楊希祥，張為華

(國防科學技術(shù)大學航天與材料工程學院，長沙 410073)

0 引言

固體運載火箭設計是極其復雜的理論和工程問題，涉及氣動、推進、彈道、質(zhì)量等多個學科，各學科相互耦合和影響。傳統(tǒng)設計方法在方案設計階段往往對設計知識應用不充分，學科分配不合理，采用串行模式，割裂各學科間耦合關系，不能有效集成各學科知識進行設計，導致運載火箭設計水平低、周期長、成本高、風險大。多學科設計優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization，MDO)是解決上述問題的有效方法。MDO是當今飛行器設計領域最活躍的研究方向之一［1］。

MDO核心是分解協(xié)調(diào)算法，分為單級優(yōu)化算法和多級優(yōu)化算法。多級優(yōu)化算法中的協(xié)同優(yōu)化方法(Collaborative Optimization，CO)以結(jié)構(gòu)簡單、分解協(xié)調(diào)機制與現(xiàn)有飛行器設計專業(yè)劃分和協(xié)調(diào)關系一致等顯著特點在飛行器MDO領域得到廣泛應用。文獻［2］研究了CO在單級入軌運載器設計優(yōu)化中的應用，并同傳統(tǒng)串行設計方式及AAO方式進行了對比，結(jié)果表明CO存在明顯優(yōu)勢;Perez等采用自適應罰函數(shù)法將系統(tǒng)級優(yōu)化轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題，改進了CO，并將其應用于飛機飛行動力學與控制MDO［3］;文獻［4］采用增強CO求解助推-滑翔導彈設計問題，設計結(jié)果表明，CO適用于助推-滑翔導彈多學科設計優(yōu)化。

本文研究CO在新型多級固體運載火箭設計優(yōu)化中的應用。研究的運載火箭采用三級固體發(fā)動機+液體末助推串聯(lián)式結(jié)構(gòu)布局，運載火箭一級飛行段姿態(tài)控制采用柵格舵。

1 固體運載火箭多學科分析模型

1.1 總體學科分析模型

總體學科分析模型任務是，在給定固體運載火箭級數(shù)、運載能力要求前提下，設定飛行過程速度損失量(重力和阻力引起)、各子級發(fā)動機比沖、各子級結(jié)構(gòu)質(zhì)量系數(shù)和各子級提供的需要速度增量，計算各子級質(zhì)量及起飛質(zhì)量。

設末助推級干重和衛(wèi)星質(zhì)量總和為M，目標軌道高度h，飛行過程總速度損失為Δv1，各級固體發(fā)動機比沖分別為 Isp1、Isp2、Isp3，子級結(jié)構(gòu)質(zhì)量系數(shù)分別為σ1、σ2、σ3，三級固體發(fā)動機與液體末助推級提供的速度增量與實際需要的入軌速度增量比分別為α、β、γ、1－α－β－γ，液體末助推級發(fā)動機比沖為Isp4。

衛(wèi)星進入目標軌道需要的速度增量:

式中 R為地球半徑;μ為引力常數(shù)。

末助推級消耗液體燃料質(zhì)量:

各級提供速度增量分別為 αΔv、βΔv、γΔv、(1 － α－β－γ)Δv，自頂向下求取各級質(zhì)量:

式中 mpi(i=1，2，3)為第i子級發(fā)動機藥柱質(zhì)量;msi(i=1，2，3)為第i子級結(jié)構(gòu)質(zhì)量;m0為全箭初始起飛質(zhì)量。

1.2 推進學科分析模型

推進學科分析模型的任務是，根據(jù)給定的各級發(fā)動機藥柱和結(jié)構(gòu)參數(shù)，進行熱力計算、性能損失計算、藥柱設計計算、內(nèi)彈道計算、質(zhì)量計算，最終得到推力-時間曲線T(t)，壓強-時間曲線p(t)和質(zhì)量-時間曲線m(t)。

