郭鵬 張俊杰

例談解析幾何問題的解題策略與分析

郭鵬 張俊杰

本文舉例說明解題過程中如何運(yùn)用解題策略，選擇恰當(dāng)?shù)乃季S起點(diǎn)與方法，培養(yǎng)學(xué)生的能力，達(dá)到舉一反三，以不變應(yīng)萬變，從而使學(xué)生從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來。

回歸定義 數(shù)形結(jié)合 對(duì)稱性 設(shè)而不求 活用平幾

一、回歸定義

定義、定理是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的概括的內(nèi)在規(guī)律的揭示。根據(jù)題設(shè)條件特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)闹本€和圓錐曲線方程是強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)的重要手段。一旦靈活選用恰當(dāng)?shù)姆匠蹋蜁?huì)大大簡(jiǎn)化求解過程，豐富解題思想和方法。

例1某雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，又過它的右焦點(diǎn)且斜率為的直線交它于P、Q兩點(diǎn)，若求該雙曲線的方程。

簡(jiǎn)析略解：因本題曲線的形狀已定，固可采用待定系數(shù)法求之。設(shè)雙曲線的方程為則問題轉(zhuǎn)化為求待定系數(shù)a、b的值。欲求兩個(gè)未知數(shù)，必須尋找兩個(gè)條件，構(gòu)造兩個(gè)方程方可解決。這由可得兩個(gè)方程，從而解題途徑打通了。

因此，對(duì)解幾中的各種基本方程要弄清內(nèi)涵、挖掘本質(zhì)、靈活運(yùn)用，才能逐步提高自己的解題能力。

二、數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)中很多問題都有“形”的因素，若能在仔細(xì)審題的前提下，把題目中所描述的幾何關(guān)系用圖像充分顯示出來，把已知的點(diǎn)和方程在圖像中直觀地標(biāo)明，將數(shù)學(xué)命題以直觀，形象的圖形描述，就可化抽象為形象，充分利用條件，尋求突破口，形成解題思路。

例2 一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s．

1.爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？

2.已知A、B兩地相距800m，并且此時(shí)聲速為340m／s，求曲線的方程．

分析：解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義、數(shù)形結(jié)合建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)本題題意，注意到在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s。

解：(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差，可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上。因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上．

求軌跡方程的過程中，有一個(gè)重要的步驟就是找出（或聯(lián)想到）軌跡上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，解決它需要突出數(shù)形結(jié)合的思考方法，運(yùn)用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識(shí)，分析、歸納，靈活運(yùn)用，才能逐步提高自己的解題能力。

三、用好對(duì)稱性

解幾總是往往由于所給總是有很好的對(duì)稱和對(duì)等性，使得其代數(shù)運(yùn)算也有很好的對(duì)偶與對(duì)等，如果能充分利用這些內(nèi)在的因素，必將使運(yùn)算更為自然而有規(guī)可循，接到一道題，應(yīng)全面分析，整體把握，充分利用解幾的對(duì)稱和對(duì)等性，更易形成解題思路。

例3電影放映機(jī)上的聚光燈泡的反射鏡的軸截面是橢圓的一部分(如圖實(shí)線部分所示)，燈泡在焦點(diǎn)F2處，而且燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)A的距離|F2A|=1.5cm，橢圓的通徑|BC|=5.4cm為了使電影放映機(jī)鏡頭獲得最強(qiáng)的光線，鏡頭應(yīng)安在距燈泡多遠(yuǎn)的地方?

簡(jiǎn)析略解：據(jù)橢圓鏡面的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓反射后應(yīng)聚焦在另一個(gè)焦點(diǎn)上，故鏡頭應(yīng)放在另一個(gè)焦點(diǎn)F1上，因此需要求出焦距．設(shè)焦距如圖，知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(c，2.7)。由橢圓的定義解得，故鏡頭應(yīng)安在距燈泡12cm處。

利用對(duì)稱和對(duì)等性思想不僅可使運(yùn)算具有目標(biāo)性而達(dá)到簡(jiǎn)化，而且還可優(yōu)化解題過程。如一直線過曲線的對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，則直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)曲線而言具有對(duì)等性即兩交點(diǎn)具有相同地位和性質(zhì)，從而使圖形造成“對(duì)稱”使算式造成“對(duì)偶”，如果我們?cè)谶\(yùn)算中能及時(shí)挖掘和發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律，則可使解題過程更加簡(jiǎn)化。

四、設(shè)而不求

設(shè)而不求就是要明確計(jì)算的整體目標(biāo)，善于排除中間過程的干擾?！霸O(shè)”是為了“架橋”，“不求”就是為了“求整體”，抓矛盾的主要方面。

即M分PQ的比為11:2

通過分析條件與結(jié)論之間的差異，并不斷減少目標(biāo)差來完成解題的思路，可以同時(shí)回答“從何處入手”與“向何方前進(jìn)”這兩個(gè)基本問題。運(yùn)算中引入?yún)?shù),更為簡(jiǎn)潔明快。對(duì)于一些較抽象，綜合性較強(qiáng)，帶有普遍性結(jié)論的問題，可以先分析問題特殊的，具體的情況，或極端化情況，從中歸納、猜想到一般性，普遍性的結(jié)論，再小心求解。

總之，在探索解題策略的過程中，要不斷對(duì)解題思維過程進(jìn)行回顧、反思、總結(jié)，培養(yǎng)解題能力，積累解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生才能舉一反三，才能思路清晰、順暢，事半功倍，學(xué)生才能從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來。

［1］田寶運(yùn)．解幾中參數(shù)取值范圍求解策略，中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004．

［2］李昭平．高考對(duì)解幾問題考查的五大熱點(diǎn)，中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2000．

（郭鵬：安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。張俊杰：安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。）