宋燕燕，王子亭

(中國(guó)石油大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 青島 266555)

0 引言

在過去的幾十年里，大量的學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)金融市場(chǎng)是無(wú)套利的，并且遵循一種無(wú)規(guī)律的隨機(jī)游走，即布朗運(yùn)動(dòng)，給出了期權(quán)定價(jià)的模型和方法。然而，事實(shí)又證明用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)代替布朗運(yùn)動(dòng)來研究金融市場(chǎng)會(huì)更符合實(shí)際。文獻(xiàn)［1］討論了一般的跳躍幅度的隨機(jī)變量和帶參數(shù)的冪函數(shù)為收益函數(shù)，但結(jié)果并不是很理想，文獻(xiàn)［2］討論了帶泊松跳躍的布朗運(yùn)動(dòng)的模型，也有一定的局限性。本文具體討論了跳躍幅度為均勻分布和收益函數(shù)為一次多項(xiàng)式的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的經(jīng)濟(jì)模型，并且給出一定的限制條件，求得平均收益的最優(yōu)解。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是概率空間，在這個(gè)空間上定義如下幾個(gè)隨機(jī)過程:

(1)BH=(BHt;t∈R+)，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

(2)N=(Nt;t∈R+)，參數(shù)為λ＞0的泊松過程。

(3)U=(Ut;t∈Z+)，一個(gè)獨(dú)立同分布的均勻分布序列，其中Ui為定義在(-1，1)上的均勻分布。

(4)T=(Tt;i∈Z+)，泊松過程事件發(fā)生的時(shí)刻序列。

下面，我們定義隨機(jī)過程X=(Xt;t∈R+):

(1)Xt的初值X0=x。

(3)在每次泊松過程事件發(fā)生的時(shí)刻T=(Ti;i∈Z+)上，Xt在原來的基礎(chǔ)上有一個(gè)放縮式跳躍XTi=XTi-(1+Ui)，其中XTi-為Xt在Ti的左極限。

2 結(jié)論

因此，EXt可分為兩部分計(jì)算，前者為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)期望，后者為泊松跳躍的數(shù)學(xué)期望。

［1］Masamitsu Ohnishi.An optimal stopping problem for a geometric Brownian motion with Poissonian jumps［J］.Mathematical and Computer modelling，2003，12(38):1381-1390.

［2］王志明，黃志勇，許芳忠.帶泊松跳躍的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的經(jīng)濟(jì)模型［J］.數(shù)學(xué)雜志，2007，27(1):93-95.

［3］劉韶躍.數(shù)學(xué)金融的分?jǐn)?shù)次Black-Scholes模型及應(yīng)用［D］.長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué)，2004.

［4］Sudipto Sarkar.The effect mean reversion on investment under uncertainty［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，2003，11(28):377-396.