根據(jù)給定的推進劑配方、初溫、燃燒室壓強和環(huán)境壓強，采用最小自由能法進行發(fā)動機熱力計算，得到理論比沖，利用經(jīng)驗公式進行兩相流損失、擴散損失、邊界層損失、燃燒損失、噴管潛入損失、化學動力學損失和噴喉燒蝕損失等性能損失計算，得到發(fā)動機實際比沖［5］。

翼柱形三維藥柱計算采用通用坐標法。翼柱形藥柱外邊界構(gòu)造采用軸向圓柱、橢球表面加上軸向圓環(huán)帶組合而成，藥柱內(nèi)腔由軸向圓柱、圓錐臺和軸向圓環(huán)帶組成。翼片構(gòu)造較復雜，為適應優(yōu)化設計需要，減少優(yōu)化計算量，采用等寬度翼片。常規(guī)通用坐標法計算藥柱燃燒面積等參數(shù)時，藥柱幾何構(gòu)型和幾何尺寸必須完全確定，而在發(fā)動機優(yōu)化設計中，藥柱幾何構(gòu)型和幾何參數(shù)通常不確定，有些參數(shù)本身就是設計變量。因此，本文對常規(guī)形式通用坐標法進行改進以適應優(yōu)化設計需要。將翼柱形藥柱分為前翼、后翼和前后翼3種，翼片形狀也分為若干種類型，分別編制標準程序塊完成各種翼柱形藥柱前處理，調(diào)用通用坐標法進行燃面計算［6］。

固體發(fā)動機一維內(nèi)彈道計算相對零維方法精度較高，但由于采用三重迭代計算方法，計算時間較長，嵌入優(yōu)化過程進行內(nèi)彈道計算將嚴重降低優(yōu)化效率;零維方法計算速度較快，且經(jīng)過適當修正，能夠滿足總體設計階段計算精度要求。因此，本文采用零維內(nèi)彈道計算模型。由內(nèi)彈道計算得到發(fā)動機燃燒室壓強-時間曲線，進而得到發(fā)動機推力-時間曲線。

發(fā)動機質(zhì)量包括藥柱質(zhì)量、燃燒室殼體質(zhì)量、絕熱層和包覆層質(zhì)量、前后接頭質(zhì)量、噴管質(zhì)量、點火器質(zhì)量等。藥柱質(zhì)量由通用坐標法計算得到的藥柱體積乘以藥柱密度得到;按展開型質(zhì)量模型計算燃燒室殼體、絕熱層、包覆層、前后接頭、噴管等部件結(jié)構(gòu)質(zhì)量。點火器、安全點火機構(gòu)、前頂蓋及發(fā)動機緊固件等質(zhì)量看做固定質(zhì)量，參照相關工程型號設計［7］。

1.3 氣動學科分析模型

氣動學科分析模型的任務是，根據(jù)給定的運載火箭箭體、箭翼和整流罩初始輸入外形參數(shù)及發(fā)動機設計結(jié)果生成的外形參數(shù)，計算阻力系數(shù)Cd(Ma，α)和升力系數(shù) C1(Ma，α)。

本文在進行固體運載火箭設計優(yōu)化時，主要考慮發(fā)動機設計結(jié)果引起的氣動外形參數(shù)變化和整流罩外形變化，柵格翼外形參數(shù)保持不變。氣動力系數(shù)計算采用如下方法，首先不考慮柵格翼，采用基于DATACOM開發(fā)的氣動特性估算程序計算常規(guī)氣動布局的運載火箭氣動力系數(shù)，得到關于攻角α和飛行馬赫數(shù)Ma的阻力和升力系數(shù)矩陣，然后采用修正系數(shù)對得到的阻力系數(shù)和升力系數(shù)進行修正，得到最終的氣動力系數(shù)。

修正系數(shù)χCd和χC1基于CFD計算獲取，它們在全程飛行中是時變的。影響修正系數(shù)的因素很多，為研究問題方便，本文基于文獻［8］研究結(jié)果，主要考慮一子級發(fā)動機直徑、全箭長度、α和Ma對修正系數(shù)影響。以χCd為例，將它看做上述4個變量的函數(shù)，采用拉丁超立方設計方法在變量空間選取一定數(shù)目訓練樣本點，通過CFD計算獲取對應條件的χCd值，采用二階多項式擬合出χCd與4個變量的函數(shù)關系:

