楊秀德，吳 波，2

（1.遵義師范學(xué)院物理系，貴州遵義563002；2.西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶410075）

Thomas-Fermi方程的特征分析與數(shù)值求解

楊秀德1，吳 波1，2

（1.遵義師范學(xué)院物理系，貴州遵義563002；2.西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶410075）

Thomas-Fermi方程在處理核——電近似模型中占有非常重要的地位，但就方程而言，方程是非線性的，精確求解非常困難。作者通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例導(dǎo)出方程，分析了方程的具體特征,提出了一種方程有效的數(shù)值求解方法。

Thomas-Fermi方程；非線性微分方程；阿貝爾方程

在過(guò)去的幾十年中，隨著量子力學(xué)的建立，將量子力學(xué)應(yīng)用到各領(lǐng)域成為關(guān)鍵問(wèn)題，尤其在微觀世界的認(rèn)識(shí)方面更是熱點(diǎn)。在處理微觀原子世界的過(guò)程中，核——電構(gòu)成的原子模型是大家關(guān)注的問(wèn)題，除了少數(shù)簡(jiǎn)單體系可以精確求解以外，更多需要提出近似模型來(lái)處理多電子體系的微觀世界。這其中一個(gè)成功的例子就是Thomas-Fermi—Dirac模型，雖然這個(gè)模型還很粗糙[1],但是在處理原子內(nèi)部相關(guān)作用等問(wèn)題上仍有許多值得利用的地方[2]。另外對(duì)此模型的討論涉及到一個(gè)非線性微分方程——Thomas—Fermi方程，精確求解這個(gè)方程是非常困難的，因此許多人利用不同的方式進(jìn)行近似求解[3，4]。本文從一個(gè)簡(jiǎn)單模型出發(fā)導(dǎo)出這個(gè)方程，分析了方程的特征和利用MATLAB系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解，供大家參考。

1 模型的建立

在二體散射理論中，發(fā)生“碰撞”的兩個(gè)粒子之間存在著相互作用勢(shì)，如圖1所示。若設(shè)這樣的相互作用勢(shì)為，引入折合質(zhì)量μ=m1m2/（m1+m2）、相對(duì)位矢為相對(duì)速度為，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可以寫出約化單體運(yùn)動(dòng)方程：

建立極坐標(biāo)，根據(jù)能量守恒和角動(dòng)量守恒定律，分析得出：

其中，Ec為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動(dòng)能，P稱碰撞參數(shù)。若采用庫(kù)侖勢(shì)（這里討論斥力情況）來(lái)描述它們之間的相互作用，根據(jù)（1）式則有：

其中Z1、Z2、Ec均為已知。由于P是隨機(jī)變化的，（2）式難于求解，但可以用近似理論去分析。若核外電子視為有一定密度的電子氣，考慮核外電子云對(duì)裸庫(kù)侖勢(shì)的屏蔽作用，用一種建立在量子統(tǒng)計(jì)方法之上的Thomas-Fermi（TF）方法進(jìn)行描述，最終可以得到Thomas-Fermi方程

其中x=r/aTF，aTF為屏蔽長(zhǎng)度，Φ(x)滿足Φ(x)，且滿足以下定解條件：

2 方程的特征分析

由于方程是非線性的，求解較為復(fù)雜，一般都使用近似求解。而且在方程求解過(guò)程中，首先要分析方程的具體特征，從而選擇合適的求解方法。

2.1 解的存在性和唯一性

Thomas-fermi方程解的存在性和唯一性可以通過(guò)卡拉西奧多里定理和馬莫布里安尼定理[5]給出，可以證明方程（3）存在唯一的滿足上述（4）式的三個(gè)定解條件的解。具體證明不在此贅述。

