摘要：本文通過對力學(xué)中常用的一些坐標(biāo)系的敘述，分析并得出了力學(xué)問題中巧建坐標(biāo)系的方法。
　　關(guān)鍵詞：力學(xué)問題坐標(biāo)系選取方法
　　
　　研究宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動需要選取一個(gè)參考系來確定該物體的空間位置。但僅有參考系還不能定量地描述該運(yùn)動物體的位置，需要在參考系上選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來確定物體在空間的相對位置。
　　要精確地研究運(yùn)動，就需要對運(yùn)動有定量的描述，因此為了在數(shù)量上表示一個(gè)物體相對于參考系的位置，我們以參照物為標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)（稱為坐標(biāo)原點(diǎn)），選定一組有一定次序的數(shù)稱為坐標(biāo)，組成一個(gè)系統(tǒng)稱為坐標(biāo)系。
　　在力學(xué)中描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的物理量大多數(shù)都是矢量，如質(zhì)點(diǎn)的位移，速度和加速度，以及物體之間的相互作用力，物體的動量，等等。與這些物理量相聯(lián)系的運(yùn)動學(xué)方程和動力學(xué)方程也都是矢量方程。如牛頓運(yùn)動方程∑=ma，拋射體方程=vt+t。在解決這類問題時(shí)常用的方法就是建立合適的坐標(biāo)系，將矢量方程投影到各坐標(biāo)軸上得出相應(yīng)的分量方程，用代數(shù)的方法求解。這種方法往往避免了矢量運(yùn)算，使求解過程顯得簡單，而且使物理思想明確，物理圖像清晰，是解決力學(xué)問題的一種重要方法。
　　力學(xué)中常用的是平面直角坐標(biāo)系，在此介紹巧建直角坐標(biāo)系的方法。
　　1.正交分解法中選取坐標(biāo)軸方向的一般原則
　　在解決力學(xué)問題時(shí)，常用正交分解法。在正交分解法中，選取坐標(biāo)軸方向的一般原則是：盡可能使較多的力落到坐標(biāo)軸上，這樣可以減少力的分解情況，得最簡單的力學(xué)方程組。
　　例：傾角為A的斜面上放一個(gè)質(zhì)量為m的物體（如圖1所示），物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，物體在斜面上做加速運(yùn)動。求物體的加速度。
　　分析與解：選質(zhì)量為m的物體為研究對象，物體受重力，支持力和滑動摩擦力，分別建力沿斜面向上為x軸，垂直斜面向上為y軸的直角坐標(biāo)系和水平向右為x軸豎直向上為y軸的直角坐標(biāo)系，分解重力，支持力，摩擦力如圖1-1、圖1-2所示。
　　由圖1-1知由圖1-2知
　　F=f-mgsinA=maF=fcosA-NsinA
　　F=N-mgcosA=0F=fsinA+NcosA-mg
　　f=μN(yùn)
　　F=
　　F=μN(yùn)
　　由圖1-1，MUJaS7ucYqC7SS9vn6po+w==我們可以看出只分解了重力，所列方程容易解得加速度。由圖1-2，我們可以看出重力和摩擦力都要分解，所列方程比圖1-1列的方程繁瑣。由此例我們可以看出按照選取坐標(biāo)軸方向的一般原則做題可以使問題簡單、直觀，容易理解。
　　2.三力平衡問題中坐標(biāo)軸的選取方法
　　三力平衡是高中物理中常見的力學(xué)問題，三力平衡中重力一般為已知力，另外兩個(gè)力為未知力，當(dāng)兩個(gè)未知力互相垂直時(shí)，根據(jù)上述坐標(biāo)軸的選取原則即可。但有時(shí)兩力并不垂直，這種情況下如何選取坐標(biāo)軸的方向呢？下面我們通過一例來討論這個(gè)問題。
　　例：如圖2所示，將一個(gè)帶電小球A，用絕緣棒固定于水平地面上某處，在它正上方L處有一懸點(diǎn)O，通過長為L的絕緣細(xì)線懸另一個(gè)與球A帶同性電的小球B，于是懸線與豎直方向成某一夾角θ，先設(shè)法增大A球電量，則懸線OB對B球的拉力將（）。
　　A.變大B.變小C.不變D.不能確定
　　分析可知當(dāng)增大球電A量時(shí)，A、B間斥力增大則角θ增大，所以只要求出-θ間的函數(shù)關(guān)系，就可選出正確答案。我們將坐標(biāo)軸原點(diǎn)建立在B球上，現(xiàn)選三種不同的坐標(biāo)軸方向來分析本例中與θ的函數(shù)關(guān)系，然后從選取方向及求解的繁簡程序比較中，研究選取合適坐標(biāo)軸方向的規(guī)律。
　　解法1：選水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，在B球上建立坐標(biāo)系如圖2-1所示，其中為A球?qū)球的庫侖斥力。經(jīng)分析得B球的平衡方程為Fcos-Tsinθ=0Fsin+Tcosθ=mg。
　　此方程組的特點(diǎn)是，每個(gè)方程中均含有未知力和，這樣的方程組雖然可以解除答案，但比較麻煩還需解出，而我們的目的是解出-θ的函數(shù)關(guān)系，求解過程不用贅述。
　　解法2：將坐標(biāo)系的軸建在懸線上，如圖2-2所示，在這樣的坐標(biāo)系中經(jīng)分析B球平衡方程為：
　　
　　Fcos=mgsinθmgcosθ+Fsin=T
　　圖2-2
　　此方程的特點(diǎn)是：方程中僅含有未知力，這種方法顯然比解法簡捷，但仍不能直接解出-θ的函數(shù)關(guān)系。
　　解法3：將X軸建在方向上，如圖2-3所示。
　　由圖可列方程Tcos=mg
　　解得：T=mg
　　此方程可直接求出與θ的函數(shù)關(guān)系，由上式可見與θ無關(guān)，故該題答案為C。
