張 靜

(1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，蘭州 730070;2.隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅 成縣 742500)

0 引言

多屬性決策是決策理論研究的重要內(nèi)容，多屬性決策問題的研究吸引了國內(nèi)外很多決策理論專家的興趣，而且目前它已被廣泛應(yīng)用于投資決策、項(xiàng)目評(píng)估、方案評(píng)選、人才選拔等諸多領(lǐng)域。由于人們對(duì)客觀事物認(rèn)識(shí)的主觀性、不確定性與模糊性，在實(shí)際的決策中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)決策信息的模糊性和不確定性。到目前為止，對(duì)指標(biāo)權(quán)重信息完全確知或完全不知的多屬性決策問題研究已進(jìn)行了很多研究，對(duì)已知部分權(quán)重信息且對(duì)方案有偏好的多屬性決策人們做過一些研究。本文針對(duì)三角模糊數(shù)型多屬性決策問題，在α截集下引入偏差函數(shù)，通過構(gòu)造目標(biāo)規(guī)劃模型求解屬性的權(quán)重向量，進(jìn)而求得α截集下方案的排序向量。其次，將不同α截集下的排序向量進(jìn)行集結(jié)，得出方案的綜合排序向量。最后根據(jù)綜合排序向量分量的大小，對(duì)方案進(jìn)行排序擇優(yōu)。該方法充分考慮了主觀偏好和客觀偏好之間的差異，得出的決策結(jié)果具有較好的合理性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 若a=［aL，aU］，則稱a為一個(gè)區(qū)間數(shù)。特別地，若aL=aU，則a退化為實(shí)數(shù)。

定義2 設(shè)a=［aL，aU］，b=［bL，bU］為兩個(gè)區(qū)間數(shù)，則稱

定義3 設(shè)是定在實(shí)數(shù)域R上的模糊集合，稱為三角模糊數(shù)，若的隸屬函數(shù)為

簡記為(l，a，u)，稱a為的中心，l與u為的左右展度。當(dāng)l=u時(shí)為正規(guī)模糊數(shù)。

定義4 設(shè)為三角模糊數(shù)，滿足μa～(x)≥α的所有x構(gòu)成的集合稱為的α截集，記作a(α)=［aL(α)，aU(α)］，其中aL(α)=αa+(1-α)l，aU(α)=αa+(1-α)u。

2 決策方法

對(duì)某一多屬性決策問題，設(shè)方案集X={x1，x2，…，xn}，屬性集V={v1，v2，…，vn}，決策矩陣A=()n×m，其中=(lij，aij，uij)是一個(gè)三角模糊數(shù)，表示方案xi在屬性vj下的屬性值。為了消除不同屬性類型及量綱的影響，將決策矩陣A轉(zhuǎn)化為規(guī)范化矩陣R=(r～ ij)n×m。用I1，I2分別表示效益型和成本型指標(biāo)集，則規(guī)范化公式如下:

其中，“∧”為取小算子，L={1，2，…，n}

設(shè)w=(w1，w2，…，wm)T為屬性的權(quán)重向量，H為已知的部分權(quán)重信息確定的權(quán)重集合，w∈H。決策者對(duì)方案xi有一定的主觀偏好，設(shè)該主觀偏好值為三角模糊數(shù)(pij)，其中∈［0，1］，j=1，2，3。由于受各種主客觀因素的影響，決策者的主觀偏好值和客觀偏好值之間往往存在一定的偏差。分別對(duì)主、客觀偏好值做α截集，則在 α 截集下的取值區(qū)間為(α)=［(α)，(α)］，p～i在 α 截集下的取值區(qū)間為(α)=［(α)，(α)］。引入左、右加權(quán)偏差函數(shù):

為了使決策具有合理性，權(quán)重向量的選取應(yīng)該使決策者在α截集水平下的主、客觀偏好間的總偏差最小，從而建立優(yōu)化模型:

