李彩鳳

(河池學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣西宜州 546300)

0 引言

證券市場是一個(gè)充斥著諸多不確定因素的模糊環(huán)境。用模糊集理論的方法來處理證券投資中的決策問題，己引起人們的普遍關(guān)注。文獻(xiàn)［1］用模糊區(qū)間方法探討了投資風(fēng)險(xiǎn)評估。文獻(xiàn)［2，3］用可能性理論討論了證券選擇。文獻(xiàn)［4］利用技術(shù)分析和模糊邏輯處理投資問題。文中利用模糊數(shù)理論構(gòu)造模糊概率空間，建立證券投資數(shù)學(xué)模型。在文獻(xiàn)［5，6］構(gòu)造模糊概率空間中，投資者預(yù)期在未來時(shí)間的股價(jià)波動范圍由投資者主觀確定，過于主觀?？紤]股價(jià)以內(nèi)在價(jià)值為基礎(chǔ)，圍繞內(nèi)在價(jià)值上下波動，而不應(yīng)是主觀確定，因此，本文建立區(qū)間戈登模型，并提出一種基于期間戈登模型的證券投資的概率方法:先利用模糊理論建立區(qū)間戈登模型，從而確定未來時(shí)間的股價(jià)波動范圍，然后由區(qū)間戈登模型確定未來時(shí)間的股價(jià)波動范圍生成股價(jià)預(yù)測集，由股價(jià)預(yù)測集構(gòu)造一個(gè)概率空間，最后利用股價(jià)預(yù)測集生成的概率空間及股價(jià)計(jì)算預(yù)期的盈利可能性。利用這些結(jié)果，我們獲得了一個(gè)基于區(qū)間戈登模型的證券投資的概率方法，為證券投資者的決策問題提供一種新的解決途徑。

1 預(yù)備知識

1.1 戈登模型

戈登模型是股利貼現(xiàn)模型假設(shè)股利以穩(wěn)定的速度增長時(shí)的一種情況，是一種實(shí)際應(yīng)用簡便、廣泛的普通股的估價(jià)模型。戈登模型為:股票價(jià)值

D0表示公司最近支付過的股利，K表示投資者預(yù)期的目標(biāo)收益率(折現(xiàn)率)，g為預(yù)期股利固定成長率。設(shè)股票的價(jià)格為p0，若p0＜ps，表示股票的價(jià)值被低估，有投資價(jià)值;若p0＞ps，表示股票的價(jià)值被高估，沒有投資價(jià)值。

1.2 區(qū)間數(shù)的運(yùn)算

1.3 模糊數(shù)

其中，h(x)為遞增函數(shù)，右連續(xù)，0≤h(x)≤ 1;H(x)為遞減函數(shù)，左連續(xù)，0≤H(x)≤1，則稱為一個(gè)模糊數(shù)。

1.4 概率分布函數(shù)

設(shè)R為實(shí)數(shù)域，β為R上的波萊爾(Borel)域，P為β上的概率測度。

2 建立區(qū)間戈登模型

在傳統(tǒng)的戈登模型中，股票的內(nèi)在價(jià)值是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，這不大符合實(shí)際情況。從實(shí)際運(yùn)用來說，這不好操作，因?yàn)槿绻善钡默F(xiàn)價(jià)稍高出或者稍低于內(nèi)在價(jià)值股票的現(xiàn)價(jià)，就作出股票具有投資價(jià)值或者不具有投資價(jià)值，這種判斷是不合實(shí)際的。從戈登模型中參數(shù)來說，在戈登模型中有兩個(gè)關(guān)鍵的參數(shù):固定紅利增長率g及折現(xiàn)率K，這兩個(gè)參數(shù)是難以精確確定，原因有三:一是，從計(jì)算的角度看。固定紅利增長率g及折現(xiàn)率K有不同的計(jì)算方法，不同計(jì)算的方法得出不同的g及K的值。二是，從數(shù)據(jù)的采用角度看。銀行的存款年利率(無風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率)和折現(xiàn)率有密切的聯(lián)系，即使用同樣的方法計(jì)算折現(xiàn)率，銀行的存款年利率不同也會得到不同的折現(xiàn)率。而不同存款年的利率不同，不同年份的銀行利率有所不同。三是，從人的認(rèn)識的角度來看。股利增長率是決策者對公司未來的股利的預(yù)測，折現(xiàn)率可以主觀確定，也很難精確確定。因此，在戈登模型中，在使用戈登模型進(jìn)行股票估價(jià)時(shí)結(jié)論應(yīng)該是股票內(nèi)在價(jià)值的范圍，而不是一個(gè)確定的數(shù)值。

為此，本文嘗試將區(qū)間折現(xiàn)率及區(qū)間股利增長率用于戈登模型中，建立區(qū)間戈登模型。即區(qū)間戈登模型為:股票價(jià)值，其中K是區(qū)間折現(xiàn)率K=［K-，K+］(折現(xiàn)率中的數(shù)據(jù)選取，盡可能選取折現(xiàn)率的最大與最小值，作為區(qū)間折現(xiàn)率的左端點(diǎn)與右端點(diǎn))，g是區(qū)間股利增長率g=［g-，g+］。由區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則及區(qū)間戈登模型得到股票的內(nèi)在價(jià)值:

