其模型如下：

可得出（4）式的最優(yōu)權(quán)重βj，j=1，2，…，K-1可以看作以rk-rp為被解釋變量，以rk-rj，j=1,2，…，K-1作為解釋變量的一個不含截距項(xiàng)的多元線性回歸模型（5）式的回歸系數(shù)的參數(shù)估計(jì)值。由于該回歸模型的設(shè)定比較特殊，要求第K只證券必須存在于組合中，為確保第K只證券進(jìn)入組合，在實(shí)際中，可取證券收益率的樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比最大者作為第K只證券。

rik-rp=β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi（5）

對于最小方差點(diǎn)處的投資組合，相當(dāng)于把rp看作一個需要估計(jì)的未知參數(shù)，此時(shí)可令截距項(xiàng)的β0=rp，得到含截距項(xiàng)的多元線性回歸模型

rik=β0+β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi （6）

其中，μi 為隨機(jī)誤差項(xiàng)，滿足回歸模型基本假設(shè)，是具有零均值、同方差、無序列相關(guān)且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

前面的推導(dǎo)過程闡述了Markowitz投資組合模型與多元線性回歸模型的等價(jià)關(guān)系。事實(shí)上，也可以這樣來理解Markowitz投資組合模型，即尋找一組最優(yōu)的投資組合權(quán)重β1，β2，…，βk，使得該組合的收益率盡可能接近投資者的預(yù)期收益率，有如下表達(dá)式

rp=β1ri1+β2ri2+…+βkrik+μi

將約束條件βk=1-β1-β2-…-βk-1代入上式，整理后可得

rik-rp=β1（rik-ri1）+β2（rik-ri2）+…+βk-1（rik-ri，k-1）+μi

這與（5）式相同，若假設(shè)rp未知，也可得到（6）式。

這樣，就把一個Markowitz投資組合問題轉(zhuǎn)化為一個簡單的多元線性回歸問題，在多元線性回歸框架下求解投資組合問題，并且可以對回歸模型的最優(yōu)組合權(quán)重作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

二、實(shí)例

（一）樣本數(shù)據(jù)

為便于讀者對相關(guān)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，所以僅選用3只證券，20個樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)見表1，協(xié)方差矩陣見表2。在本例中，簡單地假設(shè)：投資者對各證券在未來持有期內(nèi)的預(yù)期收益率和協(xié)方差矩陣與樣本期內(nèi)的相同；當(dāng)然，這種假設(shè)在實(shí)際中是不可取的，因?yàn)樵趯?shí)際中預(yù)期收益率和協(xié)方差矩陣需要投資者根據(jù)掌握的信息進(jìn)行預(yù)測和判斷。

（二）有效前沿上的投資組合

在此僅對最小方差點(diǎn)處的投資組合進(jìn)行分析。首先采用GAMS23.4軟件，利用樣本的均值和協(xié)方差信息建立Markowitz模型并求解，在最小方差點(diǎn)求解出最優(yōu)組合權(quán)重，以及收益與風(fēng)險(xiǎn)，GAMS程序附在文章末尾，得到的結(jié)果與下面的最小二乘回歸結(jié)果完全相同。

接下來，選用均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比最大的r3作為被解釋變量，以r3-r1、r3-r2作為解釋變量，用Eviews6.0軟件作含截距項(xiàng)的最小二乘回歸，得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表3。

最小二乘回歸結(jié)果表明：在最小方差點(diǎn)處，第一只證券的最優(yōu)權(quán)重-0.4538；第二只證券的權(quán)重0.7820；第三只證券的權(quán)重0.6718。該組合可以獲得rp=13.82%的期望收益，但要承擔(dān) σp=0.04368的風(fēng)險(xiǎn)。第一、二只證券的權(quán)重都很顯著，對于第三只證券，在選擇被解釋變量時(shí)已經(jīng)保證了它以非常大的可能性存在于組合中，但仍然可以做如下的受約束線性回歸假設(shè)檢驗(yàn)：

H0：1-β1-β2=0

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中，RSSU，RSSR分別表示無約束與受約束回歸下的殘差平方和，n表示樣本容量，KU，KR分別表示無約束與受約束回歸模型中的解釋變量個數(shù)。

線性約束的檢驗(yàn)結(jié)果為F（1，17）=13.15，P值為0.0021，小于通常的顯著性水平0.05，所以第三只證券的權(quán)重β3顯著，對于分散投資組合的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)具有顯著的貢獻(xiàn)。

