葉繼坤，雷虎民，薛東風(fēng)，李 炯，邵 雷

(1.空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院，三原 713800;2.空軍工程大學(xué)理學(xué)院，西安 710051)

0 引言

隨著非線性微分幾何理論的發(fā)展［1］，尤其是Frenet坐標(biāo)系的引入，基于弧長系的微分幾何理論成為制導(dǎo)領(lǐng)域研究熱點。文獻(xiàn)［2－4］基于Frenet坐標(biāo)系和虛擬導(dǎo)彈速度分別給出了弧長系下二維平面的微分幾何制導(dǎo)曲率指令，相對于比例導(dǎo)引，微分幾何制導(dǎo)律克服了比例導(dǎo)引［5－7］末端視線角速率發(fā)散的問題，末端過載變化平穩(wěn)，但由于制導(dǎo)指令的獲得是基于Frenet坐標(biāo)，實際應(yīng)用時需要將弧長域中得出的制導(dǎo)指令轉(zhuǎn)換到時域中，不便于在現(xiàn)實攔截場景中應(yīng)用。文獻(xiàn)［8－10］利用微分幾何理論得到系統(tǒng)模型，根據(jù)跟蹤角度建立微分幾何導(dǎo)引系統(tǒng)，并引入牛頓迭代算法對系統(tǒng)進(jìn)行分析，最終得到了基于微分幾何的廣義比例導(dǎo)引，但該方法需要已知目標(biāo)加速度及其方位的確切信息，在攔截機(jī)動目標(biāo)時，這一要求不易達(dá)到。文獻(xiàn)［11］提出一種新穎的基于目標(biāo)運動軌跡漸開線的新的微分幾何算法，該算法僅需要知道目標(biāo)的軌跡信息，利用虛擬目標(biāo)概念來決定導(dǎo)彈的軌跡漸開線，并以此跟蹤目標(biāo)的軌跡漸開線，從而實現(xiàn)攔截，但該制導(dǎo)律形式復(fù)雜，現(xiàn)實中目標(biāo)軌跡漸開線求取也是一大難點。文獻(xiàn)［12－13］基于Frenet坐標(biāo)系將微分幾何理論與李亞普諾夫穩(wěn)定定理結(jié)合得到一種修正的魯棒幾何制導(dǎo)算法，該方法克服了傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律末段過載飽和缺陷，對機(jī)動目標(biāo)攔截有較好的魯棒性，但該制導(dǎo)律的形式過于復(fù)雜，需要信息量較大，在工程應(yīng)用中受到限制。

為克服以往文獻(xiàn)微分幾何制導(dǎo)律推導(dǎo)過程的復(fù)雜性和實際應(yīng)用的受限性，本文將針對有效打擊機(jī)動目標(biāo)，設(shè)計導(dǎo)彈制導(dǎo)律。首先根據(jù)導(dǎo)彈、目標(biāo)位置及兩者速度方向構(gòu)成的空間攔截三角形，分析飛行器運動軌跡的切向量與彈道弧長的關(guān)系，基于零化導(dǎo)彈彈道曲率變化率的思想設(shè)計一種微分幾何制導(dǎo)律，并給出制導(dǎo)指令的迭代算法;其次結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性定理對微分幾何制導(dǎo)律的穩(wěn)定性進(jìn)行證明推導(dǎo);最后通過仿真驗證分析所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性。

1 彈目相對運動幾何分析及制導(dǎo)律設(shè)計

彈目攔截的場景如圖1所示。其中，M點代表導(dǎo)彈;T點表示目標(biāo);tt、nt分別表示目標(biāo)運動的單位切向量和單位法向量;θt表示目標(biāo)切向量與X軸的夾角;θts表示目標(biāo)切向量與彈目視線的夾角;tm、nm表示導(dǎo)彈的單位切向量和法向量;θm表示導(dǎo)彈切向量與水平X的夾角;θms表示導(dǎo)彈切向量與彈目視線的夾角;ts、ns表示沿彈目視線的單位切向量和單位法向量;st、sm分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈運動的弧長量。將導(dǎo)彈運動的單位曲線弧長s作為自然參數(shù)，為方便分析，將圖1中關(guān)系用圖2表示。