這時(shí)股票的投資價(jià)值是一個(gè)區(qū)間數(shù)，設(shè)、分別稱為股票內(nèi)在價(jià)值的下限和上限稱為區(qū)間數(shù)［，］的距離。

由于本文在計(jì)算股票的內(nèi)在價(jià)值中，盡可能選取折現(xiàn)率和股利增長率的最大和最小值作為區(qū)間折現(xiàn)率和區(qū)間股利增長率的左右端點(diǎn)，所以，得出的股票的區(qū)間內(nèi)在價(jià)值［，］的距離也比較大，這意味著股價(jià)低于股票內(nèi)在價(jià)值下限或高于股票內(nèi)在價(jià)值上限的機(jī)會不多。令股價(jià)為p0，如果等到p0即股價(jià)低于股票內(nèi)在價(jià)值的下限才買入，或者p0即股價(jià)高于股票內(nèi)在價(jià)值的上限才賣出，那進(jìn)行投資的機(jī)會就不多。為了捕捉投資機(jī)會0時(shí)的投資機(jī)會，本文利用區(qū)間戈登模型得出的區(qū)間內(nèi)在價(jià)值，建立一個(gè)股價(jià)預(yù)測集，然后利用股價(jià)預(yù)測集構(gòu)造了一個(gè)模糊概率空間，計(jì)算盈利可能性的大小，供投資者作出買進(jìn)或賣出的決策依據(jù)。

3 股價(jià)預(yù)測集生成的概率空間

3.1 股價(jià)預(yù)測集的生成

設(shè)某股票S在未來時(shí)間［0，T］時(shí)間內(nèi)股價(jià)的波動為［m，M］，為S的現(xiàn)價(jià)，ps=［，］為由本文第二分論點(diǎn)所計(jì)算出來的股票內(nèi)在價(jià)值。

分析:考慮到股票價(jià)格應(yīng)該以內(nèi)在價(jià)值為基礎(chǔ)，圍繞內(nèi)在價(jià)值上下波動。不妨設(shè)在未來時(shí)間［0，T］內(nèi)，股價(jià)p在區(qū)間［m，M］內(nèi)波動，股價(jià)在區(qū)間［m，M］外的可能性設(shè)為0。其中m是該股上市后的最低股價(jià)，M是該股上市后的最高股價(jià)。而且，股價(jià)p最可能在股票內(nèi)在價(jià)值范圍內(nèi)［p-s，p+s］波動。

因此，得到基于內(nèi)在價(jià)值的股價(jià)預(yù)測集。

定理2 設(shè)論域X={股票S在未來時(shí)間［0，T］內(nèi)股價(jià)的取值}，若在論域X上的一個(gè)映射A(見圖1)。

其中，h(p)為單調(diào)遞增函數(shù)，在點(diǎn)m處右連續(xù)，0≤h(p)≤1(p∈［m，］);H(p)為遞減函數(shù)，在點(diǎn)M處左連續(xù)，0≤H(p)≤1(，M)。則A是X上的Fuzzy集。也即A(p)是A的隸屬函數(shù)。

由于0≤f(p)≤1，0≤F(p)≤1，顯然，定理2成立。

圖1 “［0，T］時(shí)間內(nèi)股價(jià)波動”的隸屬函數(shù)曲線

定義3{股票S在未來時(shí)間［0，T］內(nèi)股價(jià)的取值}，若論域X上的隸屬函數(shù)A(見圖1)。

其中，［，］是股票S的區(qū)間內(nèi)在價(jià)值，m、M分別為S上市后的最低、最高股價(jià)，h(p)為單調(diào)遞增函數(shù)，在點(diǎn)m處右連續(xù)，0≤h(p)≤1(p∈［m，］);H(p)為遞減函數(shù)，在點(diǎn)M處左連續(xù)，0≤H(p)≤1(p∈［m］)。則稱模糊集是股票S基于內(nèi)在價(jià)值的股價(jià)波動預(yù)測集。

為了應(yīng)用簡單，h(p)、H(p)均采用線性函數(shù)式(見圖2)。

圖2 “［0，1］時(shí)間內(nèi)股價(jià)波動”的簡化的隸屬函數(shù)曲線

3.2 基于內(nèi)在價(jià)值的股價(jià)波動預(yù)測集生成的概率空間

證:顯然，f(p)是非負(fù)的，在數(shù)軸(-∞，+∞)上可積的實(shí)函數(shù)。

4 基于區(qū)間戈登模型的證券投資的概率方法

由于本文中的投資方法，是基于股票內(nèi)在價(jià)值的投資方法，所以對股票的選擇是關(guān)鍵的、首要的一步:選擇業(yè)績好而且比較穩(wěn)定，公司沒有不良信息，產(chǎn)業(yè)前景較好，未被過度炒作，最好是由于某種原因被低估的上市公司。

接著第二步是由股價(jià)計(jì)算預(yù)期的盈利可能性。

定義4 如果按股價(jià)p0買進(jìn)股票，稱P(P∈［p0，M］)為預(yù)期的盈利可能性，或稱為預(yù)期盈利率。記為:e=P(P∈［p0，M］)。