其中，λ1，λ2為左右偏差的權(quán)重系數(shù)。考慮到偏差函數(shù)是公平競爭的，沒有任何偏好關(guān)系，且希望達(dá)到的期望值為零，一般可取λ1=λ2=1。因此，可將上述模型(M1)轉(zhuǎn)化為下列目標(biāo)規(guī)劃模型:

利用Lingo軟件編程求解模型M2，得到α截集下的屬性 權(quán) 重 向 量w(α)=(w1(α)，w2(α)，…，wn(α))。根據(jù)公式

計(jì)算方案xi在α截集下的綜合屬性值z(mì)i(w(α))，其中i=1，2，…，n。由于zi(w(α))為區(qū)間數(shù)，不便直接進(jìn)行排序，可由區(qū)間數(shù)排序的可能度公式，建立截集下各方案綜合屬性值之間兩兩比較的可能度矩陣P(α)=［pij(α)］n×m利用公式:

計(jì)算α截集下方案的排序向量:

例如，可選取αk=，k=1，2，…，n，n的大小可根據(jù)決策者對(duì)精度的要求適當(dāng)選取。

3 算例分析

考核、選拔干部是一個(gè)多因素決策問題，決策者一方面要把德才優(yōu)秀的人才選拔到領(lǐng)導(dǎo)崗位;另一方面，也希望在條件相當(dāng)?shù)那闆r下任用自己所偏好的人才。某單位在對(duì)干部進(jìn)行考核選拔時(shí)，首先制定了6項(xiàng)考核指標(biāo)(屬性):思想品德(v1)、工作態(tài)度(v2)、工作作風(fēng)(v3)、文化水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)(v4)、領(lǐng)導(dǎo)能力(v5)、開拓能力(v6)，這些指標(biāo)均為越大越好型指標(biāo)。然后由群眾推薦、評(píng)議，對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)分別打分，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，并從中確定了5 名候選人xj(j=1，2，3，4，5)。由于群眾對(duì)統(tǒng)一候選人給出的指標(biāo)值(屬性值)并不完全相同，因此經(jīng)過統(tǒng)計(jì)處理后的每個(gè)候選人在各指標(biāo)(屬性)下的屬性值是以區(qū)間數(shù)形式給出的。具體的屬性值如表1。

表1 每個(gè)候選人在各項(xiàng)指標(biāo)下的屬性值

已知各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重信息為:

設(shè)決策者對(duì)5個(gè)候選人xj(j=1，2，3，4，5)的主觀偏好值分別為:

現(xiàn)用本文所介紹的方法對(duì)5個(gè)候選人進(jìn)行排序。具體步驟如下:

首先根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)建立模糊決策矩陣A。

根據(jù)規(guī)范化公式，將A轉(zhuǎn)化為規(guī)范化決策矩陣R。

在α截集下三角模糊數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)決策矩陣R(α)，當(dāng)α=0時(shí)，

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型M2，利用lingo軟件算出α=0截集下的屬性權(quán)重向量w(0)=(0.08，0.13，0.15，0.25，0.26，0.13)，再由公式(1)、(3)、(4)計(jì)算得α=0時(shí)的方案排序向量:σ(0)=(0.1，0.09，0.13，0.27，0.28，0.12)為了便于計(jì)算，可選取 αk=，k=0，1，2，…，5，

同理可得:

根據(jù)公式(3)，可求得方案的綜合排序向量σ=(0.09，0.11，0.16，0.26，0.25，13)，從而方案的最終排序?yàn)?x4＞x5＞x3＞x2＞x6＞x1。

4 結(jié)束語

本文采用文獻(xiàn)［7，8］所提出的三角模糊矩陣規(guī)范化方法，對(duì)三角模糊數(shù)求截集，將三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)，同時(shí)引入充分考慮了決策者偏好關(guān)系的偏差函數(shù)，建立目標(biāo)線性規(guī)劃模型并利用Lingo軟件求出屬性權(quán)重向量，進(jìn)而對(duì)截集下的方案進(jìn)行排序。

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