陳 強, 趙曉華

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

隨著人類認識、改造和利用自然能力的不斷提高以及實際應用的需要，經(jīng)常需處理大量非線性問題.Hamilton系統(tǒng)是非線性科學研究中的一個重要領(lǐng)域，它的產(chǎn)生與發(fā)展具有深刻的實際背景[1].經(jīng)典的Hamilton系統(tǒng)都是在偶數(shù)維相空間上定義的，這種結(jié)構(gòu)雖然具有很好的性質(zhì)，也有豐富的研究成果和實際應用[2]，但也限制了其應用范圍.為了使Hamilton系統(tǒng)的觀點和方法能應用于實際研究中廣泛存在的奇數(shù)維系統(tǒng)(一個最經(jīng)典的例子是自由剛體定點轉(zhuǎn)動的Euler方程，其相空間是3維的，由3個角動量軸構(gòu)成)，人們對經(jīng)典的Hamilton系統(tǒng)進行了擴展，從而提出了廣義Hamilton系統(tǒng)的概念[3].廣義Hamilton系統(tǒng)是通過廣義Poisson括號定義的，而廣義Poisson括號是去掉非退化條件限制的Poisson括號.因此，用廣義Hamilton系統(tǒng)可以研究奇數(shù)階的非線性系統(tǒng).廣義Hamilton系統(tǒng)的Poisson流形(具有廣義Poisson括號結(jié)構(gòu)的流形)表示法是一種十分方便、有用的表示法.所以，Hamilton系統(tǒng)已由經(jīng)典的(偶數(shù)維)形式推廣為廣義形式(任意維).

廣義Hamilton系統(tǒng)作為經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)的推廣，可以作為描述包括奇數(shù)維系統(tǒng)在內(nèi)的更加廣泛的非線性動力學問題的模型，在機械工程、光學、分子動力學等領(lǐng)域中都有很多的應用，其中很大的一類是具有球面葉層結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton系統(tǒng)[2,4-5].在許多實際模型中,這種具有球面葉層結(jié)構(gòu)的Hamilton系統(tǒng)模型，其Hamilton函數(shù)常以二次函數(shù)的形式居多.文獻[6]已證明，對它的研究可以歸結(jié)為對以下5類Hamilton函數(shù)所對應的廣義Hamilton系統(tǒng)的研究：

1)H=w;

迄今為止，對前4種情況，相應的廣義Hamilton系統(tǒng)在球面葉層上的平衡點分叉及其全局相圖已被完全研究清楚[7-9].但對Hamilton函數(shù)中含4個參數(shù)的第5種情況，正如文獻[10]指出的，其對應的廣義Hamilton系統(tǒng)在球面葉層上的分叉及相圖還未見相關(guān)報道.

基于此,筆者利用微分方程定性理論與動力系統(tǒng)分叉理論(特別是Hamilton系統(tǒng)相圖分析技巧)研究了第5類Hamilton函數(shù)在λ=1時所對應的具有球面葉層的廣義Hamilton系統(tǒng)，仔細分析了平衡點分叉及穩(wěn)定性，獲得了完整的全局相圖分類.

1 平衡點分叉及穩(wěn)定性分析

(1)

此時的Casimir函數(shù)為G(u,v,w)?u2+v2+w2,其水平集是以(0,0,0)為中心的球面，記為ML={(u,v,w)|u2+v2+w2=L2}.由于C≠0,故可將式(1)改寫為

(2)

(3)

由上述討論可知,只需對系統(tǒng)(1)在C=1時的參數(shù)進行討論即可,即

(4)

為了進一步簡化研究其相圖的性質(zhì)，作如下對稱變換：

(u,A)→(-u,-A);(v,B)→(-v,-B).

顯然,系統(tǒng)(1)在此變換下保持H不變，說明只需要對參數(shù)A≥0且B≥0的情況進行討論即可.

下面考慮系統(tǒng)(4)的平衡點個數(shù)及其穩(wěn)定性隨參數(shù)變化的分叉性質(zhì).由系統(tǒng)(4)的相空間具有葉層結(jié)構(gòu)的性質(zhì)以及Casimir函數(shù)可知，其平衡點由以下方程組確定:

(5)

經(jīng)過化簡可得平衡點(u,v,w)的分量v滿足分叉方程

F(v)=A2v2(λv+B)2+v2[(λ-1)v+B]2+

(v2-L2)[(λ-1)v+B]2(λv+B)2.

(6)

與方程F(v)=0的根ve對應,可以得到系統(tǒng)(4)的平衡點q=(ue,ve,we),其中

(7)

為了弄清系統(tǒng)(4)平衡點q的穩(wěn)定性，給出其Jacobi矩陣

其相應的特征方程為

|τI-Ja|=Bτ+τ3=0.