式中 x［d1，L，α，Ma］、a0、ai和 aij為多項式系數(shù)。

1.4 質(zhì)量學科分析模型

質(zhì)量學科分析模型的任務是，分析計算除發(fā)動機質(zhì)量和有效載荷質(zhì)量以外的其余質(zhì)量，包括尾段質(zhì)量、各級間段質(zhì)量、整流罩質(zhì)量、尾段和級間段內(nèi)單機和儀器設備質(zhì)量、儀器/推進艙質(zhì)量等。為研究問題方便，尾段質(zhì)量、各級間段質(zhì)量、整流罩質(zhì)量采用導出型質(zhì)量方程進行計算，即根據(jù)已有成熟型號中各部分質(zhì)量間的聯(lián)系形式和相對質(zhì)量系數(shù)獲取。尾段和級間段內(nèi)單機和儀器設備質(zhì)量根據(jù)已有成熟型號確定且保持不變。儀器艙內(nèi)控制系統(tǒng)(姿態(tài)敏感器、慣導、計算機等)、遙外測系統(tǒng)等電氣系統(tǒng)質(zhì)量在優(yōu)化過程中保持不變，姿軌控動力系統(tǒng)中高壓氣瓶、管路和其余零部件質(zhì)量取為定值，只考慮液體推進劑質(zhì)量變化引起的儲箱質(zhì)量變化。

儀器/推進艙內(nèi)液體燃料采用球形共體儲箱，即雙組元推進劑共用一個球形殼體，中間靠2層金屬波紋隔膜實現(xiàn)推進劑有效隔離。在已知儲箱材料的前提下，根據(jù)“同一儲箱厚度處處相等且保持不變”原則計算儲箱質(zhì)量。

1.5 彈道學科分析模型

彈道學科分析模型的任務是，根據(jù)其余各分系統(tǒng)設計結(jié)果和設定的飛行程序，完成星箭一體化飛行器自發(fā)射至入軌的全過程飛行仿真，根據(jù)仿真結(jié)果對助推系統(tǒng)性能進行評估，并計算重力和阻力造成的速度損失 Δv1。

彈道學科采用發(fā)射坐標系下三自由度彈道仿真模型，飛行程序設計詳見文獻［9］。

2 多學科協(xié)同優(yōu)化設計框架

給定運載能力要求和目標軌道，固體運載火箭多學科設計優(yōu)化的目標函數(shù)選為起飛質(zhì)量m0最小，各學科相關的設計變量包括:

(1)總體學科:一、二、三子級提供的速度增量與需要的總速度增量比值α、β、γ;

(2)動力學科:各級發(fā)動機外徑di(取整，且根據(jù)我國已有發(fā)動機型號直徑就近取值)，燃燒室工作壓強pci，噴管膨脹比εi，燃燒室圓筒段長度 Lci，翼柱形藥柱翼長 lei、翼頂長 ldi、翼深 hei、翼寬 wei，藥柱通道直徑 dpi(i=1，2，3);末助推液體推進劑質(zhì)量mp4;

(3)氣動學科:整流罩外形控制參數(shù)，外形表示采用非均勻有理B樣條曲線，控制點選取參見文獻［10］;

(4)彈道學科:包括初始發(fā)射方位角A0，飛行程序角控制參數(shù)三級滑行時間 t3h。

固體運載火箭多學科分析流程如圖1所示。

圖1 固體運載火箭多學科分析Fig.1 Multidisciplinary analysis of solid launch vehicle

分析圖1上圖中學科耦合關系，如果將總體、推進、質(zhì)量和氣動學科綜合為運載火箭子模塊，彈道學科保持不變，則圖1上圖可重新表示為下圖形式。于是，可將運載火箭多學科設計優(yōu)化看做運載火箭本身和彈道學科2個大系統(tǒng)耦合的兩學科設計優(yōu)化問題。這種流程轉(zhuǎn)化關系，一方面可得到更為清晰、明確的協(xié)同優(yōu)化設計框架，更重要的是，采用轉(zhuǎn)化后的兩學科設計框架，可大大減輕采用5個學科同時并行設計帶來的下文協(xié)同優(yōu)化框架系統(tǒng)級設計變量規(guī)模過大問題。

