王志遠

（南京大學 現代邏輯與邏輯應用研究所，江蘇 南京 210093）

分布式偏好及其在選擇中的作用

王志遠

（南京大學 現代邏輯與邏輯應用研究所，江蘇 南京 210093）

在經典選擇理論中無論是接受偏好關系的傳遞性，還是準傳遞性，都會導致偏好關系的循環(huán)，致使連最基本的選擇都無法做出，或出現選擇理論與選擇實踐相反矛盾的情景。分布式偏好是基于傳統偏好關系傳遞性基礎上提出的一種偏好關系，給出了分布式偏好的定義、相關定理以及選擇條件，對于經典理論中因偏好關系傳遞性問題引起選擇困難的解決提供了一種新思路，解釋了個人在選擇中出現偏好反轉現象依舊能夠做出選擇的問題。

社會選擇；行動主體；認知世界；偏好；模糊偏好；分布式偏好

一、引言

選擇依賴于偏好可以說選擇的本質就是偏好。偏好被廣泛地認為是一種排序，它是建立在行動主體所選規(guī)則以及相關背景（包括行動主體的認知狀態(tài)、情感、傾向、意愿等）的基礎上的，分為清晰的與模糊的。無論偏好模糊與否，可以根據截集定理使之清晰化，因此在選擇過程中，選擇活動本身是清晰的。

由于帶有不可比較性關系的偏好結構在經典偏好模型中很少發(fā)揮作用[1]，通常用兩個二元關系來表示方案集X上行動主體的偏好：嚴格偏好關系P、無差異關系I。這被稱為完全性公理?；赬上的偏好結構為R=＆lt；P，I＆gt；，有xRy=xPy∨ xIy，xPy=xRy∧yRx，xIy=xRiy∧yRx，R滿足傳遞性和完全性，在社會選擇中還要求R是非循環(huán)的。

Luce給出的反例表明[2]，I不具有傳遞性，從而進一步導致R不具有傳遞性。設有限方案集X={x1，x2，…，xn}，xi為咖啡中加入i粒糖的狀態(tài)，則有，x1Ix2，x2Ix3，…，xn-1Ixn，進一步有x1Ixn，由于I滿足對稱性，則xnIx1。由x1Ixn、xnIx1分別可以得出x1Rxn、xnRx1。而Luce等的研究表明x1Pxn[2]，即由某人偏好無糖咖啡可知，相對于咖啡中加入n粒糖（例如100萬粒糖），他會更加毫不猶豫地偏愛咖啡中加入1粒糖。由x1Pxn可知，x1Rxn和xnRx1成立。這樣有x1Rxn∧xnRx1，R不滿足完全性。

雖然I會導致P的出現以及R完全性的缺失，迫使一些經濟學家弱化原有條件，有理由相信行動主體弱偏好可能不是傳遞的，而是準傳遞的[3]。但是，實驗社會選擇表明，即使是行動主體的偏好關系都P，即放松要求條件，將傳遞性條件變?yōu)闇蕚鬟f性（Quasi-Transitivity），也會導致意料不到的非理性結果。在群選擇中，由于準傳遞性偏好關系的循環(huán)性，個體的理性會導致集體的非理性。[4]雖然提供了在傳遞性循環(huán)情況下做出選擇的一種能行方法，但這一方法潛在地存在產生新型獨裁的可能性，在選擇中也會導致非理性的產生。

反例的出現說明了I和P超出了傳統社會選擇理論的理性范圍，許多經濟學家探討了選擇中的傳遞性問題，研究表明，傳遞性假定并非總是合理的[5]，偏好可以是傳遞的，也可以不是傳遞的，在選擇中，應該允許非傳遞性偏好關系的存在，甚至是有限的偏好循環(huán)[6]，以及在社會選擇中可以不考慮偏好關系的傳遞性問題。

正因為偏好關系傳遞性的破缺，需要重新考察偏好關系的傳遞性問題，以確保理性因素在選擇過程中起主要作用，探究行動主體決策背后的理性原則。在提出并刻畫分布式偏好之后，我們基于分布式偏好在選擇中的規(guī)則、條件，最后探討分布式偏好在選擇中的優(yōu)缺點。

