廉海榮，趙俊芳，褚寶增

中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 信息工程學(xué)院，北京 100083

教學(xué)研究與改革

在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討

廉海榮，趙俊芳，褚寶增

中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 信息工程學(xué)院，北京 100083

以激發(fā)學(xué)生的求知欲望和創(chuàng)新精神為目標(biāo)，本文在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上, 探討了在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的方法和途徑。筆者通過適當(dāng)引入常微分方程模型案例，注重理論和應(yīng)用相結(jié)合, 加強(qiáng)計算機(jī)軟件和實(shí)際算法實(shí)現(xiàn)等, 進(jìn)一步發(fā)揮常微分方程對提高大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要作用。

常微分方程；數(shù)學(xué)建模；思想

一、“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的意義

恩格斯說過“只有微分學(xué)才使得自然科學(xué)不僅能用數(shù)學(xué)來表明狀態(tài)，而且也能用數(shù)學(xué)來表明過程，即運(yùn)動[1]。”常微分方程源于對物體運(yùn)動過程的研究，它的雛形甚至比微積分的發(fā)明還要早。像納皮爾發(fā)明對數(shù)，伽利略研究自由落體運(yùn)動，笛卡兒在光學(xué)問題中由切線性質(zhì)定出鏡面的形狀等，都是建立和求解常微分方程的過程[2]。

常微分方程在自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域如力學(xué)、物理、生物、地學(xué)、機(jī)械工程、通訊工程、航空航天及經(jīng)濟(jì)學(xué)等中都有著廣泛的應(yīng)用。近幾十年來, 隨著動力系統(tǒng)及非線性科學(xué)的迅猛發(fā)展，常微分方程的理論和方法得到不斷擴(kuò)充和完善。而社會上越來越需要一批將常微分方程的新理論和新方法應(yīng)用到工程實(shí)踐中的應(yīng)用數(shù)學(xué)人才，這對“常微分方程”教學(xué)提出了新的要求[3]。

另一方面，“常微分方程”在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科課程設(shè)置中是“數(shù)學(xué)分析”和“高等代數(shù)”的后續(xù)課程，又是“數(shù)學(xué)物理方程”、“數(shù)值計算”、“控制理論”、“變分學(xué)”等課程的先修課程，因此，在數(shù)學(xué)本科教學(xué)中，它有著特定的位置。“常微分方程”作為一門理論體系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)專業(yè)課，在講授時，有必要結(jié)合其廣泛的應(yīng)用背景和應(yīng)用前景，順應(yīng)時代要求，以培養(yǎng)具有應(yīng)用數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力的專業(yè)人才為首要目標(biāo)。

如何加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新思維呢？全國高等院校數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會提出的“加強(qiáng)對學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型并利用計算機(jī)分析處理實(shí)際問題能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練”是一個有效方法[4]。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具將理論知識和實(shí)際問題相結(jié)合，通過分析建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，解釋現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象，預(yù)測未來發(fā)展，優(yōu)化控制，從而科學(xué)地指導(dǎo)社會生產(chǎn)和生活。將數(shù)學(xué)建模思想融入到“常微分方程”教學(xué)中，不僅可以使學(xué)生了解常微分方程建立的背景、途徑和實(shí)際意義，活躍了抽象的動力模型理論討論，而且還能幫助學(xué)生將常微分方程與計算機(jī)結(jié)合，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

總之，在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想意義深遠(yuǎn)，這一教學(xué)改革非常必要。

二、如何在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，主要通過在課程中適當(dāng)引入常微分方程模型以培養(yǎng)學(xué)生的建模思維。模型的選取、講解和分析宜精巧適度。

1.常微分方程模型內(nèi)容的選取

在“常微分方程”教學(xué)中融入的每一個數(shù)學(xué)模型都應(yīng)反映出常微分方程知識的本質(zhì)，通過講解這些模型讓學(xué)生對常微分方程的知識點(diǎn)有充分的認(rèn)識和理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)常微分方程的興趣?？紤]到學(xué)生的心理特征和認(rèn)知水平，模型的選取應(yīng)具有時代性、實(shí)際性和適應(yīng)性。模型內(nèi)容不要求面面俱到但要重點(diǎn)突出。 例如，在講常微分方程通解和特解的基本概念時，可以介紹自由落體運(yùn)動，從而使學(xué)生自然地理解常微分方程定解問題的概念；在講一階常微分方程求解時引入跟蹤模型(變量分離法)，RL串聯(lián)電路(線性微分方程和常數(shù)變易法)，探照等反光鏡(變量替換法)，捕食-被捕食模型(數(shù)值分析)等，會令用初等積分法求解常微分方程變得有聲有色，有血有肉；在講高階常微分方程時選講歷史上著名的追線模型，如萬有引力定律、彈簧強(qiáng)迫振動模型(降階求解及動力系統(tǒng)模型)；在介紹常微分方程定性和穩(wěn)定性理論時，可以繼續(xù)分析捕食-被捕食模型(定性分析)等。模型選取不能喧賓奪主，且要起到點(diǎn)睛的作用，把抽象的常微分方程理論和方法變得有章可循，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣。