設計優(yōu)化的約束條件包括:

(1)長細比約束:L/d1≤C，L為全箭長度，C為常數(shù);

(2)上面級直徑不小于下面級直徑:d1≤d2≤d3;

(3)終端入軌條件約束:|h(tf)－H*|≤ε1，|v(tf)－ v*|≤ε2，|i－ i*|≤ε3，e≤ε4;

(4)飛行過程動壓和過載約束:q≤qmax，nx≤(nx)max，ny≤(ny)max;

(5)大氣層飛行段攻角約束:|α|≤αmax;

(6)一子級關機高度約束:|H1|≥hmin;

(7)起飛推重比約束:|μ0|≥μmin;

(8)各級發(fā)動機燃燒室最大壓強和平均壓強比約束:pmax，i/pc，i≤λmax，i，(i=1，2，3);

(9)整流罩駐點熱流密度約束(一級關機點):qw≤qw，max;

3 含序貫策略的改進協(xié)同優(yōu)化方法

協(xié)同優(yōu)化方法(CO)將原有設計優(yōu)化問題分為兩級，一個系統(tǒng)級和多個并行的學科級，通過將學科級耦合狀態(tài)變量作為系統(tǒng)級設計變量處理，避免了求解非線性耦合方程組問題，但對于學科間耦合變量較多問題，例如上述固體運載火箭多學科設計優(yōu)化問題，這種方式會造成系統(tǒng)級設計變量規(guī)模過大，進而導致優(yōu)化問題求解困難，甚至無法求解。同時，標準CO系統(tǒng)級采用一致性等式約束對學科間不一致進行協(xié)調(diào)，但等式約束嚴格滿足只是一種理想狀態(tài)，實際問題一致性等式約束很難同時滿足，導致系統(tǒng)級進行大量迭代甚至無解。

針對上述問題，本文在保持CO基本架構(gòu)前提下，對耦合過于緊密學科，引入序貫執(zhí)行策略，將輸出狀態(tài)變量較多學科的狀態(tài)變量不再作為系統(tǒng)級設計變量，而是直接傳給需要這些狀態(tài)變量的另一學科，兩學科間不再采用標準CO的并行計算策略，而是采用序貫執(zhí)行策略，其余學科優(yōu)化計算仍采用標準CO并行運行策略。同時，為改善收斂性能，提高求解精度，上述采用序貫策略的協(xié)同優(yōu)化方法，消除系統(tǒng)級一致性等式約束帶來的求解困難，借鑒序列超球子空間思想［11］，采用動態(tài)松弛算法處理系統(tǒng)級等式約束，定義學科間不一致信息:

進而定義動態(tài)松弛變量 s=(λ ×k)2，(0.5≤λ≤1)系統(tǒng)級等式約束轉(zhuǎn)化為不等式約束:

這種方式可有效克服系統(tǒng)級一致性等式約束帶來的求解困難，保證形成的新系統(tǒng)級優(yōu)化問題滿足KKT條件，又兼顧學科間一致性要求，計算量小，程序編制簡單。

基于上述改進策略的CO，固體運載火箭多學科設計優(yōu)化框架如圖2所示。

圖2 固體運載火箭協(xié)同設計優(yōu)化Fig.2 Collaborative optimization of solid launch vehicle

4 設計優(yōu)化結(jié)果與分析

求解上述固體運載火箭多學科設計優(yōu)化問題，系統(tǒng)級和運載火箭子模塊優(yōu)化采用在文獻［9］中提出的控制參數(shù)改進型粒子群優(yōu)化方法，彈道學科優(yōu)化采用基于粒子群和序列二次規(guī)劃方法的組合優(yōu)化方法，優(yōu)化算法參數(shù)設置如下:

(1)運載火箭學科優(yōu)化器:粒子群規(guī)模60，慣性權(quán)重最大值 0.9，最小值 0.1，學習因子最大值 2.5、最小值0.5，函數(shù)拉伸方程中 λ1取 108，λ2設為 0.5，μ 為10－5。

(2)彈道學科優(yōu)化器:粒子群規(guī)模30，慣性權(quán)重0.5，學習因子均取 1.5，交叉概率 0.5，粒子群算法優(yōu)化20代后轉(zhuǎn)為采用序列二次規(guī)劃方法進行優(yōu)化。

(3)系統(tǒng)級優(yōu)化器:粒子群規(guī)模20，慣性權(quán)重最大值0.9，最小值0.2，學習因子最大值 2.5，最小值 0.5，函數(shù)拉伸方程中 λ1取 108，λ2設為 0.5，μ 為 10－5，ε1取為 0.5，ε2取為0.1。

約束條件設為:

(1)L/d1≤14.0;

(2)|h(tf)－ 300 000|≤3 000 m;e≤10－3;|i－96.67°|≤0.015°，|v(tf)－7 725.84|≤2 m/s;

(3)q≤0.007 5 MPa，nx≤16g，ny≤0.1g;

(4)|α|≤3.5°;

(5)|H1|≥20 000 m;

(6)|μ0|≥1.35;

(7)pmax，i/pc，i≤1.2(i=1，2，3);

(8)qw≤50 000 W/m2。

系統(tǒng)級經(jīng)過4次迭代達到收斂，設計變量取值范圍及優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 設計優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization design results

入軌質(zhì)量取定為基線方案值，優(yōu)化方案起飛質(zhì)量(33 498 kg)比基線方案(36 060 kg)減小7.1%，各項約束得到良好滿足，表明多學科協(xié)同設計優(yōu)化可有效綜合挖掘各學科設計潛力，大大提高固體運載火箭設計水平。采用本文提出算法，只需在優(yōu)化設計開始時，設置合理的設計變量區(qū)間，設計經(jīng)驗和設計知識較少時，可指定相對較大的變量區(qū)間，同時采用較大的粒子群規(guī)模，大大降低了設計難度。優(yōu)化過程中，系統(tǒng)級每個粒子向子系統(tǒng)級傳遞的目標設計變量值，子系統(tǒng)級總能通過設計優(yōu)化獲得可行解，并將結(jié)果返回系統(tǒng)級，無需人為介入，表明優(yōu)化算法具有較高的智能化和自動化設計水平。

優(yōu)化過程系統(tǒng)級群體粒子分布變化過程如圖3所示，圖中圓圈內(nèi)的解表示最優(yōu)解。由圖3可看出，隨著迭代進行，粒子開始聚集，群體最優(yōu)解值得到改進。需要注意的是，優(yōu)化第2代、第3代、第4代群體最優(yōu)值相同。優(yōu)化方案發(fā)動機推力-時間曲線如圖4所示，優(yōu)化方案得到的固體發(fā)動機推力-時間曲線具有遞增特性。

圖3 優(yōu)化過程粒子分布變化Fig.3 Change of particle swarm position during optimization process

圖4 優(yōu)化方案發(fā)動機推力-時間曲線Fig.4 Change of thrust vs time for optimal scheme

5 結(jié)論

(1)建立了固體運載火箭多學科設計優(yōu)化相關學科分析模型;構(gòu)建了多學科協(xié)同設計優(yōu)化框架。

(2)開展了協(xié)同優(yōu)化方法(CO)改進研究。針對固體運載火箭多學科設計優(yōu)化中存在的學科間強耦合問題，提出了含序貫策略改進CO，強耦合學科間采取序貫執(zhí)行策略，解決了耦合變量過多帶來的系統(tǒng)級設計變量規(guī)模過大問題，采用動態(tài)松弛策略處理系統(tǒng)級約束條件，消除了嚴格等式約束帶來求解困難的問題。

(3)采用提出的含序貫策略的CO解決了固體運載火箭多學科設計優(yōu)化問題，實現(xiàn)了固體運載火箭方案設計的智能化和自動化，提高了設計水平，降低了設計難度。

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