二、分布式偏好的提出及刻畫

社會選擇可被表達為群成員偏好到單一群偏好的歸約，這樣，社會選擇可看做是個體選擇活動的一種延伸。群選擇也是如此，個體選擇可以看做是只有一個成員的群選擇。

公共知識理論[7]認為，如果P為群中某些成員的公共知識，P→Q是群中另外一些成員的公共知識，則根據演繹規(guī)則，Q是群成員的分布式知識（Distributed Knowledge）或分布式公共知識（Distributed Common Knowledge）。這一思想與社會選擇理論中偏好關系的傳遞性在某種程度上是一致的，面臨選擇時，如果群在群體成員偏好的基礎上對方案集{x，y，z}的群偏好為xRy、yRz，則如果不考慮群成員對{x，z}偏好產生的群偏好，那么，依據R的傳遞性，群體對方案x、y的偏好應是xRz。群偏好xRy和yRz只是依據某種規(guī)則，集結群成員偏好的結果，并非在所有的群成員那里都有xRy和yRz。當群成員只有一個時，這時選擇成為個體選擇或單主體選擇，對于方案集{x，y，z}，如果行動主體i有xRiy和yRiz，則根據R的傳遞性，行動主體應該有yRiz。

無論xRz和xRiz，都是由偏好關系的傳遞性得出的，與直接考察x與z間的關系無涉。由于傳統選擇理論要求方案間的偏好關系必需滿足傳遞性，則無論群成員有多少個，理論上或實踐中都會產生偏好關系的循環(huán)，傳遞性不會被滿足。

根據公共知識理論與經典社會選擇理論的一致性，我們提出分布式偏好（Distributed Preference），設X={x1，x2，x3，…，xi，…，xn，}為備選方案集，G={1，2，3，…，n}為一群體，R為G的偏好關系（相應地P、I為G的嚴格偏好關系、無差異性關系），C{X}={xi}，i N為G的選擇函數；Ri為G成員i的偏好關系（相應地Pi、Ii為G成員i的嚴格偏好關系、無差異性關系），Ci{X}= {xi}，i N為G成員i的選擇函數，則有：

定義2.1分布式偏好RD：x1，x2，x3∈X，若x1Rx2且x2Rx3，則x1RDx3；

定義2.2分布式偏好PD：x1，x2，x3∈X，若x1Px2且x2Px3，則；

定義2.3分布式偏好ID：x1，x2，x3∈X，若x1Ix2且x2Ix3，則x1IDx3；

定義2.4分布式偏好RiD：x1，x2，x3∈X，若x1Rix2且x2Rix3，則x1RiDx3；

定義2.5分布式偏好PiD：x1，x2，x3∈X，若x1Pix2且x2Pix3，則x1PiDx3；

其中定義1.、定義2.、定義3.是G的分布式偏好關系定義，定義4.、定義5.、定義6.是行動主體i的分布式偏好關系定義。對G而言，如果G既存在偏好關系xRy，也存在偏好關系yRz，則xRDz為G的分布式偏好；對一行動主體i，如果xRiy且 yRiz，則為i的分布式偏好。xIiDy=。RD和均滿足完全性和傳統意義上的傳遞性，即下列各式顯然成立：

公理2.1 xRDy∨yRDx；

其中公理2.1、2.1分別為G和行動主體i的完全性公理。

分布式偏好關系是相對于經典選擇理論偏好關系傳遞性（及其計算）的一種偏好關系，它的產生是建立在備選方案集X中方案至少存在3個的基礎上。如果備選方案集中方案數目少于3個，則由于備選方案集中方案間關系不滿足傳遞性的一般條件，方案間關系是經典選擇理論意義上的偏好關系，分布式偏好不可能產生。

設N（X）為備選方案集X中方案數目，若用RD來分別表示PD和ID，用來分別表示和，則RD、產生的必要條件是當且僅當分別滿足：

條件2.1如果RD，則N（X）≥3；

條件2.2如果RiD，則N（X）≥3。

三、基于分布式偏好的選擇

根據分布式偏好關系產生的條件、分布式偏好的定義以及傳遞性的特性，下列各式顯然成立：

當經典偏好關系與分布式偏好關系同時存在時，可以依據上述各式進行推導，來確定方案間的偏好關系。

我們稱基本的偏好關系為表示性偏好（Expressed Preference），即對于備選方案集{x，y}，如果選擇群體（或行動主體i）形成偏好關系xRy（或xRiy），則xRy（或xRiy）為表示性偏好。表示性偏好就是傳統意義上或經典選擇理論中二元對比（Parwise Comparison）形成的偏好關系，其形成的前提條件是備選方案集中方案數目為2。在選擇中，如果備選方案集中方案數目大于2，那么由于經典傳遞性提供了一種便利條件，基于方案所形成的偏好關系，有些是表示性偏好，有些在實質上是我們所定義的分布式偏好。

Luce給出的例子說明[2]，對于喜歡無糖咖啡的人而言，x1Ixn是分布式偏好，而不是表示性偏好，表示性偏好與分布偏好出現了不一致。在這類情景下，選擇群體或行動主體的最終選擇顯示，表示性偏好在選擇中起關鍵作用，傳統意義上的傳遞性失去了決定性作用。

