齊蓮敏

（襄樊廣播電視大學，湖北 襄樊 441021）

“反例法”在高等數學教學中的應用

齊蓮敏

（襄樊廣播電視大學，湖北 襄樊 441021）

本文通過對高等數學中典型問題的反例研究，說明在高數教學中應用“反例法”能有效提高教學質量，能提高學生分析問題和解決問題的能力。

反例；分析；實函；代數

自1999年，中央電大創(chuàng)辦開放教育試點以來，理工科本科層次均開設有高等數學這門課程。近年來，開放教育生源質量有明顯變化，教學對象以“在職人”居多，這使得如何提高開放教育的教學質量成為很值得研究的問題。

筆者在十年的開放教育高數教學實踐中認識到，要提高高數教學質量必須遵循以下幾個原則，即：以問題為中心原則、化抽象為具體原則、化隱為顯原則、滲透性原則等等。其中化抽象為具體原則又涵蓋多個方面，而反例教學又是把抽象的理論具體化的一種非常有效的手段。正如美國數學家B.R.蓋爾鮑姆所說：“數學由兩大類——證明和反例組成，而數學也是朝著這兩個目標——提出證明和構造反例而發(fā)展”，本文就從分析、實函、高代三個方面入手，探討反例教學法在高等數學教學中的應用。（文中的正確命題顯然成立，不再證明）

一、反例法在數學分析中的應用

1.可導與連續(xù)的關系

對數分的初學者來說，要分清可導與連續(xù)這兩個概念需要一段時間。但采用反例法教學可以簡明有力地否定學員腦海中錯誤的認識。

可導必然連續(xù)。（這是個正確命題）

連續(xù)必然可導。（這是個錯誤命題）

反例：Y=|x|在 x=0處連續(xù)，但不可導。因為在該點的左導數為-1，右導數為+1，左右導數不等，所以不可導。

由此例可以讓學員明白可導必然連續(xù)，而連續(xù)不一定可導。

2.導數與切線的關系

導數的幾何意義是切線的斜率，學員經常誤把導數等同于切線，通過反例教學可以有效避免學員范這種錯誤。

Y=f(x)在x=x0處的導數存在，則曲線Y=f(x) 過該點的切線存在。（這是個正確命題）

Y=f(x)在x=x0處的切線存在，則Y=f(x)在x=x0點的導數存在。（這是個錯誤命題）

反例：函數X=siny在 x=1的點的切線存在，且該切線平行于Y軸；但函數X=siny在 x=1處的切線的斜率不存在，所以曲線在該點的導數不存在。

由此例可以讓學員明確：切線存在是導數存在的必要條件，而不是充分條件。

3.收斂級數的線性性質

若兩個級數∑un和∑vn都收斂，則∑un+∑vn也收斂，并且有∑un+∑vn=∑(un+vn)。（這是個正確命題）

若兩個級數∑un和∑vn都發(fā)散，則∑un+∑vn也發(fā)散。（這是個錯誤命題）

學員在學習的過程中，常常誤以為由收斂級數的線性性質可以推出兩個發(fā)散級數的“線性性質”。通過此例，可以讓學員很快明白兩個發(fā)散級數的和可能是個收斂級數，這就提高了課堂教學效率。

二、反例法在實變函數中的應用

實變函數是一門綜合了代數、幾何等知識于一體，高度抽象的課程。采用反例法教學，可以使學生更深刻地理解概念與定理的含義，提高教學質量。

1.連續(xù)基數的概念

通常情況下，學員在學習實變函數之前，總會從直覺上感到：較長的線段比較短的線段含有更多的點。這種錯誤的直覺會使學員在實變函數的后續(xù)學習中繞很多彎路。但下面這個反例卻可以使初學實函的人很快明確：一個較長的線短并不比另一個較短的線段含有更多的點，而是含有同樣多的點。

一個較長的線段比另一個較短的線段含有更多的點。（這是個錯誤命題）

反例：x2+y2=1與x2+y2=4表示兩個同心圓，其中圓心在坐標原點，半徑分別為1和2。前者的周長為2π，后者的周長為4π，表面看來好象“后者比前者含有更多的點”；實際上，只要從原點出發(fā)作射線，即可建立前者與后者的點的一一對應。也就是說，x2+y2=1與x2+y2=4上面的點一樣多，個數均為連續(xù)基數c。

舉這樣的反例，非常有利于學生掌握連續(xù)基數的概念。

2.全序集與半序集的關系

學員在學習全序集時，往往會誤認為這里的“序”和我們通常意義上的“順序”是一回事，這使得在判別集合是否為全序集時經常出錯。如何防止學員范這種易范的錯誤，舉個反例即可。

設B為非空集，A為B的所有子集構成的集，若子集之間用包含關系作為A中某些元素間的順序，則A按此順序成為一個半序集。（這是個正確命題）

上述A也是一個全序集。（這是個錯誤命題）

反例：設B=｛1，2，3｝，則A=｛φ，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝｝。其中｛1｝∈A，｛2，3｝∈A， 而｛1｝＜｛2，3｝不成立，｛2，3｝＜｛1｝也不成立。根據全序集的定義：對 A中任意兩個元素都可以確立它們之間的順序，可以知道，上述 A不構成全序集，只構成半序集。