圖1 彈目幾何關(guān)系示意圖Fig.1 Geometry diagram of missile and target

導(dǎo)彈在運動的過程中，tm、nm構(gòu)成導(dǎo)彈運動的Frenet標(biāo)架，假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度為定值，導(dǎo)彈運動的曲線弧長sm與目標(biāo)運動的曲線弧長st成一定的比例關(guān)系，即

式中 γ表示導(dǎo)彈與目標(biāo)速度比。

根據(jù)圖1中幾何關(guān)系可知:

其中，弧長向量tLt可由基向量tt旋轉(zhuǎn)θtα/2得到，即

其中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，其具體表達(dá)式如下:

圖2 彈目攔截幾何關(guān)系圖Fig.2 Geometry diagram of missile intercepting target

目標(biāo)運動曲線弧長可表示為

式中 rt、θtα分別表示弧長st對應(yīng)的曲率半徑和目標(biāo)單位切向量旋轉(zhuǎn)角。

弧長Lt可表示為

當(dāng)目標(biāo)曲率趨近于零時滿足式(9):

根據(jù)式(6)可知，弧長向量tLt的長度Lt是角度θtα的函數(shù)，當(dāng)導(dǎo)彈M和目標(biāo)T接近攔截點I的過程中，θtα接近于零，當(dāng)目標(biāo)的曲率接近零時可知:

根據(jù)圖2中幾何關(guān)系可得

在△TIM中，應(yīng)用三角形幾何知識有式(12)成立:

將式(12)變形可表示為式(13):

考慮到 γ ＞0，r＞0，st＞0，則，方程(13)的解如下:

其中，弧長st和θtα的關(guān)系可表示為

即

由式(16)可知，(r/st)是 θtα的函數(shù)，因此不能從式(4)得到精確解。將(r/st)取最大值，可由式(16)計算出θtα，以此來計算α。因此，通過式(17)迭代可計算出(r/st)的值:

將式(17)代入式(18)可求得導(dǎo)彈速度切向量表達(dá)式:

式(18)表明了導(dǎo)彈的飛行方向與目標(biāo)速度運動方向和彈目視線方向的關(guān)系，根據(jù)式(17)、式(18)迭代計算可求出導(dǎo)彈每個時刻的速度切向量。由式(18)可保證每個時刻導(dǎo)彈的速度方向都調(diào)整指向攔截點I，隨著彈目距離的接近，即r→0，導(dǎo)彈切向量的變化率趨于零值，從而使導(dǎo)彈的彈道軌跡曲率變化率趨近于零。

2 制導(dǎo)律穩(wěn)定性證明

根據(jù)式(18)得到的方向可使導(dǎo)彈零化曲率變化率攔截目標(biāo)，其表達(dá)式中向量關(guān)系可表示為圖3。

圖3 彈目切向量間關(guān)系圖Fig.3 Geometry diagram of missile and target tangential relation

圖3中，tm為導(dǎo)彈速度實際的向量為設(shè)計的導(dǎo)彈速度向量。OAC1表示當(dāng)前時刻的攔截三角，OAC2表示根據(jù)設(shè)計的制導(dǎo)律，導(dǎo)彈與目標(biāo)速度向量構(gòu)成的攔截三角，在圖3中導(dǎo)彈彈道傾角速度方向由C1向C2方向進(jìn)行調(diào)整，以滿足設(shè)計速度切向量變化的要求。

為驗證該制導(dǎo)律的穩(wěn)定性，取Lyapunov函數(shù)如式(19):

其中，θδ是導(dǎo)彈速度的切向量tm與制導(dǎo)律設(shè)計的理想速度切向量之間的夾角，即

式(22)中第一項可從下式進(jìn)行求取:

微分式(23)可得

目標(biāo)運動弧長對應(yīng)的中心角度變化率可表示為式(25):

其中:

根據(jù)圖1和圖3中的角度關(guān)系可知:

將式(27)變形可得

將式(28)代入式(24)可得

因此，如果(r/st)已知，將其代入式(23)中，可根據(jù)式(30)求得(r/st)和 θtα的變化率:

其中:

式(30)變形可表示為

式(22)中，最后一項可表示為

因此，制導(dǎo)律曲率可設(shè)計為

此時 K ＞0，結(jié)合式(21)、式(30)、式(33)，能夠使得，滿足Lyapunov穩(wěn)定定理，從而可保證設(shè)計制導(dǎo)律的穩(wěn)定性。

