紀(jì)宏偉

(江蘇教育學(xué)院 如皋分院，江蘇 如皋 226500)

在“做數(shù)學(xué)”中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美*

紀(jì)宏偉

(江蘇教育學(xué)院 如皋分院，江蘇 如皋 226500)

學(xué)生普遍感到數(shù)學(xué)“抽象”、“枯燥”、“神秘”、“繁復(fù)”、“乏味”，難以接受，然而數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，其本身具有許多美的特征和豐富多彩的美的因素。學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，將可以促進(jìn)其有意義學(xué)習(xí)，使他們?cè)诿赖难障拢玫角楦械墓缠Q和思維的啟迪，從而把學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)作為主動(dòng)、自覺(jué)和愉快的事，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)習(xí)興趣，完善學(xué)習(xí)方式。

做數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)美;計(jì)算機(jī)技術(shù)

在不少學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)是冰冷的數(shù)字和抽象奇特的符合的組合，是一門“枯燥、繁難、煩瑣”的學(xué)科。學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低落，學(xué)習(xí)的愿望或意向消沉，教學(xué)質(zhì)量難以提高。利用數(shù)學(xué)美恰能起到彌補(bǔ)學(xué)生在此方面的缺陷。斯托利亞爾說(shuō):“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)?！备ベ嚨撬栒J(rèn)為:“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做?！睂W(xué)生通過(guò)“做數(shù)學(xué)”，從中感受到數(shù)學(xué)知識(shí)鮮活、美的一面，將能激發(fā)起強(qiáng)烈的求知欲望和自我喚醒的力量，培養(yǎng)起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情和追求。同時(shí)，學(xué)生親自去實(shí)踐，主動(dòng)去探求和發(fā)現(xiàn)，將能深刻感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，享受到數(shù)學(xué)美給他們帶來(lái)的樂(lè)趣，在促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程中獲得豐富的情感體驗(yàn)。這種方式真正體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是過(guò)程，是活動(dòng)，學(xué)數(shù)學(xué)就是做數(shù)學(xué)”的理念，突出了學(xué)生的主體地位，其教學(xué)意義不言自明。

一、數(shù)學(xué)美及其含義解讀

數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)美是反映自然界在數(shù)量關(guān)系與空間形式上合目的性與合規(guī)律性的和諧統(tǒng)一，是科學(xué)的本質(zhì)力量的感性與理性顯現(xiàn)。從表面上看，數(shù)學(xué)就是符號(hào)、數(shù)字、圖形、概念、公式、邏輯關(guān)系等，它精煉、準(zhǔn)確，富于形象化、形式化，卻又顯得抽象、單調(diào)、枯燥、神秘、繁復(fù)，數(shù)學(xué)美主要就是通過(guò)這些“冷而嚴(yán)肅”的事物來(lái)反映理論內(nèi)在的絢麗多姿而又深邃含蓄的層面，以其“嚴(yán)謹(jǐn)、雅致、含蓄”來(lái)表現(xiàn)著數(shù)學(xué)中內(nèi)蘊(yùn)的美的獨(dú)特品質(zhì)。藝術(shù)美和自然美常給予人形象思維上的直接感受，或感官上的直接沖擊，數(shù)學(xué)美與之不同，它美在理性的外部形式，更美在數(shù)學(xué)的方法、思想和結(jié)論的內(nèi)部，包含著深層的邏輯思考與復(fù)雜的推理運(yùn)算過(guò)程，融合了人的思維創(chuàng)造。英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美?！泵绹?guó)數(shù)學(xué)家克萊因也曾對(duì)數(shù)學(xué)美做過(guò)這樣的描述:“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！比A羅庚也曾說(shuō):“認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，沒(méi)有藝術(shù)性，這種看法是不正確的，就像人站在花園外面，說(shuō)花園里枯燥無(wú)味一樣?！睌?shù)學(xué)美是客觀存在的，“不僅有表現(xiàn)的形式美，而且有內(nèi)容美與嚴(yán)謹(jǐn)美;不僅有具體的公式、定理美，而且有結(jié)構(gòu)美與整體美;不僅有語(yǔ)言精巧美，而且有方法美與思路美;不僅有邏輯抽象美，而且有創(chuàng)造美與應(yīng)用美?！焙?jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)美即是蘊(yùn)藏于它所特有的抽象概念、公式符號(hào)、命題模型、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、推理論證、思維方法……之中的統(tǒng)一、簡(jiǎn)捷、和諧、對(duì)稱、嚴(yán)謹(jǐn)、奇異等形式，［1］數(shù)學(xué)之美，無(wú)處不在。

