摘 要： 含參數(shù)不等式的求解問題一直是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，求解這類問題，需要學(xué)生具有一定的分析能力和掌握相應(yīng)的解題技巧.本文先介紹含有一個(gè)參數(shù)不等式求解的幾個(gè)基本模型，然后介紹含有多個(gè)參數(shù)一元二次不等式的求解模型.
　　關(guān)鍵詞： 參數(shù) 二元二次不等式 模型 分類策略
　　
　　所謂含參數(shù)不等式，就是指除含未知數(shù)之外還含有參數(shù)的不等式.此類不等式，往往因參數(shù)的取值范圍不同，解集也不同.這類問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，學(xué)生對(duì)其常常難以駕馭，因此有必要研究其解法.本文重點(diǎn)討論形如ax+bx+c＞0（ax+bx+c＜0）一元二次不等式模型，談?wù)劮诸惒呗约敖忸}方法，供大家參考.
　　一、含有一個(gè)參數(shù)的一元二次不等式模型
　　模型1：當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，且與之對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩解，但不知道兩個(gè)解的大小時(shí)，需要對(duì)解的大小進(jìn)行討論.
　　例1：求不等式x+（1-a）x-a＜0的解集.
　　解：解方程x+（1-a）x-a=0
　　得兩根x=-1，x=a.
　　根據(jù)函數(shù)y=x+（1-a）x-a開口向上的特點(diǎn)分類討論-1與a大小：
　?、佼?dāng)a＜-1時(shí)，不等式的解集為{x|a＜x＜-1}；
　?、诋?dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為?準(zhǔn)；
　?、郛?dāng)a＞-1時(shí)，不等式的解集為{x|-1＜x＜a}.
　　模型2：當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，但不知道與之對(duì)應(yīng)的一元二次方程是否有解時(shí)需要對(duì)判別式進(jìn)行討論.
　　例2：求不等式x-2x+a＞0的解集.
　　解：△=4-4a
　?、佼?dāng)△＜0時(shí)，即a＞1，不等式的解集為R；
　?、诋?dāng)△=0時(shí)，即a=1，不等式的解集為{x|x≠1}；
　?、郛?dāng)△＞0時(shí)，即a＜1，不等式的解集為{x|x＜或x＞}.
　　模型3：當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，首先要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，其次要對(duì)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式進(jìn)行討論，有時(shí)還要對(duì)方程的解的大小進(jìn)行討論.
　　例3：求不等式ax-2ax-3a＞0（a≠0）的解集.
　　解：變形得a（x-2x-3）＞0
　　①當(dāng)a＜0時(shí)，整理得（x+1）（x-3）＜0，不等式的解集為{x|-1＜x＜3}；
　?、诋?dāng)a＞0時(shí)，整理得（x+1）（x-3）＞0，不等式的解集為{x|x＜-1或x＞3}.
　　例4：求不等式ax-x+1＞0的解集.
　　解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜1}；
　?。?）當(dāng)a＜0時(shí)，一定有△=1-4a＞0，方程ax-x+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根x=，x=，且x＞x，此時(shí)不等式的解集為{x|＜x＜}；
　?。?）當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于方程ax-x+1=0，△=1-4a.
　?、佟鳎?，即a＞，不等式的解集為R；
　?、凇?0，即a=，不等式的解集為{x|x≠2}；
　　③△＞0，即0＜a＜，不等式的解集為{x|x＜或x＞}.
　　由例4這一綜合題可以發(fā)現(xiàn)，求解含有參數(shù)一元二次不等式模型的核心問題在于分類討論，選擇正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏才是關(guān)鍵.一般步驟為先討論二次項(xiàng)系數(shù)，后對(duì)判別式進(jìn)行討論.如果需要的話，還要對(duì)根的大小進(jìn)行比較.含參數(shù)的一元二次不等式與不含參數(shù)的一元二次不等式，其解題過程實(shí)質(zhì)一樣.
　　二、含有多個(gè)參數(shù)的一元二次不等式模型
　　模型4：對(duì)于一元二次不等式模型中含有多個(gè)參數(shù)的問題，我們要想最終求出與參數(shù)密切相關(guān)的問題解，需要結(jié)合求方程的根，函數(shù)圖像，分類討論等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求解.
　　例5：已知不等式ax-bx+1＜0的解集為{x|x＜-或x＞1}，求關(guān)于x的不等式x+bx+a＜0的解集.
　　解：因?yàn)閍x-bx+1＜0的解集為{x|x＜-或x＞1}，所以可以得到ax-bx+1=0有兩個(gè)解x=-，x=1，且a＜0，-+1=，-×1=得a=-2，b=-1.求解不等式x+bx+a＜0變成求解不等式x-x-2＜0，原不等式解集為{x|-1＜x＜2}.
　　例6：已知不等式ax+bx+c＞0的解集為{x|x＜-2或x＞3}，求關(guān)于x的不等式cx+bx+a＞0的解集.
　　解：因?yàn)閍x+bx+c＞0的解集為{x|x＜-2或x＞3}，所以可以得到ax+bx+c=0的兩個(gè)解x=-2，x=3，且a＜0，-2+3=-，-2×3=得b=-a，c=-6a.求解不等式cx+bx+a＞0變成求解不等式-6ax-ax+a＞0，提取a整理得a（6x+x-1）＜0.由于a＜0，求解6x+x-1＞0，原不等式的解集為{x|x＜-或x＞}.
　　本文由淺入深地介紹了含有參數(shù)的一元二次不等式模型的幾種基礎(chǔ)解法.我們可以發(fā)現(xiàn)在求解此類問題時(shí)，應(yīng)正確認(rèn)識(shí)問題中的參數(shù)，確定不等式的類型，按相應(yīng)類型不等式的解題方法進(jìn)行求解，希望能對(duì)大家學(xué)習(xí)含參數(shù)一元二次不等式有所幫助.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文