由上可知，半序集不一定是全序集，而全序集一定是半序集。

雖然，實變函數是高等數學中最抽象的課程；但是，采用反例法教學可以化抽象為具體，并能加強學生對重點概念的印象，加深學員對抽象理論的理解。

3.開區(qū)間與開集的關系

初學實函者往往會誤以為在一維空間上開區(qū)間與開集是相同的概念，實則不然。以下舉反例說明。

在直線上，開區(qū)間是開集。（這是個正確命題）

在直線上，開集是開區(qū)間。（這是個錯誤命題）

反例：在R1上，對集合A=（1，2）∪（3，4）∪（7，8）中任一意點a，總存在δ＞0，使得∪（a，δ）包含于A，所以A上任一點均為內點?？梢姡珹為開集。但是，顯然A不是開區(qū)間，而是開區(qū)間的并。

由這個具體的反例，可以很容易地讓學員區(qū)分開開集與開區(qū)間這兩個概念。

4.閉集與開集的關系

直線上的閉集F或者是全直線，或者是從直線上挖掉有限個或可數個互不相交的開區(qū)間所得到的集。（這是個正確命題）

閉集的余集是開集。（這是個錯誤命題）

反例：設閉集 F=[1，2]，F包含于[1，4]，則C[1，4]F=（2，4]。顯然閉集F對于[1，4]的余集不是開集。

三、反例法在高等代數中的應用

1.整體相關與部分相關的關系

對于一個向量組，一部分向量線性相關，則此向量組的整體必然線性相關。（這是個正確命題）

一個向量組線性相關，則它的一部分向量構成的向量組也線性相關。（這是個錯誤命題）

反例：顯然，向量組 e1=(1,0,0) ′, e2=(0,1,0) ′,e3= (0,0,1) ′,α=(1,1,1)′線性相關。但它的部分組e1，e2，e3是線性無關的。

2.有相同特征多項式的矩陣與相似矩陣的關系

相似矩陣有相同的特征多項式。（這是個正確命題）

有相同特征多項式的矩陣是相似陣。（這是個錯誤命題）

3.線性變換的保相關性

線性變換把線性相關的向量組變?yōu)榫€性相關的向量組。（簡稱為線性變換的保相關性，這是個正確命題）

線性變換把線性無關的向量組變?yōu)榫€性無關的向量組。（這是個錯誤命題）

反例：在線性空間Fn[x]中，向量組1，x1,x2, ……，xn-1是線性無關的，因為k1·1+k2x+……+knxn-1=0, 只能得出各個系數k1,k2,……,kn全為零。

設δ是線性空間Fn[x]的微分變換，

則：δ（1）=0， δ（x）=1,

δ(x2)=2x, ……,δ(xn-1)=(n-1) xn-2

而1·0+0·1+0·2x+……+0·(n-1) xn-2=0

即1·δ（1）+0·δ（x）+0·δ(x2)+……+0·δ(xn-1)=0

所以δ（1），δ（x），δ(x2)，……，δ(xn-1)是線性相關的向量組。

由上可知，線性變換可以把線性無關的向量組變?yōu)榫€性相關的向量組。

四、結束語

開放教育教學主要分為“面授”與“網上教學”兩部分，“面授”課時少，“網上教學”師生缺乏情感交流。怎樣提高開放教育的教學質量是每個開放教育教師都要思考的問題。而高等數學這門課程難度大、很抽象，選擇何種教學方法能有效地提高教學質量更是每位數學教師必須思考的問題。“反例教學法”可以把抽象的理論轉化為具體的實例，便于學生掌握；“反例”的鮮明性可以在學員的腦海中留下深刻的印象，加深他們對于相關概念的記憶；“反例法”的辯駁性可以培養(yǎng)學員獨立思考問題、獨立辨別是非、采用例證法來反駁錯誤論述的能力；“反例法”可以提高學員的邏輯素養(yǎng)，培養(yǎng)學員的創(chuàng)新能力。

[1] 樣例在泛函分析教學中的應用[J]. 高師理科學刊，2008，（1）.

[2] 程其襄，張奠宙，魏國強等. 實變函數與泛函分析基礎[M]. 北京：高等教育出版社，1988.

[3] 張喜堂，余東華，方育坤. 實變函數論的典型問題與方法[M].武漢：華中師范大學出版社， 2000.

[4] 張禾瑞，郝丙新. 高等代數[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

The application of “Counterexample” in higher mathematics education

QI Lian-min

By studying counter example of higher mathematics, this paper discussed counter example method application in mathematical teaching would improve teaching quality, and improve students ability in analyzing, solving problem.

counter example ; analysis; real function; algebra

G72

A

1008-7427（2010）01-0020-02

2009-08-31