二、數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容

數(shù)學(xué)美的概念伴隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展相繼有一定發(fā)展和演變，但是，它的基本內(nèi)容是相對(duì)穩(wěn)定的，主要體現(xiàn)在:

1.簡(jiǎn)潔性。愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò):“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性。”彭加萊說(shuō)，簡(jiǎn)單性就是一種美。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡(jiǎn)單，而是指數(shù)學(xué)的表達(dá)形式和數(shù)學(xué)理論體系的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔。數(shù)學(xué)中許多定義、定理、符號(hào)語(yǔ)言都簡(jiǎn)潔明了，數(shù)學(xué)中的許多定理、公式、論證都充滿著簡(jiǎn)潔的特征，數(shù)學(xué)中好多復(fù)雜的問(wèn)題都?xì)w結(jié)為簡(jiǎn)單的公式、定理和關(guān)系式。對(duì)于億分之一，人們樂(lè)于寫成 10－8而不寫成三角函數(shù)眾多繁雜的誘導(dǎo)公式，可借助十個(gè)字的口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”高度概括，f(x)dx這一簡(jiǎn)潔的符號(hào)表達(dá)了極為豐富的內(nèi)涵，給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來(lái)了極大的方便。數(shù)學(xué)中的“最簡(jiǎn)形式”(如最簡(jiǎn)多項(xiàng)式、最簡(jiǎn)分式、最簡(jiǎn)根式等)，幾何作圖中“尺規(guī)作圖”問(wèn)題，解析幾何中的橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，等等，無(wú)不是簡(jiǎn)單性的體現(xiàn)。

2.和諧性。德國(guó)物理學(xué)家海森堡指出“美是一個(gè)部分與另一個(gè)部分及整體的固有的和諧。”數(shù)學(xué)美的和諧性是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)完備和數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出的均衡對(duì)稱，其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)中對(duì)立統(tǒng)一的概念、運(yùn)算、命題、圖形等在結(jié)構(gòu)與形式方面的體現(xiàn)。［2］和諧是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容，它給人們一種圓滿而勻稱的美感與享受。常見(jiàn)的表現(xiàn)形式是統(tǒng)一美和對(duì)稱性。統(tǒng)一美通常表現(xiàn)為概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)中一些表面看來(lái)不相同的概念、定理、法則，在—定的條件下可以處在一個(gè)統(tǒng)一體中。例如，在集合論建立以后，代數(shù)中的“運(yùn)算”、幾何中的“變換”、分析中的“函數(shù)”這三個(gè)不同領(lǐng)域中的概念可以統(tǒng)一于“映射”概念中。［3］在積分運(yùn)算中，線積分、面積分都可分別由格林公式和奧－高公式轉(zhuǎn)化為重積分，而重積分又可由累次積分轉(zhuǎn)化為定積分，定積分又可通過(guò)牛頓－萊布尼茨公式轉(zhuǎn)化為不定積分，從而使各種積分運(yùn)算都統(tǒng)一到求不定積分的運(yùn)算，知識(shí)體系達(dá)到完美和諧的統(tǒng)一。對(duì)稱通常指圖形或物體對(duì)于某個(gè)點(diǎn)、直線或平面而言，他們?cè)诖笮　⑿螤詈团帕猩暇哂幸灰粚?duì)應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，對(duì)稱的概念略有拓廣，常把某些具有關(guān)連或?qū)α⒌母拍钜暈閷?duì)稱。［1］數(shù)學(xué)的對(duì)稱美主要體現(xiàn)為幾何對(duì)稱與代數(shù)對(duì)稱。如參數(shù)方程和極坐標(biāo)表示的雙紐線、心臟線、玫瑰線等，函數(shù)中的無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，曲線的凹與凸，矩陣中的對(duì)稱矩陣，復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)公式等，都給人以審美的愉悅感。

