王 麗,王蘇生,劉 艷,李志超

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院,廣東 深圳 518055)

一、引 言

期貨價格的期限結(jié)構(gòu)是指在某一時點,不同期限的期貨價格與現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系.[1]由于期限結(jié)構(gòu)的研究可以為投資決策和套期保值提供依據(jù),因此引起學(xué)界的廣泛關(guān)注.學(xué)者們從多個角度構(gòu)建了不同的期貨價格的期限模型,從最簡單的單因素模型到復(fù)雜的三因素模型.

由于現(xiàn)貨價格是期貨價格的主要決定因素,大多數(shù)單因素模型選取現(xiàn)貨價格為狀態(tài)變量.Brennan和Schwartz[2]的單因素模型假設(shè)現(xiàn)貨價格服從幾何布朗運動,即dS=μSdt+σSdZ.但實證研究表明單因素模型的擬合能力較差.[3-4]為了更精確地描述商品價格的期限結(jié)構(gòu),有學(xué)者建立了二因素的期限結(jié)構(gòu)模型.基于 Gibson和 Schwartz[5]的研究,Schwartz[3]以現(xiàn)貨價格 S和便利收益δ為狀態(tài)變量建立了二因素模型,假設(shè)便利收益δ服從均值回復(fù)過程,并作為隨機(jī)紅利影響現(xiàn)貨價格的變動,使得現(xiàn)貨價格具有均值回復(fù)的趨勢,即dS=(μ-δ) dt+σSdZS,dδ=κ(α-δ)dt+σδdZδ.該模型在期貨價格期限結(jié)構(gòu)模型中影響力最廣,很多更復(fù)雜的模型都是在該模型基礎(chǔ)上改進(jìn)提出的.[6-9]

早期關(guān)于商品價格期限結(jié)構(gòu)研究中,都假設(shè)利率為常數(shù),但這種假設(shè)不符合實際情況.[1]Schwartz[3]開創(chuàng)性地以現(xiàn)貨價格、便利收益和利率為狀態(tài)變量,提出了三因素模型,即 dS=(r-δ)dt+σSdZS,dδ=κδ(α-δ)dt+σδdZδ,dr=κr(m-r) dt+σrdZr.在該模型基礎(chǔ)上,Casassus和 Collin-Dufresne[10]構(gòu)建了三因素的仿射期限結(jié)構(gòu)模型.實證結(jié)果表明,現(xiàn)貨價格和便利收益的變化量為高度正相關(guān).有學(xué)者提出質(zhì)疑,假設(shè)兩個高度相關(guān)的變量為隨機(jī)變量是不合適的,模型不能解釋每個狀態(tài)變量的獨自變化.[1]能否以不相關(guān)的狀態(tài)變量建立期限結(jié)構(gòu)模型呢?在這一背景下,Schwartz和Smith[4]建立了狀態(tài)變量"正交"的二因素模型.該模型假設(shè)現(xiàn)貨價格的對數(shù)lnSt可以分解為兩個狀態(tài)變量的和,即lnSt=χt+ξt.其中,短期偏離變量χt服從均值為零的均值回復(fù)過程,即dχt=-κ χtdt+σχdZχ,長期均衡變量ξt服從布朗運動,即 dξt=μdt+σξdZξ.Bernard等[11]實證結(jié)果表明,Schwartz和Smith模型對金屬期貨價格的擬合和預(yù)測能力較好.

鑒于目前國內(nèi)尚無期貨價格期限結(jié)構(gòu)的實證研究,本文以2000-2008年的期銅價格面板數(shù)據(jù)為樣本,考察中國期貨價格的期限結(jié)構(gòu).在Schwartz和Smith[4]模型基礎(chǔ)上,結(jié)合期貨價格期限結(jié)構(gòu)的實際情況,假設(shè)短期偏離變量和長期均衡變量服從均值回復(fù)過程,提出一個二因素的期貨價格期限結(jié)構(gòu)模型,以期對中國的期貨價格進(jìn)行較為準(zhǔn)確的定價和預(yù)測.

二、期貨價格期限結(jié)構(gòu)模型

1.研究樣本

按照《上海期貨交易所結(jié)算細(xì)則》規(guī)定,期貨合約均以當(dāng)日結(jié)算價作為計算當(dāng)日盈虧的依據(jù),因此選取上海期貨交易所(SHFE)期銅日結(jié)算價為研究樣本.觀測樣本區(qū)間為2000年1月4日至2008年12月31日,共有2176個樣本點.預(yù)測樣本區(qū)間為2009年1月4日至2009年5月30日,共有96個樣本點.考慮到數(shù)據(jù)的可獲得性,兼顧交易價格的連續(xù)性,構(gòu)造7個連續(xù)的期貨合約,分別稱之為 F1、F2、F3、F4、F5、F6和 F7,其中 F1是距離到期日最近的期貨合約,F2是距離到期日第二近的期貨合約,以此類推.其中,期銅日結(jié)算價的面板數(shù)據(jù)來自Wind數(shù)據(jù)庫.2000-2008年的期貨價格描述性統(tǒng)計結(jié)果如表1所示.