2.講授模型中滲透數(shù)學(xué)建模思想

在講授常微分方程模型時，要強(qiáng)調(diào)如何用數(shù)學(xué)語言描述和簡化實(shí)際問題，利用了什么原理建立了常微分方程模型，如何求解和應(yīng)用模型分析實(shí)際問題， 即“實(shí)際問題→常微分方程→求解→結(jié)果分析→模型改進(jìn)→實(shí)際應(yīng)用”的全過程。當(dāng)然，不同的模型，突出的重點(diǎn)也需要作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

例如在討論RL串聯(lián)電路模型這個問題時，可以強(qiáng)調(diào)簡化假設(shè)的重要性[5]。已知電感、電阻和電流電壓降組成串聯(lián)電路，試分析合上電源后電路中的電流強(qiáng)度。我們可以作如下模型假設(shè)：假設(shè)電感、電阻和電流電壓降在閉合電路前后是不變的；符號假設(shè)：假設(shè)電感為L，電阻為R，電流電壓降為E，閉合瞬間時間為0，t時刻后電路中的電流強(qiáng)度為i(t)。在模型假設(shè)和符號假設(shè)下，利用電學(xué)中的基爾霍夫定律就可以得到一個一階線性常微分方程初值問題，用積分因子法(或公式法,常數(shù)變易法等)求出模型的解，得到合上電源后電路中的電流強(qiáng)度。

再如在講捕食-被捕食模型時，可以把重點(diǎn)放到模型的實(shí)際應(yīng)用上。通過數(shù)值求解建立的非線性微分方程組，繪制積分曲線和軌線圖，分析平衡點(diǎn)隨參數(shù)的改變，從而可以得出農(nóng)業(yè)上農(nóng)藥治蟲“越打藥，蟲越多”的結(jié)論，用科學(xué)的手段解釋了農(nóng)藥治蟲的不合理性[6]。也可以通過選講人口模型科學(xué)地驗(yàn)證計劃生育政策的合理性，選講傳染病模型說明隔離傳染病人的必要性等。

講授學(xué)生能接觸到的生活現(xiàn)象，引導(dǎo)同學(xué)們一邊學(xué)習(xí)常微分方程理論，一邊也有意識地用數(shù)學(xué)解決或解釋現(xiàn)實(shí)問題。用常微分方程建模討論求解，給出合理的安排和解釋，將枯燥的常微分方程概念和理論變得生動起來，寓教于樂，使同學(xué)們能夠比較輕松地學(xué)習(xí)新知識。

3.常微分方程模型教學(xué)后的創(chuàng)新追求

在“常微分方程”教學(xué)中加入數(shù)學(xué)模型，意在培訓(xùn)學(xué)生的建模思想。思想猶如一盞燈，要讓它指引學(xué)生挖掘自身的理論創(chuàng)新潛力。本科“常微分方程”教學(xué)主要是線性系統(tǒng)理論和方法的介紹，而此時的學(xué)生還沒有泛函分析基礎(chǔ)，所以沒有解決非線性系統(tǒng)問題的工具，這就給常微分方程模型教學(xué)后的科研創(chuàng)新意識培訓(xùn)提供了一個很好的機(jī)會。例如建立的捕食-被捕食模型，是一個二維的非線性齊次微分方程組，我們可以很好地利用解的存在唯一性定理，得到該模型初值問題有解，在這個前提下，不去求解，而是利用定性和穩(wěn)定性分析解的性質(zhì)[5-7]。這樣就可以讓學(xué)生充分認(rèn)識到解的存在唯一性定理和解對初值的連續(xù)依賴性這些抽象理論建立的重要性，不僅增強(qiáng)他們的理論創(chuàng)新的動力，而且也提供了一次很好的創(chuàng)新嘗試。再如通過懸鏈線模型引入邊值問題，通過值模擬Lorenz系統(tǒng)解釋出熱門話題——混沌運(yùn)動等[7]。這些模型不僅可以讓學(xué)生在認(rèn)識到非線性問題的復(fù)雜性，也讓學(xué)生接觸到常微分方程新的研究方向，讓“常微分方程”課程結(jié)束的時間成為學(xué)生開始深入鉆研的開始，吸引他們繼續(xù)在常微分方程領(lǐng)域進(jìn)行科學(xué)研究。

