摘 要： 等比數(shù)列是高考中重點(diǎn)考查知識，主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式。通過讓學(xué)生進(jìn)行漢諾塔游戲復(fù)習(xí)等比數(shù)列，使學(xué)生更投入，理解更深刻，且學(xué)會將等比數(shù)列的知識應(yīng)用于日常生活中，體會數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活的思想。
　　關(guān)鍵詞： 等比數(shù)列 漢諾塔游戲 通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式
　　
　　教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5（人民教育出版社）
　　課題：等比數(shù)列復(fù)習(xí)課
　　教學(xué)目標(biāo)：
　　知識與技能目標(biāo)：
　?。?）進(jìn)一步理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式
　?。?）掌握等比數(shù)列的應(yīng)用
　　過程與方法目標(biāo)：
　　（1）培養(yǎng)問題解決能力及合作交流能力
　?。?）培養(yǎng)邏輯推理和思維能力
　?。?）提高運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力
　　情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
　　（1）通過解決問題，感受等比數(shù)列的便利
　?。?）體會數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活
　　教學(xué)模式：講授式
　　教學(xué)重點(diǎn)：等比公式的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求解
　　教學(xué)難點(diǎn)：等比公式的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求解
　　教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件
　　教學(xué)程序：回顧總結(jié)—游戲時刻—感悟反思—意猶未盡
　　教學(xué)過程：
　?。?）回顧總結(jié)（約7分鐘）
　　教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過等比數(shù)列的相關(guān)知識，下面請同學(xué)們相互討論，填好以下表格。
　?。?）游戲時刻（約25分鐘）
　　教師：同學(xué)們對之前的知識掌握得不錯，下面老師就和大家一起放松一下，玩一個游戲——漢諾塔。大家知不知道什么是漢諾塔？其實(shí)漢諾塔游戲來自一個傳說：傳說在古代印度的貝拿勒斯圣廟里，安放了一塊黃銅板，板上插了三根寶石柱，在其中一根寶石柱上，按自上而下由小到大的順序放有64個金盤，而漢諾塔游戲類似的有三根柱，其中左邊的一根柱上有n個自上而下由小到大的盤子，要求把這n個盤子按規(guī)則移到最右邊的柱子，規(guī)則如下：1.一次只能移動一個盤子；2.盤子只能在三個柱子上存放；3.任何時候大盤不能放在小盤上面。（教師打開計(jì)算機(jī)中的漢諾塔游戲。）同學(xué)們，老師的電腦上已經(jīng)安裝了漢諾塔游戲，現(xiàn)在我們進(jìn)入第一關(guān)，有1個盤子，哪個同學(xué)想上來闖關(guān)？請一位同學(xué)上來闖關(guān)，其他同學(xué)協(xié)助他用移動次數(shù)最少的方法闖關(guān)并記錄下對應(yīng)的盤數(shù)和次數(shù)，分別記為n和a。
　　教師：好，時間關(guān)系，我們的游戲就玩到這，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)在課后再闖關(guān)。觀察這個數(shù)列，大家猜一猜這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？（停頓）我聽到有許多同學(xué)認(rèn)為是a=2-1，正確嗎？數(shù)學(xué)是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，即使我們猜測得十分有把握，也不能就此下結(jié)論，必須得驗(yàn)證我們的猜想。該如何驗(yàn)證？我們先來思考這個問題假設(shè)有n（n≥2）個盤子，要把n個盤子移動到第三根柱子，首先該怎么做？（停頓）首先，得把大的盤子移動到第三根柱，在此之前該怎么做才能實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)？先把上面n-1個盤子移動到第二根柱子，此時相當(dāng)于什么過程？（停頓）其實(shí)此時，我們將前n-1個盤子從第一根柱子移動到第二根柱子，就相當(dāng)于是闖了第n-1關(guān)，因此所移動的次數(shù)是a次。其次，就可以輕松地將最大的盤子移動到第三根柱子上了。最后，只要將第二根柱子的n-1個盤子移動到第三根柱子既可完成這次闖關(guān)了，這里也相當(dāng)于闖了第n-1關(guān)，因此移動的次數(shù)是a次。則由此過程可得結(jié)論：a=2a+1。由此可得遞推公式a=1a=2a+1（n≥2），如何求解出a？（讓學(xué)生思考，教師在教室巡視協(xié)助，讓學(xué)生上臺演示結(jié)果。）將a=2a+1轉(zhuǎn)化為a+1=2（a+1），即可將問題轉(zhuǎn)化為求首項(xiàng)為a+1=2，公比為2的等比數(shù)列{a+1}的通項(xiàng)公式，利用已學(xué)的等比數(shù)列的知識便可得a=2-1，同學(xué)們的結(jié)果是否一致？
　　如果我們闖過了n關(guān)，一共移動了多少次盤子？（讓學(xué)生思考完成）事實(shí)上，只要把每一關(guān)的移動次數(shù)相加即可得到答案，即相當(dāng)于求解這個數(shù)列的前n項(xiàng)和。令b=a+1，則為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，b=b?2=2，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得s===2-2，則s=s-n=2-2-n為所求。
　　如果我們要把貝拿勒斯圣廟里的第一根寶石柱中的64個金盤移到第三根寶石柱至少要移動多少次？同學(xué)們課下一起討論完成。
　?。?）感悟反思（約5分鐘）
　　教師：剛剛我們解決漢諾塔游戲中所遇到的問題時用到了哪些知識？（讓學(xué)生回答，教師再總結(jié)。）
　　首先，我們用到了兩種方法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式：1.觀察法；2.轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列求和，在此轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。至此，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了四種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法：1.觀察法；2.化為等比數(shù)列、等差數(shù)列；3.利用a=s-s；4.利用遞推公式或遞推關(guān)系，其中等差數(shù)列遞推公式：a=a （n=1）a=a+d （n≥2），等比數(shù)列遞推公式：a=a （n=1）a=aq （n≥2）。
　　其次，運(yùn)用了前n項(xiàng)和公式解決問題。
　　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：s=n?a（q=1）s=（q≠1）
　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：s==na+?d
　　最后，掌握求解形如a=a（n=1）a=qa+b（n≥2）的數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式的方法。
　　由λ=可得λ=，可得a+λ=a+λ（n=1）a+λ=q?（a+λ）（n≥2），則{a+λ}為首項(xiàng)為a+λ，公比為q的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得a=（a+λ）?q-λ即為所求。
　?。?）意猶未盡（約三分鐘）
　　作業(yè)：
　　1.已知兩等差數(shù)列{a}和的前n項(xiàng)和分別為S和T，若=對一切n∈N成立，求（1）的值；（2）的值。
　　2.從盛滿一升酒精的容器中倒出升，然后用水填滿，再倒出升，又用水填滿，這樣進(jìn)行5次，則容器中剩下的純酒精升數(shù)為多少？
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］人民教育出版社課程教材研究所.中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5.北京：人民教育出版社，2010.4，（12）.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文