接下來使用鄒氏預(yù)測檢驗(yàn)（Chow Forecast Test） ，檢驗(yàn)本期相對于前期，最優(yōu)組合權(quán)重是否發(fā)生了顯著的結(jié)構(gòu)性變化，如果檢驗(yàn)顯著，則認(rèn)為與前期相比，本期最優(yōu)組合權(quán)重發(fā)生了顯著的結(jié)構(gòu)變化，應(yīng)當(dāng)根據(jù)本期回歸結(jié)果調(diào)整每只證券在投資組合中的比例；否則，不做任何調(diào)整，仍保持原投資組合比例。具體檢驗(yàn)過程如下：

第一步，對結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生變化時(shí)的情形作回歸分析，即前n-1個樣本作回歸，記殘差平方和為RSS1；第二步，對假設(shè)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)的情形作回歸分析，即所有n個樣本作回歸，記殘差平方和為RSSR；第三步，計(jì)算F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值

其中，n為樣本容量，k為回歸方程中包含的解釋變量的個數(shù)。

第四步，計(jì)算大于F統(tǒng)計(jì)量的概率，即P值；第五步，檢驗(yàn)結(jié)論，假如P值小于通常的顯著水平0.05，認(rèn)為在第n期最優(yōu)組合權(quán)重發(fā)生了顯著的結(jié)構(gòu)性變化，應(yīng)當(dāng)根據(jù)第n期的回歸結(jié)果重新調(diào)整每只證券在最優(yōu)組合中的比重。

在這個案例中，對最后一期，即第20個樣本點(diǎn)作鄒氏預(yù)測檢驗(yàn)（Chow Forecast Test），由（7）式得F（1，16）= 0.372361，P值為0.5503，大于通常的顯著水平0.05，不顯著，所以認(rèn)為在最后一期最優(yōu)組合權(quán)重與前期相比沒有發(fā)生顯著的結(jié)構(gòu)性變化，不需要重新調(diào)整每只證券在組合中的相對比重。

三、結(jié)論

首先，通過推導(dǎo)得出Markowitz投資組合模型與線性回歸模型之間存在等價(jià)關(guān)系，這使得可以用線性回歸方法求解最優(yōu)組合權(quán)重；其次，盡管Markowitz模型的組合權(quán)重是最優(yōu)的，但并不一定都能夠顯著分散組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，根據(jù)線性回歸模型，只有最優(yōu)權(quán)重通過了顯著性檢驗(yàn)的證券，對于分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)才有顯著的貢獻(xiàn)，所以應(yīng)把組合中權(quán)重不顯著的證券識別出來并從組合中剔除出去，建立更加精簡高效的組合；最后，投資組合隨著人們對未來預(yù)期的變化呈現(xiàn)出動態(tài)性或時(shí)效性，過去是最優(yōu)的組合，現(xiàn)在未必是最優(yōu)的，但不一定必須頻繁調(diào)整，在鄒氏預(yù)測檢驗(yàn)下，只有當(dāng)組合的最優(yōu)權(quán)重發(fā)生了顯著的結(jié)構(gòu)性變化，才需要進(jìn)行必要的調(diào)整。

用線性回歸模型求解投資組合問題也存在一定的局限性，因?yàn)榫€性回歸模型主要依據(jù)各證券收益率的樣本數(shù)據(jù)，即歷史信息，而未來持有期內(nèi)的預(yù)期收益率和協(xié)方差矩陣與樣本期內(nèi)的可能存在差異。在這種情況下可以想到的一種解決思路是，首先根據(jù)投資者掌握的信息，對未來持有期內(nèi)有可能選入組合中的各證券的預(yù)期收益率和協(xié)方差矩陣進(jìn)行預(yù)測；其次，假定各證券未來收益率服從預(yù)測出的收益率和協(xié)方差矩陣這樣的多元正態(tài)分布，使用蒙特卡洛模擬法模擬出適當(dāng)數(shù)量的各證券收益率數(shù)據(jù)；最后，以模擬數(shù)據(jù)為樣本，使用前面介紹的方法估計(jì)最優(yōu)組合權(quán)重并進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

附：Markowitz最優(yōu)投資組合模型的GAMS程序

seti /r1， r2， r3 /；

alias （i，j）；

table cov（i，j）

r1 r2r3

r1 0.0225881610.0111422130.004828615

r2 0.0111422130.0063938210.002624485

r3 0.0048286150.0026244850.002747455；

parameter r（i） /r1-0.1544735

r2 0.045182

r30.0488175/；

variable b（i）；

variable rp，sigm2，sigm；

equation obj，eq1，eq2，eq3；

obj.. sigm2=e=sum（i，sum（j，b（i）*cov（i，j）*b（j）））；

eq1.. sum（i，b（i））=e=1；

eq2.. sum（i，r（i）*b（i））=e=rp；

eq3.. sigm=e=sigm2**0.5；

model mymod /all/；

*rp.fx=0.2；

solve mymod minimizing sigm2 using nlp；

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