3.奇異美。弗蘭西斯·培根認(rèn)為“美在于獨(dú)特而令人驚異，沒(méi)有一個(gè)極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異?！睌?shù)學(xué)的奇異美是指數(shù)學(xué)中的和諧或統(tǒng)一在一定條件下的破壞，是數(shù)學(xué)的新思想、新方法對(duì)原有習(xí)慣法則和統(tǒng)一格局的突破。［4］哈密頓四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)，表現(xiàn)出異于尋常的奇異美，推動(dòng)了線性代數(shù)的研究，打開(kāi)了現(xiàn)代抽象代數(shù)的大門。函數(shù)f(z)=x+yi在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)卻處處不可導(dǎo)，皮亞諾曲線、直紋曲面等都體現(xiàn)了奇異之美。數(shù)學(xué)中新穎的結(jié)論、出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現(xiàn)出了一種獨(dú)特的令人驚訝的奇異，也讓人體會(huì)到一種奇特新穎之美感。［5］奇異性結(jié)果的獲得則又往往意味著沖破了原先認(rèn)識(shí)的局限性，成為新思想和新方法的起點(diǎn)。

三、在“做數(shù)學(xué)”中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

案例1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的辯證統(tǒng)一

事物都是普遍聯(lián)系的，都是對(duì)立統(tǒng)一的。數(shù)學(xué)中許多定理、公式、概念之間互相轉(zhuǎn)化，互相推導(dǎo)，使知識(shí)體系達(dá)到完美和諧的統(tǒng)一。如圖1，點(diǎn)A控制棱臺(tái)的高，點(diǎn)B控制棱臺(tái)的傾斜程度，點(diǎn)C是主控點(diǎn)，利用點(diǎn)C的位置控制其他元素的位置變化，拖動(dòng)點(diǎn)可以手動(dòng)表現(xiàn)為棱柱、棱錐、棱臺(tái)，三者之間互相轉(zhuǎn)化，其體積計(jì)算公式是對(duì)三種幾何體體積公式的高度概括，具有簡(jiǎn)潔和統(tǒng)一的美學(xué)特征。學(xué)生在做數(shù)學(xué)中將加深對(duì)幾何圖形的感知，必然對(duì)統(tǒng)一美、和諧美會(huì)別有一番感受，從而深刻理解它們之間的辯證關(guān)系，掌握概念的實(shí)質(zhì)和知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，深化對(duì)公式的理解和記憶。

圖1 柱錐臺(tái)互相轉(zhuǎn)化

案例2圓錐曲線的統(tǒng)一形式

“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。”數(shù)學(xué)的奇異美使這個(gè)規(guī)律化、程式化的世界常常出現(xiàn)意外的、新穎的、帶有獨(dú)創(chuàng)性的成果，既“出人意料”又在“情理之中”，令人興奮、激動(dòng)而又興趣盎然。［6］如圖2，通過(guò) e(e＞0)值由小到大的不同賦值而引起的相應(yīng)圖形由橢圓→拋物線→雙曲線的變化過(guò)程的動(dòng)態(tài)演示，揭示了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。當(dāng)0＜e＜1時(shí)，形成的是橢圓;當(dāng)e＞1時(shí)，形成是雙曲線;當(dāng)e=1時(shí)，形成的是拋物線。常數(shù)e由0.999或由1.001變?yōu)?，相差很小，形成的卻是形狀、性質(zhì)完全不同的曲線，讓人驚愕和詫異。通過(guò)拖動(dòng)的值，學(xué)生將清楚地目睹同步達(dá)到的屏幕圖形的變化以及由漸變到質(zhì)變的過(guò)程，領(lǐng)略逼真動(dòng)人、奇妙生動(dòng)的情境，感受到這令人激動(dòng)不已的奇異產(chǎn)生的美感。