2.2 尺度變換不變性

對(duì)Thomas-fermi方程，可以作變量代換，令ξ= λx,z=λαΦ(x)：，若選擇合適的α值為-3，則有：

很明顯，（6）式若作代換：ξ=λx，結(jié)果使得方程保持形式不變，說(shuō)明方程為一種等尺度方程[6]。可以作變量代換：x=et，將（6）式變換為：

上式為常系數(shù)二階微分方程，由于非線性項(xiàng)z3/2的存在，求這個(gè)方程的解析解也是相當(dāng)困難的。

2.3 與阿貝耳方程的關(guān)系

對(duì)于（8）式，作分式變換：

3 方程的計(jì)算機(jī)數(shù)值求解

這里，考慮到該方程與阿貝爾方程的變換關(guān)系，因此可以先求解阿貝爾方程，通過(guò)變量代換來(lái)達(dá)到最終求解Thomas-fermi方程的目的。但是考慮到方程的復(fù)雜性，可以采用數(shù)值求解。下面是利用Matalab進(jìn)行數(shù)值求解的步驟和相應(yīng)程序：

（1）差分法求解方程（10）；

（2）將求解的u（ξ）代回（9）式，便可以求得（8）式的解；

（3）再將（8）的解通過(guò)條件Φ=x-3ξ,x=exp（∫η(ξ) dξ）變換，將最終得到Thomas-Fermi方程（3）式的解。畫出解的圖形，如圖2所示，即為本文得到的Thomas-Fermi方程的解。

以下為上述幾步求解的Matlab程序：

%設(shè)置變量，定義初值

%差分法求解阿貝爾方程

%數(shù)值積分，代換變量

4 結(jié)論

Thomas-Fermi方程是一種非線性微分方程，在處理原子內(nèi)部相關(guān)作用勢(shì)方面有很多應(yīng)用。本文從一個(gè)具體實(shí)例導(dǎo)出方程，給出了方程解的存在性和唯一性、等尺度特征以及與阿貝爾方程的關(guān)系等特征，最后利用MATLAB計(jì)算機(jī)數(shù)值求解，得到方程的近似解。當(dāng)然，非線性方程的數(shù)值求解方式很多，本文方法僅供大家參考。

[1]R.N.Kesarwani.Improved variational solution of the Thomas-Fermi equation foe atoms[J].Physics Review A，1981，23(3)：991-998.

[2]Francisco M.Fernandez and J.F.Ogilvie.Approximate solutions to the Thomas-Fermi equation[J].Physics Review A，1990，42 (1)：149-154.

[3]高雁鳴.引力Thomas-Fermi方程的數(shù)值解[J].新疆工學(xué)院學(xué)報(bào),1999,20(2)：96-99.

[4]V.Bush and S.H.Caldwell.Thomas-Fermi equation solution by the differential analyzer[J].Physics Review，1931，38：1898-1902.

[5]E.卡姆克.常微分方程手冊(cè)[M].北京：科學(xué)出版社，1986.45-46，321.

[6]劉式適，劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000.21-22.

[7]E.卡姆克.常微分方程手冊(cè) [M].北京：科學(xué)出版社，1986.688-689.

[8]周大勇.基于Mathematica的特殊阿貝爾的可積性及其判定[J].大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào).2005，26(2)：6-9.

（責(zé)任編輯：朱 彬）

Characteristic Analysis and Solutions to the Thomas-Fermi Equation

YANG Xiu-De1,WU Bo1,2
(1.Department of Physics,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China;2.School of Physical Science and Technology, Southwest University,Chongqing 410075,China)

The Thomas-Fermi equation holds sway over nucleus-electron approximate models.But as to the equation,it is a nonlinear differential equation,so it is of difficulty to procure the exact solution.In this text we infer an equation from a simple example,analyze characteristics of equation,and put forward a valid numerical method at last.

Thomas-Fermi equation;Nonlinear differential equation;Abel equation

O232

A

1009-3583（2010）-03-0073-02

2010-03-12

遵義師范學(xué)院資金資助項(xiàng)目（基07013）；貴州省教育廳資金資助項(xiàng)目（2007B003）

楊秀德，男，貴州銅仁人，遵義師范學(xué)院物理系講師，碩士，主要研究方向：計(jì)算物理和計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。