在許多情況下，表示性偏好與分布式偏好會出現一致的情況，即：

相應地，可以給出表示性偏好與分布偏好反一致的定義：

則R與RD是準一致的；

表示性偏好與分布偏好之間關系的最后一種情況是，有x1Rx2∧x2Rx3∧…xn-1Rxn，對于{x1，xn}X，沒有形成群偏好，且基于{x1，xn}群中成員存在不同的偏好關系，我們稱之為不可斷定性關系（混雜性關系）。由于偏好完全性公理，這一情形獨特地存在于群成員數目大于等于2的群選擇之中，定義如下：

相對于表示性偏好與分布偏好之間關系的反一致性，存在一種只在群選擇中出現的弱反一致性，定義如下：

當表示性偏好與分布式偏好一致時，選擇的做出與經典選擇理論相同的；當表示性偏好與分布式偏好具有準一致性時，雖然做出選擇時存在冒險的可能性，但分布式偏好是建立在傳遞性基礎上的，我們認為這種情況與一致性情況是相同的；而表示性偏好與分布偏好不一致時，選擇做出的準則是表示性偏好，即根據表示性偏好來確定方案間的偏好關系。與經典選擇理論相同，這里也假定選擇中群體成員或行動主體是理性的，并且是誠實的。

基于分布式偏好，令X={x，y，z}為備選方案集，對于G而言，C（X）、C|X（xRy）、C|X（xRDy）分別為X上的選擇函數、經典選擇函數、分布式選擇函數，對于行動主體i而言，Ci（X）、Ci|X（xRiy）、Ci|X（）分別為X上的選擇函數、經典選擇函數、分布式選擇函數，其值依賴于間x與y的關系，我們給出如下選擇中遵循的條件（或規(guī)則）：

若表示偏示性偏好與分布式偏好具有不可斷定性關系時，選擇的做出需要構造一個析出函數f，使得f（＆lt；RD，x1Rjxn＆gt；， xnRkx1）=RD或f（＆lt；RD，x1Rjxn＆gt；，xnRkx1）=xnRkx1，由于RD與x1Rjxn具有一致性，析出函數可以簡寫為f（RD，xnRkx1）=RD或f（RD， xnRkx1）=xnRkx1，則C（X）=C（f（RD，x1Rkx1）），該函數的構造依賴群體相關背景。

如果假定選擇中群成員是理性的，且具有部分成員對方案的考慮基于知識或高度信念之上，則弱反一致性情景的選擇與反一致性情景是相同的，即：

由上述可知，表示性偏好在選擇中起著重要作用，分布式偏好只是表示性偏好的一個參考條件，在此基礎上，傳遞性可以被認為是滿足一致性和弱一致性的。由于傳統理論對二者沒有做出清晰的界定與考察，一些情況下能夠做出的選擇也被視為是存在問題而不能做出的。分布式偏好提供了解決這一問題的可能性，無論是把偏好關系看做是序關系，還是基于效用計算的一種期望效用間的基數關系，分布式偏好的引入能夠對選擇困難或悖論做出合理解釋。

四、結語

依據分布式偏好的定義、公理、定理以及選擇條件，選擇方案的做出在傳統理論的基礎上邁出了一步，但由于沒有完全考察析出函數在選擇中的作用，在一些選擇情景中，如果R與RD是不可斷定的，選擇的做出又會依賴于析出函數的構建，這樣，分布式偏好在選擇中的作用會顯得有些弱化。

[1]De Baets B，de Walle B V，Kerre E.Fuzzy preference structures without incomparability[J]. Fuzzy Sets and Systems，1995（76），333—348.

[2]Luce R D. Semiorders and a theory of utility discrimination[J].Econometrica，1956（24），178—191.

[3]Armstrong W E.Utility and the theory ofwelfare[J]. Oxford Economic Papers，1951（3），259—271.

[4]Wang Z Y.Existence ofsatisfied alternative and the occurring of Morph-Dictator[A]. Proceedings of International Workshop on Logic， Rationality， and Interaction（LORI-II）[C].Heidelberg：Springer-Verlag， 2009.

[5]May K.O.Intransitivity，utility and the aggregation of preference patterns[J].Econometrica，1954（22），1—3.

[6]Schwartz T.Rationality and the myth of the maximum[J]. No?s，1972（2），97—117.

[7]Roelofsen F. Distributed Knowledge[J]. Journal of Non-classical Logics，2006（16），1—18.

責任編輯 呂學文

（E－mail：dalishi＿sohu＠sohu.com）

B81 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A

A

1007－905X（2010）04－0093－04

2010-04-23

江蘇省規(guī)劃項目（08ZXB002）；國家社會科學基金項目（09BZ015）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃（CX09B_002R）

王志遠（1974— ），男，河南襄城人，南京大學現代邏輯與邏輯應用研究所博士研究生。