　　通過以上三種坐標(biāo)軸方向的選取比較可以看出，要分析-θ關(guān)系，以第三種選取坐標(biāo)軸的方法最優(yōu)。因此在三力平衡問題中，當(dāng)兩個(gè)未知力不垂直時(shí)，坐標(biāo)軸方向的最優(yōu)選取原則是：將坐標(biāo)軸建在不需要分析或求解的未知力上，若兩個(gè)未知力都要求分析或求解，則可暫定某一力為不需要分析或求解的力去處理，求出這一力后，再按同樣方法求出另一未知力。
　　3.在牛頓第二定律應(yīng)用問題中建立直角坐標(biāo)系，確定X軸方向的兩種方法。
　　（1）分解力而不分解加速度，此時(shí)應(yīng)規(guī)定加速度方向?yàn)閄軸正方向。
　　例：質(zhì)量為m的物體放在傾角為θ的斜面上，物體和斜面間的滑動摩擦因數(shù)為μ。如沿水平方向加一個(gè)力，使物體沿斜面向上以加速度做勻加速運(yùn)動，如圖3所示，求。
　　分析與解：選質(zhì)量為m的物體作研究對象，物體受重力m，外力，支持力和摩擦力。建立坐標(biāo)時(shí)，以加速度方向即沿斜面向上方向?yàn)閄軸的正方向，分解力，如圖3-1所示。
　　根據(jù)圖可列方程得
　　Fcosθ-mgsinθ-f=maN-Fsinθ-mgcosθ=0f=μN(yùn)
　　聯(lián)立方程可解得
　　由此例可以看出規(guī)定加速度為X軸正方向我們只用分解重力m外力兩個(gè)力，所列方程相對較簡單，且這樣建立坐標(biāo)系符合“選取坐標(biāo)軸方向的一般原則”。
　?。?）分解加速度而不分解力，此種方法一般是以某個(gè)力為軸X正方向時(shí)，其他力都落在兩個(gè)坐標(biāo)軸而不需要分解。
　　例：如圖4所示，自動扶梯的臺階上放一個(gè)質(zhì)量m為的物體A，當(dāng)扶梯A沿與水平面成θ角的方向上以加速度a運(yùn)動時(shí)，求臺階對物體A的支持力與摩擦力。
　　分析與解：物體A受三個(gè)力重力m、支持力、摩擦力，受力分析如圖4-1所示。根據(jù)選取坐標(biāo)軸方向的一般原則應(yīng)選擇水平方向?yàn)閄軸的直角坐標(biāo)系，這樣三個(gè)力都落在坐標(biāo)軸上，只需要把加速度分解到軸X、Y軸即可，由圖4-1可列方程f=-macosθN-mg=masinθ。
　　由此兩例分析可得出，坐標(biāo)系的建立可以有多種方法而不影響最后結(jié)果，但為了計(jì)算方便，應(yīng)當(dāng)以盡量簡化矢量的分解為原則來建立坐標(biāo)系。
　　直角坐標(biāo)系在直線運(yùn)動中應(yīng)用較廣泛，但有些問題中，采用直角坐標(biāo)系，使計(jì)算顯得比較復(fù)雜，如采用其他坐標(biāo)系就有可能方便得多。常用的其他坐標(biāo)系有平面極坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系。自然坐標(biāo)系是研究曲線運(yùn)動時(shí)常用的坐標(biāo)系，在研究非自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)，如果質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡已知，我們就選用自然坐標(biāo)系描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。
　　解算質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動的問題時(shí)選用平面極坐標(biāo)系，在平面極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置用兩個(gè)變量（r、θ）來表示，它們當(dāng)然也是時(shí)間t的函數(shù)r=r（t），θ=θ（t），為徑向單位矢量，為橫向單位矢量，⊥。做圓周運(yùn)動時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的徑向坐標(biāo)r為常量；做直線運(yùn)動時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的橫向坐標(biāo)θ為常量。在平面坐標(biāo)系上加上垂直的Z坐標(biāo)就形成柱面坐標(biāo)系，在柱面坐標(biāo)系中，空間中的任意一點(diǎn)P的位置由r、θ、z來確定，實(shí)用中，一般使直角坐標(biāo)系的z軸與柱面坐標(biāo)系的z軸重合。在學(xué)拉格朗日方程之前，我們用球面坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程是很繁瑣的，但是學(xué)習(xí)了拉格朗日方程后我們就可以解除這種束縛，用球面坐標(biāo)系來計(jì)算問題。球面坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)系適合解算對稱和柱對稱問題，在力學(xué)問題中用球面坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系解題的情況較少，在電磁學(xué)中應(yīng)用較廣泛，在這里就不再詳細(xì)闡述了。球面坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系適用于球?qū)ΨQ和柱對稱問題，這些坐標(biāo)系的選取方法本文就不詳細(xì)介紹。
　　總之，在不同的問題中選取不同的坐標(biāo)系，會使復(fù)雜的問題簡單化。如果坐標(biāo)系選取合適，不僅可以使物理思想明確，物理圖像清晰，而且可以使計(jì)算簡便，更有利于我們解決物理問題。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］程稼夫.力學(xué).北京科學(xué)出版社.
　?。?］周衍柏.理論力學(xué)教程.北京高等教育出版社.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文