吳妙仙

(浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信控分院,浙江東陽(yáng) 322100)

0 引 言

非線性發(fā)展方程的精確求解問(wèn)題已形成了許多重要的方法,如反散射方法[1]、Darboux變換方法[2]、Hirota方法[3]、B?cklund變換[4]及 W ronskian技巧[5-6]等.其中 ,W ronskian技巧有著鮮明的特點(diǎn) ,這不僅因?yàn)閃 ronskian行列式本身所具有的特性使得由W ronskian行列式形式構(gòu)成的解可以直接代入到方程中進(jìn)行檢驗(yàn),而且通過(guò)這種解的表示還可以求得除孤子解以外的其他形式的精確解,如有理解、positon解、negaton解、complexiton解、breathers解等[7-9].

目前,W ronskian技巧已經(jīng)有效地應(yīng)用到許多經(jīng)典的可積系統(tǒng)中,如 KdV方程、MKdV方程、KP方程、Boussinesq方程、非線性 Schr?dinger(NLS)方程及帶導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的非線性 Schr?dinger方程等.最近,一些學(xué)者已成功地將該技巧應(yīng)用于若干等譜與非等譜方程及變系數(shù)方程中.例如:文獻(xiàn)[10]研究了等譜二階 AKNS方程的雙W ronskian解;文獻(xiàn)[11]研究了非等譜 KP方程的雙 W ronskian解;文獻(xiàn) [12]研究了一類(lèi)變系數(shù) NLS方程的雙W ronskian解.

本文研究一類(lèi)在珀色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)中有著重要應(yīng)用的一類(lèi)廣義非線性 Schr?dinger方程

式(1)中:λ為實(shí)參數(shù);Q(t,x)為宏觀波函數(shù);t,x分別為時(shí)空變量.方程 (1)從形式上看是經(jīng)典Schr?dinger方程的變系數(shù)推廣,其孤子解和周期解結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)[13].方程 (1)的 Lax對(duì)可表示為

式 (2)中:φ為波函數(shù);

1 W ronskian解

若在方程 (1)中施以分式變換

F,G均為 x,t的復(fù)函數(shù),則 F與 G滿足下列方程:

其中 D是著名的 Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)算子,定義為

考察矩陣方程組

式 (8)中:φ,ψ為列向量,φ =(φ1,φ2,…,φ2N)T,ψ=(ψ1,ψ2,…,ψ2N)T;A是關(guān)于 x與 t的 2N ×2N 階矩陣函數(shù),且滿足

令 PN×M,QN×M為如下 N ×M階矩陣:

因此,方程 (6)和方程 (7)可轉(zhuǎn)化為雙線性方程組

為了證明的需要,先給出以下幾個(gè)引理:

引理 1[15]設(shè) D是 N ×(N-2)階矩陣,a,b,c,d是 N維列向量,則

引理 2[5]設(shè)αj(j=1,2,…,n)是具有 n個(gè)分量的列向量,而γj(j=1,2,…,n)是不為零的 n個(gè)任意常數(shù),則

式 (17)中 γ αj是列向量 ,即

引理 3[16]設(shè) P=(pij)是 n×n階算子矩陣,其元素 pij是微分算子,B=(bij)是 n×n階函數(shù)矩陣,以表示矩陣 B的列向量與行向量,則

注 1 式 (19)說(shuō)明算子 pij分別作用于各列向量相應(yīng)元素所得 n個(gè)行列式之和與 pij分別作用于行列式各行向量相應(yīng)元素所得 n個(gè)行列式之和相等.

引理 4 設(shè) A是與 x無(wú)關(guān)的 2N×2N階矩陣函數(shù),且滿足式 (9),則在條件 (8)下,類(lèi)似于文獻(xiàn) [14]中的推導(dǎo),有:

定理 1 若 A是與 x無(wú)關(guān)的 2N ×2N階矩陣,且滿足 At=λA,則方程 (14)和方程 (15)在條件 (8)下有雙W ronskian行列式解:

證明 先證雙 W ronskian行列式 (26)滿足式 (14).記Δ=2ie-λt,則易得 F,G對(duì) x的導(dǎo)數(shù)分別為:

其次,在條件 (8)下又可算得:

將式 (27)～式 (32)代入到方程 (14)的左端,得

注意到式 (24),方程 (14)的左端可化為

利用引理 1,不難推知:

因此,式 (33)恒為零,從而式 (14)成立.同樣地可證得式 (26)亦滿足式 (15).定理 1證畢.

因此,方程 (1)的解可表示為

2 類(lèi)有理解

一般地,矩陣方程組 (8)的通解可表示為

求解矩陣方程 (9)得 A=eλtA0(A0為任意常數(shù)矩陣),將其代入到式 (37)并展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式,得

斷為有限項(xiàng)

此時(shí),相應(yīng)的分量可寫(xiě)為:

因此,可求得方程W ronskian形式的類(lèi)有理解,其對(duì)應(yīng)的前 3個(gè)類(lèi)有理解分別為:

當(dāng)然,上述關(guān)于類(lèi)有理解的結(jié)果亦可直接代入方程進(jìn)行檢驗(yàn).

3 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于廣義非線性 Schr?dinger方程 (1),在 Lax對(duì)基礎(chǔ)上給出構(gòu)成解的雙W ronskian行列式的列向量φ與ψ所滿足的矩陣方程,并結(jié)合 Hirota方法與W ronskian技巧討論了方程 (1)的雙W ronskian形式的解.在矩陣函數(shù) A要求滿足 Al=λA的條件下,取 A=eλlA0(這里 A0為任意常數(shù)矩陣),求得含任意常數(shù)矩陣 A0的 φ與ψ的通解,并將其展開(kāi)為 A0的冪級(jí)數(shù).于是,當(dāng) A0取相應(yīng)的特殊矩陣時(shí)即可算得方程(1)的類(lèi)有理解.本文給出的求雙W ronskian解方法還可以應(yīng)用到其他的可積方程中.此外,對(duì)于方程(1),當(dāng) A0取其他特殊矩陣時(shí),還可以求得如 positon解、negaton解、complexiton解等其他形式的精確解,關(guān)于此方面的結(jié)果將另文給出.

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