由定義4得出預(yù)期的盈利可能性與股價(jià)p0的關(guān)系式，給出了一個(gè)投資者按自己的意愿(預(yù)期的盈利可能性)來確定或調(diào)整買入及賣出的價(jià)格。

第三步，由盈利的可能性分析是否買進(jìn)或賣出。

投資者先按自己的意愿設(shè)定一個(gè)買進(jìn)的盈利率的閥值e1，e1所對應(yīng)的股價(jià)為p1。當(dāng)盈利的可能性大于e1，即股價(jià)p0小于p1時(shí)，買進(jìn);當(dāng)盈利的可能性小于e1時(shí)，即股價(jià)p0大于p1時(shí)，不買進(jìn)。

投資者按自己的意愿設(shè)定一個(gè)賣出的盈利率的閥值e2，e2所對應(yīng)的股價(jià)為p2。當(dāng)股價(jià)p0大于p2時(shí)，賣出;當(dāng)股價(jià)p0小于p2時(shí)，不賣出。

綜上分析，基于區(qū)間戈登模型，利用以上得到的股價(jià)預(yù)測集的模糊概率，可得出股票的買進(jìn)、賣出準(zhǔn)則:

(1)當(dāng)p0＜ps-時(shí)，即股價(jià)低于股票內(nèi)在價(jià)值的下限，股票的價(jià)值被低估，有投資價(jià)值，買進(jìn)。

(2)當(dāng)p0＞ps+時(shí)，即股價(jià)高于股票內(nèi)在價(jià)值的上限，股票的價(jià)值被高估，沒有投資價(jià)值，賣出。

(3)當(dāng)ps-＜p0＜ps+時(shí)，即股價(jià)高于內(nèi)在價(jià)值的下限低于內(nèi)在價(jià)值的上限。這時(shí)根據(jù)定義4，由股價(jià)p0求出盈利的概率，由投資者根據(jù)盈利的概率決定是否買進(jìn)或賣出。

5 應(yīng)用舉例

這里選擇了鋼鐵板塊的寶鋼股份作為考察對象，這里考慮到鋼鐵板塊2008年財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)罕見的特殊性，所以這里的計(jì)算只采用2007年以前(包括2007年)的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)。

考察寶鋼股份:上市以來最低股價(jià)是3.62元，最高股價(jià)是22.12元。采用銀行三個(gè)月的存款利率1.71%、5年整存整取的存款利率3.60%作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的最小、最大值，根據(jù)不同的數(shù)據(jù)的采用及不同的計(jì)算方法得到折現(xiàn)率的期望區(qū)間為［9%，12%］(盡可能取計(jì)算中的折現(xiàn)率的最小和最大值作為區(qū)間的左、右端點(diǎn))，同樣的，投資者估計(jì)的紅利增長率區(qū)間為［6.5%，7.2%］，D0用2007 年的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)為每股分紅0.35元(這里考慮到鋼鐵板塊2008年財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)罕見的特殊性，所以這里的計(jì)算采用2007年以前，包括2007年的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的。由式(2)計(jì)算得寶鋼股份的內(nèi)在價(jià)值ps=［7.76，15］，截止2010年6月19日收盤時(shí)，寶鋼股份的市場價(jià)格為6.02元。投資者按自己的意愿設(shè)定的買進(jìn)盈利率的閥值為82%，設(shè)定的賣出的盈利率的閥值為28%(寶鋼股份的股價(jià)波動預(yù)測集如圖3)。由閥值e1=82%求得相應(yīng)的股價(jià)p1=8元/股，由閥值e2=28%求得相應(yīng)的股價(jià)p2=14.9元/股。由于該股現(xiàn)價(jià)為6.02元，小于p1=8元/股，所以買進(jìn)。

圖3 寶鋼股份股價(jià)波動預(yù)測集

6 結(jié)束語

本文中的方法與以往的證券投資的概率方法不同的是:不是主觀確定股價(jià)的波動區(qū)間，而是立足于股票內(nèi)在價(jià)值，由區(qū)間戈登模型得出股票的波動區(qū)間，然后給出證券投資的概率方法。文中的方法有以下特點(diǎn):①立足于價(jià)值投資，只針對優(yōu)質(zhì)股、作中長線投資而作的研究，不適合于投機(jī)。②方法偏于保守，是悲觀估計(jì)，回避了風(fēng)險(xiǎn)。因?yàn)橹袊慕?jīng)濟(jì)總趨勢是向上發(fā)展的，而且，當(dāng)前黨中央、國務(wù)院已經(jīng)出臺了一系列政策措施，對穩(wěn)定資本市場必將產(chǎn)生長期利好的影響，所以，股價(jià)落到上市后的最低點(diǎn)的可能性幾乎為零，但是超過上市后的最高點(diǎn)的可能性是存在的，但是本文忽略了這可能性，是偏于保守的。③通過盈利可能性的估計(jì)由投資者確定買入和賣出的價(jià)格，體現(xiàn)投資者的意愿。

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