圖2 圓錐曲線的統(tǒng)一形式

而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。［7］如圖 3，拖動(dòng)點(diǎn) A、B、C，將全方位展示出三種曲線直觀的變化、轉(zhuǎn)化過(guò)程和特征，深邃含蓄的的奇異之美躍然紙上，讓學(xué)生新奇與興奮不已。通過(guò)做數(shù)學(xué)，整個(gè)知識(shí)的形成過(guò)程清晰地展現(xiàn)在眼前，學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的魅力，獲得審美體驗(yàn)，對(duì)圓錐曲線內(nèi)容必然產(chǎn)生興趣并表現(xiàn)出心馳神往。數(shù)學(xué)不再是冷冰冰的世界，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再枯燥、乏味。

圖3 平面截圓錐成圓錐曲線

案例3定積分概念的幾何意義

定積分的概念涉及到“以直代曲，以有限來(lái)逼近無(wú)限”的近代微積分思想。在以求曲邊梯形的面積為例引入定積分定義時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)中一般是靠語(yǔ)言進(jìn)行抽象的描述，缺乏必要的直觀形象支撐，所有的結(jié)論都是教師“講”出來(lái)的，學(xué)習(xí)效果可想而知。而現(xiàn)在讓學(xué)生通過(guò)“做”數(shù)學(xué)，如圖4，單擊選中t，然后按鍵盤上的“+”“－”鍵，使t值增大和減小。當(dāng)t增大時(shí)，長(zhǎng)條矩形的個(gè)數(shù)越來(lái)越多，永無(wú)止境而又欲達(dá)不能，給人一種美的享受，當(dāng)小矩形逐漸填滿曲邊梯形，小矩形面積之和就逐漸接近曲邊梯形的面積，這是一個(gè)無(wú)限接近的過(guò)程，學(xué)生在動(dòng)手操作過(guò)程中，深刻體驗(yàn)圖形“變動(dòng)”的動(dòng)感，領(lǐng)略到美的神韻，在推理想像中完成這個(gè)過(guò)程，并對(duì)它所推出的結(jié)論的正確性確信無(wú)疑。學(xué)生從“做數(shù)學(xué)”中感受到數(shù)學(xué)并非那么枯燥無(wú)味，深不可測(cè)，而是如此的神奇奧妙，瑰麗迷人。這將激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無(wú)窮動(dòng)力，有利于學(xué)習(xí)興趣和探究精神的培養(yǎng)，正如徐利治教授所說(shuō):“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是主動(dòng)的、富有美感的智力活動(dòng)，學(xué)習(xí)材料的興趣和美學(xué)價(jià)值乃是學(xué)習(xí)的最佳刺激，強(qiáng)烈的心智活動(dòng)所帶來(lái)的美的愉悅和享受是推動(dòng)學(xué)習(xí)的最好動(dòng)力?！?/p>

圖4 定積分概念的幾何意義

四、小結(jié)

數(shù)學(xué)是一個(gè)瑰麗多姿、生機(jī)勃勃的世界。正如古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯所說(shuō):“哪里有數(shù)，哪里就有美?！睌?shù)學(xué)教學(xué)如果沒(méi)有美的發(fā)現(xiàn)和體驗(yàn)，無(wú)疑是一種缺憾。數(shù)學(xué)教學(xué)為展現(xiàn)數(shù)學(xué)美提供了廣闊的空間，而計(jì)算機(jī)技術(shù)也進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)到“做數(shù)學(xué)”的奇妙，計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)更是以直觀方式使數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀的“形狀”展現(xiàn)出來(lái)，產(chǎn)生無(wú)窮誘發(fā)力和吸引力。在“做數(shù)學(xué)”中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生融數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)于一種積極的情感體驗(yàn)之中，將大大激發(fā)學(xué)生的求知欲和內(nèi)部情感動(dòng)力，形成主動(dòng)學(xué)習(xí)、樂(lè)于學(xué)習(xí)的動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深入理解，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)。

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