綜上所述，在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)施中應(yīng)注意到：（1）配置的模型對說明常微分方程理論和方法是有益和必要的，要準(zhǔn)確切入；（2）模型的選擇要貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；（3）融入的數(shù)學(xué)模型要具有一定建模流程的簡單模型，不能貪大貪多，不能偏離學(xué)習(xí)常微分方程的主線；（4）要讓數(shù)學(xué)建模的思想深入腦海，引導(dǎo)學(xué)生對常微分方程進(jìn)行科學(xué)研究。

三、數(shù)學(xué)建模思想在“常微分方程”教學(xué)后的鞏固

“教”與“學(xué)”是統(tǒng)一體，在注重“常微分方程”中融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)內(nèi)容和實(shí)施的同時，也要加強(qiáng)學(xué)生的課下鞏固，讓學(xué)生不僅僅局限于對常微分方程概念、結(jié)論和建模技能的記憶、模仿和接受，同時培養(yǎng)他們獨(dú)立思考、自主探索、動手實(shí)踐、查閱文獻(xiàn)和合作交流的能力。

當(dāng)然，作為一門課程，教師的講授仍然是重要的教學(xué)方式之一，為關(guān)注學(xué)生的主體參與，師生互動，我們特別采取了如下嘗試：(1)一堂課結(jié)束后，留出一個明確的常微分方程建模題目，提供一些可以參考文獻(xiàn)，讓同學(xué)們回去練習(xí)，通過校園網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺進(jìn)行交流和跟蹤，共享解題答案。(2)在講課結(jié)束時，明確部分同學(xué)提前準(zhǔn)備部分常微分方程模型，在教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，讓學(xué)生參與到課堂上，采取啟發(fā)式教學(xué)。(3)課下習(xí)題及期末考試中增添應(yīng)用性題目，給學(xué)生提供一定的練習(xí)素材和空間。對一門常微分方程模型的深入學(xué)習(xí)，除了課堂上教師的指導(dǎo)，課堂上下學(xué)生的積極參與，也需要有一個濃厚的科研氛圍。積極地鼓勵學(xué)生參加專家的學(xué)術(shù)報告也是一個有益的嘗試。

在實(shí)施教學(xué)互動的嘗試中，學(xué)生出乎意料的思維方式讓教師也受益匪淺。通過學(xué)生參與和討論，課堂氣氛熱烈而輕松，學(xué)生成為了互動式教學(xué)的主體，同時也加強(qiáng)了應(yīng)用能力的訓(xùn)練。 當(dāng)然并不是所有的學(xué)生都喜歡這樣的嘗試，所以常微分方程模型的討論和練習(xí)點(diǎn)到為止，要注重培養(yǎng)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用習(xí)慣，積極探索的態(tài)度和不斷進(jìn)取的學(xué)風(fēng)。

四、結(jié)束語

在“常微分方程”教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想是一個系統(tǒng)工程，需要長期細(xì)致深入、循序漸進(jìn)的展開。在這項教學(xué)改革的嘗試中我們得到了絕大部分學(xué)生的肯定，他們感覺數(shù)學(xué)模型的融入不僅幫助他們更好地學(xué)習(xí)常微分方程知識，而且激發(fā)了他們的興趣，擴(kuò)大了數(shù)學(xué)視野，提高了應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力?！皩W(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆?！痹诮窈蟆俺Ｎ⒎址匠獭钡慕虒W(xué)中我們需要不斷融入數(shù)學(xué)建模思想，同時對該數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式繼續(xù)進(jìn)行改革和創(chuàng)新。

[1] 恩格斯.自然辯證法[M].北京：人民出版社，1959.

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[3] 張偉年.本科數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革與實(shí)踐[J].高等理科教育，2003，(1)：19-21.

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Discussion on Permeating M athematical M odeling Thought in Ordinary Differential Equation Teaching

LIAN Hai-rong, ZHAO Jun-fang, CHU Bao-zeng
China University of Geosciences, Beijing 100083, China

In order to stimulate students’ enthusiasm and innovation in mathematics, this paper discusses the methods and approaches on permeating mathematical modeling thought in ordinary differential equation teaching, which is based on the teaching practice. By introducing appropriately ordinary differential equation modeling materials, integrating theories w ith practices, strengthening the computer software and actual algorithm and so on, the authors enhance the important role of ordinary differential equation in improving college student’ mathematical thinking ability and application ability.

ordinary differential equation; mathematical modeling; thought

G642

A

1006-9372 （2010）04-00101-03

2010-09-10。

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項基金（2010ZY30）；中國地質(zhì)大學(xué)（北京）研究生教改項目資助。

廉海榮，女，講師，主要從事常微分方程的教學(xué)和研究工作。