蘇 霞

(淮陰工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇淮安 223003)

0 引言

天體力學(xué)是一門古老的學(xué)科，是天文學(xué)的一個(gè)重要分支，但又同數(shù)學(xué)和力學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。天體力學(xué)是天文學(xué)和力學(xué)之間的交叉學(xué)科，它運(yùn)用力學(xué)規(guī)律來(lái)研究天體的運(yùn)動(dòng)和形狀。天體內(nèi)部和天體相互之間的萬(wàn)有引力是決定天體運(yùn)動(dòng)和形狀的主要因素，它以萬(wàn)有引力定律為基礎(chǔ)。雖然已發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律與某些觀測(cè)事實(shí)發(fā)生矛盾，而用愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論卻能對(duì)這些事實(shí)作出更好的解釋，但對(duì)天體力學(xué)的絕大多數(shù)課題來(lái)說(shuō)，相對(duì)論效應(yīng)并不明顯。因此，在天體力學(xué)中只是對(duì)于某些特殊問(wèn)題才需要應(yīng)用廣義相對(duì)論和其他引力理論。天體力學(xué)以數(shù)學(xué)為研究手段。它的研究?jī)?nèi)容包括二體問(wèn)題、三體問(wèn)題、多體問(wèn)題、攝動(dòng)理論、天體形狀和自轉(zhuǎn)理論，以及有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的定性理論和數(shù)值方法。天體力學(xué)還和天體測(cè)量學(xué)、星系力學(xué)、天體動(dòng)力演化論、天體物理學(xué)等密切相關(guān)。多體問(wèn)題又叫N體問(wèn)題，是研究N個(gè)質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)。在N=2時(shí)為二體問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題是天體力學(xué)的基本問(wèn)題之一，已得到完全解決。在N=3時(shí)為三體問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題難度較高，多年來(lái)進(jìn)展甚慢，仍未得到解決，正用分析方法、數(shù)值方法和定性方法進(jìn)行研究。還有許多人致力于一些特殊問(wèn)題的研究，如三體問(wèn)題的積分、限制性三體問(wèn)題等。對(duì)于其他多體問(wèn)題，主要研究運(yùn)動(dòng)的一般特性。在現(xiàn)代天體力學(xué)的研究中，多體問(wèn)題是一個(gè)重要領(lǐng)域，這是天體力學(xué)同一般力學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的共同研究領(lǐng)域。牛頓多體問(wèn)題主要研究在牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力作用下，天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1 問(wèn)題的提出

對(duì)于N≥2的平面N體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成

這里zk是質(zhì)量mk∈R+的質(zhì)點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的復(fù)坐標(biāo)。

在文獻(xiàn)［2］和［4］中，作者研究了平面N體問(wèn)題的正多邊形解和平面2N體問(wèn)題的正多邊形套周期解。本文研究4N體問(wèn)題的扭轉(zhuǎn)正多邊形套周期解。

假設(shè)4N個(gè)天體位于圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的三個(gè)同心圓上，且每個(gè)圓上的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正多邊形，它們的邊數(shù)分別為N，2N，N。

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)mk∈R+位于 ρ2k(k=1，2，…，N)，m＇k∈R+位于 ρ＇k(k=1，2，…，N)，m＇＇k∈R+位于 ρ＇＇k(k=1，2，…，N)。令質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心

方程(1.1)可以改寫為

2 主要引理

定義2.1 若N×N矩陣A=(ai，j)滿足

則稱A是一個(gè)循環(huán)矩陣。

引理2.1 如果A和B是循環(huán)矩陣，則A+B，A-B，A·B也是循環(huán)矩陣，且AB=BA。

引理2.2 設(shè)A=(ai，j)是N×N循環(huán)矩陣，則A的特征值λk和特征向量vk是

引理2.3 設(shè)A和B是循環(huán)矩陣，λk(A)和λk(B)是A和B的特征值，則A+B，A-B，A·B的特征值分別是 λk(A)+λk(B)，λk(A)-λk(B)，λk(A)·λk(B)。

3 問(wèn)題的解決

zk(t)，z＇k(t)，z"k(t)是方程(1.9)、(1.10)、(1.11)的解的充要條件是

或者等價(jià)地表達(dá)為:

注意式(3.1)到式(3.9)是可逆的。

設(shè)M1=(m1，…，mN)T，M2=(m＇1，…，m＇2N-1)T，M3=(m＇2，…m＇2N)T，M4=(m＇＇1，…m＇＇N)T，則式(3.7)，式(3.8)，式(3.9)成立的充分必要條件是方程組

有一個(gè)正解，等價(jià)于

有正解，其中

注意到方程(3.11)有正解，等價(jià)于Q對(duì)應(yīng)于0特征值的正實(shí)特征向量。

由引理2.3得

因此，對(duì)于某個(gè)1≤k≤N，

成立，即

由引理2.2 及 2.4，我們有 λk，因此有

且ω滿足:

其中

4 結(jié)論

由上述討論，我們有如下結(jié)論:

定理 1 當(dāng)N≥2 時(shí)，式(1.6)，式(1.7)，式(1.8)是方程組(1.9)，(1.10)，(1.11)的解，則 ω 滿足

定理2 當(dāng)N≥2 時(shí)，(1.6)，(1.7)，(1.8)是方程(1.9)(1.10)(1.11)的解的充分必要條件是

［1］Abraham R，Marsden J.Foundations of Mechanics［M］.London:Benjamin/Cummings，1978.

［2］L M Perko，E Lwalter.Regular polygon solutions of N-body problem［J］.Proc AMS，1985，94:301-309.

［3］Moeckel R.On central configurations［J］.Math，1990，205:499-517.

［4］Meyer K，Hall G.Introductions to Hamilitonian Systems and n-body problems［M］.Berlin:Springer，1992.

［5］S Q Zhang，Q Zhou.Periodic solutions for planar 2N-body problems［J］.Proc AMS，2002，131:2161-2170.

［6］程云鵬.矩陣論［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2001.

［7］陳劍.平面3N體問(wèn)題的中心構(gòu)型［J］.綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，27(5):8-12.

［8］陳靜.一類平面對(duì)稱五體問(wèn)題的中心構(gòu)型［J］.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，12(4):40-43.

［9］劉文中，徐玢，王歡，等.N-體問(wèn)題的“蜂窩型”中心構(gòu)型［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，42(6):576-578.

［10］劉學(xué)飛，姜友誼.一類平面五體中心構(gòu)型［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，27(3):65-68.

［11］朱長(zhǎng)榮，羅廣萍.N+1-體問(wèn)題的空間和平面中心構(gòu)型［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，30(9):96-98.

［12］龍以明，孫善忠，張世清.中心構(gòu)型和線性方程組［J］.南開(kāi)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002，35(4):26-34.

［13］湯建良.關(guān)于4-體問(wèn)題中心構(gòu)型的一點(diǎn)研究［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2006，26(6):647-650.

［14］蘇霞，溫書(shū).四體問(wèn)題的平行四邊形中心構(gòu)型［J］.淮陰工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，15(5):15-19.