表1 描述性統(tǒng)計結(jié)果

均值統(tǒng)計量顯示,近月合約價格大于遠(yuǎn)月合約價格,因此中國期銅的期限結(jié)構(gòu)是現(xiàn)貨升水(現(xiàn)貨價格大于期貨價格);JB統(tǒng)計量顯示,期貨價格時間序列不服從正態(tài)分布;標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計量顯示,價格波動率隨著到期期限增加而減少.

Bessembinder等[12]認(rèn)為期貨價格波動率是到期時間的減函數(shù)表明期貨價格存在均值回復(fù).Dai和Singleton[13]指出,均值回復(fù)速度κ在利率期限結(jié)構(gòu)模型中具有重要的作用,隨著到期期限 T的增加,κ的影響作用趨于零,而且κ越大衰變越快,所以較大的κ表示影響時間較短的因素的均值回復(fù)速度.因為期貨價格期限結(jié)構(gòu)與利率期限結(jié)構(gòu)類似,Dai和Singleton的觀點同樣適用于期貨價格期限結(jié)構(gòu)模型.在均值回復(fù)情況下,當(dāng)?shù)狡谄谙掭^短時,多種因素共同影響期貨價格;當(dāng)?shù)狡谄谙掭^長時,只有長期因素影響價格.隨著到期期限增加,引起期貨價格改變的因素變少,故期貨價格波動率是到期期限的減函數(shù).基于上述理論分析,本文假設(shè)影響期貨價格變動的因素服從均值回復(fù)過程,但Schwartz和Smith[4]假設(shè)長期均衡變量服從布朗過程.本文第四部分將采用多種誤差統(tǒng)計量,實證說明本文提出的模型比Schwartz和Smith模型能更準(zhǔn)確地描述期貨價格的期限結(jié)構(gòu).

2.期貨價格期限結(jié)構(gòu)模型

設(shè)現(xiàn)貨價格的對數(shù)可以分解成短期偏離和長期均衡兩部分

式中:St表示現(xiàn)貨價格;x1t表示價格的短期偏離; x2t表示長期均衡價格.假設(shè)短期偏離變量服從均值為零的均值回復(fù)過程,長期均衡變量服從均值為常數(shù)的均值回復(fù)過程

式中:κ1表示短期偏離的均值回復(fù)速度;σ1表示短期偏離的波動率;dZ1表示短期偏離的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的增量;κ2表示長期均衡的均值回復(fù)速度;θ表示回復(fù)的均值;σ2表示長期均衡的波動率;dZ2表示長期均衡的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的增量,且dZ1dZ2=ρ12dt.

短期偏離變量的改變量反映短期因素如天氣變化和供應(yīng)中斷等引起的價格變化.這些因素不會長期存在,因此假設(shè)該變量服從均值為零的回復(fù)過程.長期均衡變量改變量反映通貨膨脹、政治和規(guī)章制度等長期因素的影響引起的價格變化.這些因素長期存在,導(dǎo)致價格維持在某一水平,因此假設(shè)該變量服從均值為常數(shù)的均值回復(fù)過程.雖然這兩個狀態(tài)變量不能直接觀測,但較長到期時間的期貨合約價格提供均衡變量的信息,短期與長期期貨合約的價格差提供短期偏離的信息.

期貨價格等于到期時風(fēng)險中性測度下的現(xiàn)貨價格期望[3],即 F(0,T)= E*(ST),因此為求出正確的期貨價格表達(dá)式,在式(2)中加入風(fēng)險溢價因子

式中:λ1表示短期風(fēng)險溢價因子;dZ表示風(fēng)險中性測度下的短期偏離變量的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的增量; λ2表示長期風(fēng)險溢價因子;dZ表示風(fēng)險中性測度下的長期均衡變量的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的增量,且=ρdt.12

若給定狀態(tài)變量初值 x10和 x20,可得狀態(tài)變量的期望和協(xié)方差矩陣

則根據(jù)式(1),得到lnSt的期望和方差

由正態(tài)分布的特性可得

將式(6)、(7)帶入式(8),得到期貨價格模型

其中:

則在時刻t,到期時間為 T的期貨合約F(t,T)的價格模型為

三、研究方法和實證分析

1.卡爾曼濾波

卡爾曼濾波由一系列遞歸數(shù)學(xué)公式描述,其中量測方程描述可觀測的期貨價格與不可觀測的狀態(tài)變量之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)移方程描述狀態(tài)變量的更新過程.卡爾曼濾波的功能強大,通過可觀測數(shù)據(jù)它不僅可以估計模型隱含的狀態(tài)變量,還可以結(jié)合極大似然法求得模型的未知參數(shù).[3]

根據(jù)式(10),模型的量測方程為

式中:yt=[lnF(Ti)]是時刻t,到期時間為 Ti的期貨價格對數(shù)的 HX1向量(i=1,2,…,H);Mt= [exp(-κ1Ti)exp(-κ2Ti)]是 HX2向量;dt= [A(Ti)]是 HX1向量;vt是序列不相關(guān)的HX1向量,且E[vt]=0,cov[vt]=Vt.

根據(jù)式(2),模型的轉(zhuǎn)移方程為

2.參數(shù)估計

選取具有代表性的3個期貨合約:到期時間最短的F1,到期時間最長的F7和到期時間居中的F4,采用Eviews 5.0統(tǒng)計軟件對 F1、F4和 F7進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,運用卡爾曼濾波和極大似然法,即可求得模型的未知參數(shù)和隱含狀態(tài)變量值.[14]參數(shù)估計結(jié)果如表2所示.

表2 參數(shù)估計結(jié)果

從表2可以看出,短期和長期均值回復(fù)參數(shù)κ1和κ2都顯著不為零,說明短期和長期偏離變量服從均值回復(fù)過程.短期和長期風(fēng)險溢價因子λ1和λ2在1%水平下不顯著,這一結(jié)果和文獻(xiàn)[3]、[4]結(jié)果一致.因為均值回復(fù)速度κ越大衰變越快,影響價格變動的持續(xù)時間越短,因此本文的短期偏離的均值回復(fù)速度κ1大于長期均衡的均值回復(fù)速度κ2,符合最初模型假設(shè).由于中國期銅市場的期貨合約到期期限都不超過1年,因此中國期銅的價格同時受短期因素和長期因素的制約.狀態(tài)變量增量的協(xié)方差表明短期與長期增量負(fù)相關(guān).

四、模型能力比較

1.模型能力評價標(biāo)準(zhǔn)

在求得模型參數(shù)和狀態(tài)變量后,利用式(10)即可求得擬合的期貨價格對數(shù)值,擬合值與真實值的差即為模型的擬合誤差.采用平均絕對誤差(MAE)和誤差均方根(RMSE)統(tǒng)計量,評價模型的擬合和預(yù)測能力.

2.模型擬合能力比較

擬合誤差統(tǒng)計量如表3所示.從表3可以看出, Schwartz和Smith[4]的模型(簡稱模型1)的MAE和RMSE值大于本文提出的二因素模型(簡稱模型2)的MAE和RMSE值,說明模型2的擬合能力優(yōu)于模型1.雖然模型的參數(shù)和狀態(tài)變量是用 F1、F4和 F7這3個期貨合約數(shù)據(jù)得到的,但是模型對觀測期內(nèi)的其他期貨合約(F2、F3等)的擬合能力也較好,說明 F1、F4和 F7這3個期貨合約具有代表性,可較好地估計模型參數(shù).

表3 擬合誤差統(tǒng)計量

3.模型預(yù)測能力比較

以上是評價模型對觀測樣本數(shù)據(jù)的擬合能力,下面考察模型對觀測期外樣本的預(yù)測能力,采用遞歸方式不斷更新模型的參數(shù)值,以提高模型的預(yù)測精度.[11]

預(yù)測誤差統(tǒng)計量如表4所示.MAE和RMSE的比較結(jié)果顯示,模型2的預(yù)測誤差小于模型1,這說明模型2的預(yù)測能力優(yōu)于模型1.

表4 預(yù)測誤差統(tǒng)計量

五、結(jié) 語

本文以短期偏離和長期均衡為狀態(tài)變量,構(gòu)建一個期貨價格期限結(jié)構(gòu)的二因素模型,以2000-2008年的期銅價格面板數(shù)據(jù)為研究樣本,研究中國期銅價格的期限結(jié)構(gòu),并運用卡爾曼濾波和極大似然法進(jìn)行實證分析.研究結(jié)果表明,中國期銅價格受短期和長期因素的共同作用,到期期限越短,受短期因素影響越大,波動率越大.與 Schwartz和Smith[4]的模型相比,本文提出的模型總體上更好地刻畫了中國期銅價格的行為特征,具有更好的擬合與預(yù)測能力.同時,本研究對期貨投資決策和套期保值具有一定的指導(dǎo)意義.

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