其中

B=ue(ve(λ-1)(-1-λ+2weλ)+

B(-we-λ+2weλ))+A(Bwe(λ-1)+

ve(1+we(λ-2)λ))+(-1-A2-

Bve(2λ-1)).

(8)

由此特征方程易知其3個根為:

根據(jù)微分定性理論[11]和廣義Hamilton系統(tǒng)的性質(zhì)可得命題1.

命題1平衡點類型與B的關(guān)系如下：

1)當B<0時,τ2,3為一對實數(shù)根,此時系統(tǒng)(4)的平衡點q=(ue,ve,we)為鞍點;

2)當B=0時,τ1,2,3為三重零根,此時系統(tǒng)(4)的平衡點q=(ue,ve,we)為尖點;

3)當B>0時,τ2,3為一對純虛根,此時系統(tǒng)(4)的平衡點q=(ue,ve,we)為中心.

根據(jù)前面的討論可知，系統(tǒng)(4)的平衡點q=(ue,ve,we)是由分叉方程(6)的解決定，而B的符號也是由分叉方程(6)的解決定.因此，接下來就討論分叉方程的零根的個數(shù)隨參數(shù)變化的分布情況.

考慮到分叉方程的復雜性， 筆者僅對λ=1的情形進行討論.

當λ=1時,其特征方程為

定理1

1)當ve>v*時,B1>0,此時系統(tǒng)(4)的平衡點q=(ue,ve,we)為穩(wěn)定平衡點，并且是個中心；

2)當ve=v*時,B1=0,此時系統(tǒng)(4)的平衡點q=(ue,ve,we)為穩(wěn)定平衡點，并且是個尖點；

3)當ve

接下來利用定理1判別在不同參數(shù)條件下系統(tǒng)(4)的平衡點個數(shù)和類型.

當λ=1時，此時關(guān)于v的多項式函數(shù)變?yōu)?/p>

F(v)=A2v2(v+B)2+v2B2+

(v2-L2)B2(v+B)2=

(A+B)2v2(v+B)2+v2B2-

L2B2(v+B)2.

則可分析得到：

1)當0

①當0v*,所以f1(v)=f2(v)的2個根v(1),v(2)>v*,因此，2個平衡點e1,e2都為穩(wěn)定平衡點,并且為2個中心.

②當1≤L-B>v*,所以2個平衡點e1,e2都為穩(wěn)定平衡點，并且為2個中心.

2)當L=M時,由多項式根的分布可知f1(v)與f2(v)有1個切點和2個交點，多項式函數(shù)f1(v)與f2(v)的圖像如圖3所示.因為f1(v)=f2(v)有3個根v=v(1),v(2),v(3)(切點)，v(1),v(2)>-B>v*,所以2個為穩(wěn)定平衡點.當v=v(3)時，B1=0,所以也為穩(wěn)定平衡點(尖點).即此時有3個平衡點e1,e2和e3，且都是穩(wěn)定平衡點，并且是2個平衡點e1,e2為中心、1個平衡點e3為尖點.

圖1 0

圖3 L=M時f1(v)與f2(v)交點及根的分布圖 圖4 L>M時f1(v)與f2(v)交點及根的分布圖

3)當L>M時,由多項式根的分布可知f1(v)與f2(v)有且僅有4個交點,即此時有4個平衡點，多項式函數(shù)f1(v)與f2(v)的圖像如圖4所示.設(shè)f1(v)=f2(v)的4個根為v(1),v(2),v(3),v(4).由函數(shù)f1(v)與f2(v)圖像可知，v(4)v*，而v(4)

2 球面葉層上的全局相圖

有了前面的平衡點分叉及穩(wěn)定性分析,就可以研究系統(tǒng)(4)的球面葉層上的全局相圖.由前面的參數(shù)分析可得:

1)當 0

如圖5(a)所示,e1和e2為系統(tǒng)(4)的2個穩(wěn)定平衡點，且都為中心.

2)當L=M時,系統(tǒng)(4)的相圖為2個中心、1個尖點.

如圖5(b)所示，e1,e2和e3為系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定平衡點，e1,e2為中心,e3為尖點.

3)當L>M時,系統(tǒng)(4)的相圖為3個中心、1個鞍點.

如圖5(c)所示，e1,e2和e3為系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定平衡點，e4為系統(tǒng)(4)的不穩(wěn)定平衡點,e1,e2和e3為中心，e4為鞍點.

(a)2個中心 (b)2個中心1個尖點 (c)3個中心1個鞍點

3 小 結(jié)

利用微分方程定性理論與動力系統(tǒng)分叉理論研究了二次Hamilton函數(shù)在λ=1時對應的具有球面葉層結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton系統(tǒng)，仔細分析了平衡點分叉及穩(wěn)定性性質(zhì)，獲得了對應的全局相圖分類.但是,對此類二次廣義Hamilton系統(tǒng)更一般的情況(λ≠1)還有待于進一步研究.

參考文獻：

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