3 仿真結(jié)果及分析

為驗證所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性，以某地空彈為仿真對象展開實驗，將微分幾何制導(dǎo)律(GN)、比例導(dǎo)引［6］(PN)和比例導(dǎo)引導(dǎo)彈制導(dǎo)控制一體化方法［14］(GC)進(jìn)行仿真對比?？紤]到實際自動駕駛儀存在延遲環(huán)節(jié)［14－15］，為與文獻(xiàn)［14］參數(shù)保持一致采用一階自駕模型，時間常數(shù) τ=0.1 s。

設(shè)定導(dǎo)彈的初始位置為(0 m，0 m)，目標(biāo)的初始位置為(0 m，10 000 m)，導(dǎo)彈初始速度為1 000 m/s，目標(biāo)初始速度為400 m/s。導(dǎo)彈的初始彈道傾角為θm=95°，最大可用過載為25gn，目標(biāo)的彈道傾角為θt=135°，目標(biāo)機(jī)動的曲率 kt=0.000 645，其中 K=1，導(dǎo)彈采用GN、PN和GC分別進(jìn)行仿真，比例導(dǎo)引系數(shù)取為3，結(jié)果如表1及圖4～圖7所示。

表1 攔截性能比較Table 1 Comparision of intercept proporties

圖4 導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)曲線圖Fig.4 Simulation curve of missile attacking target

由表1可看出，面對大機(jī)動目標(biāo)時，微分幾何制導(dǎo)律的性能優(yōu)于傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法和制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法。由圖4彈目攔截曲線可看出，在相同的初始條件下，相對于PN制導(dǎo)和GC一體化設(shè)計，微分幾何制導(dǎo)律的彈道曲率較小，彈道弧長較短，縮短了攔截時間，能更早地對目標(biāo)實施攔截。由圖5和圖6可知，對機(jī)動目標(biāo)的攔截過程中，PN制導(dǎo)和GC一體化設(shè)計方法在命中點附近過載達(dá)到最大值，出現(xiàn)過載的激增現(xiàn)象，大大影響攔截性能，這主要是由于末端視線角速率發(fā)散引起的，而采用GN制導(dǎo)時，在初始攔截階段，導(dǎo)彈過載調(diào)整較大，積極補償目標(biāo)機(jī)動對視線角速率帶來的影響，隨著攔截的進(jìn)行，導(dǎo)彈過載變化平穩(wěn)，末端視線角速率趨于零值，在命中點附近過載明顯小于PN和GC一體化設(shè)計方法，這就避免了攔截末端出現(xiàn)過載激增現(xiàn)象。由圖7彈道曲率隨時間的變化曲線可知，相對于PN和GC一體化設(shè)計方法，GN制導(dǎo)彈道曲率幅值變化較小，末端曲率趨于常值，主要是因為導(dǎo)彈在飛行過程中，GN制導(dǎo)力求使空中的攔截三角幾何形狀保持不變，這使得視線角速率趨于零值變化，因此導(dǎo)彈末端視線角速率變化趨于平穩(wěn)。

圖5 導(dǎo)彈加速度隨時間變化曲線Fig.5 Time history of missile acceleration

圖6 視線角速率隨時間變化曲線Fig.6 Time history of sight line rate

圖7 導(dǎo)彈曲率隨時間變化曲線Fig.7 Time history of missile curvature

4 結(jié)束語

(1)相對于比例導(dǎo)引和制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法，本文設(shè)計的微分幾何制導(dǎo)律表現(xiàn)出良好的制導(dǎo)性能，其彈道曲率變化小、制導(dǎo)精度高、攔截時間短，克服了由于視線角速率發(fā)散導(dǎo)致的過載快速增大現(xiàn)象。

(2)本文制導(dǎo)律的研究基于導(dǎo)彈速度大于目標(biāo)速度，且制導(dǎo)律中含有目標(biāo)曲率項，當(dāng)考慮現(xiàn)實防空反導(dǎo)中導(dǎo)彈速度小于目標(biāo)速度，目標(biāo)信息獲取不精確等因素時，基于零化曲率和撓率變化率的思想，設(shè)計攔截高速高機(jī)動目標(biāo)的三維制導(dǎo)律，是下一步研究的重點。

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