楊　芳

摘要：函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主線(xiàn)，是學(xué)生感到最難學(xué)的內(nèi)容之一。了解函數(shù)概念的演變過(guò)程及形成過(guò)程，為今后函教概念的教學(xué)提供借鑒。

關(guān)鍵詞：演變：函數(shù)：教學(xué)

一、函數(shù)概念演變過(guò)程簡(jiǎn)述

函數(shù)這一概念是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)基石，它幾乎與數(shù)學(xué)自身同時(shí)產(chǎn)生，函數(shù)這一概念隨數(shù)學(xué)發(fā)展至今經(jīng)歷了很多次的擴(kuò)張。

萊布尼茨是第一個(gè)把“函數(shù)”一詞用做數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的人，但是他沒(méi)有給出具體的函數(shù)定義，只是用“函數(shù)”一詞來(lái)表示任何一個(gè)隨著曲線(xiàn)上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量。例如，切線(xiàn)，法線(xiàn)等的長(zhǎng)度以及縱坐標(biāo)等。這是最初的函數(shù)概念。

1718年，約翰·貝努利給出了“解析的函數(shù)概念”：函數(shù)是由任意變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構(gòu)成的量，這是對(duì)函數(shù)概念的第一次擴(kuò)張。

19世紀(jì)，隨著函數(shù)研究的進(jìn)一步發(fā)展，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出的函數(shù)定義是：對(duì)于x的每一個(gè)值，若y有確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y叫做x的函數(shù)。這個(gè)定義沒(méi)有強(qiáng)調(diào)函數(shù)的表達(dá)形式；德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克萊給出的函數(shù)定義是：對(duì)于某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，y就叫做x的函數(shù)。這兩種定義均是從幾何方面來(lái)考慮的，所以又稱(chēng)為“幾何的函數(shù)”，人們把這一次對(duì)函數(shù)的定義認(rèn)為是函數(shù)概念的第二次擴(kuò)張。

所謂傳統(tǒng)的函數(shù)定義。也是人們普遍接受的是數(shù)學(xué)家黎曼給出的：函數(shù)是對(duì)x的每一個(gè)值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，而不管建立x、y之間的對(duì)應(yīng)方式如何，稱(chēng)y是x的函數(shù)。黎曼給出的函數(shù)定義是對(duì)函數(shù)概念的第三次擴(kuò)張。

19世紀(jì)70年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，重新從“集合”與“對(duì)應(yīng)”的角度詮釋了函數(shù)定義：給定兩個(gè)集合A和B，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為從集合A到集合B的函數(shù)。

20世紀(jì)60年代以后，人們又給出了函數(shù)的“關(guān)系定義”：有序數(shù)對(duì)的集合叫做關(guān)系，即從集合A到集合B的關(guān)系R是笛卡爾積AB的子集，且稱(chēng)A為R的定義域，B為R的值域。美國(guó)教材中普遍采用這一定義。

二、函數(shù)概念的教學(xué)

1、注重函數(shù)概念的早期滲透

函數(shù)概念雖然是在初中八年級(jí)上冊(cè)正式給出了“函數(shù)”的“變量說(shuō)”定義，但是實(shí)際上我國(guó)的數(shù)學(xué)課程在小學(xué)階段就已經(jīng)開(kāi)始有了滲透，例如小學(xué)課本中數(shù)的認(rèn)識(shí)，圖形數(shù)量找規(guī)律，數(shù)的計(jì)算，圖形周長(zhǎng)和面積，字母表示數(shù)，統(tǒng)計(jì)等章節(jié)都是對(duì)有關(guān)“變量”的體現(xiàn)，商不變的性質(zhì)實(shí)際上是常函數(shù)的體現(xiàn)，正反比例體現(xiàn)的正是函數(shù)的思想。

進(jìn)入中學(xué)，函數(shù)的體現(xiàn)更是比比皆是，任何一個(gè)含有字母的代數(shù)式，就可以看作它所含字母的函數(shù)。例如：在代數(shù)式的值的教學(xué)中強(qiáng)化變量的意義，通過(guò)代數(shù)式的值與代數(shù)式中字母取值的之間的相互依賴(lài)關(guān)系。讓學(xué)生感受到變量之間的相互聯(lián)系；通過(guò)二元一次方程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到兩個(gè)量之間是相互關(guān)聯(lián)的，體會(huì)兩個(gè)變量之間的相互依存關(guān)系。

從小學(xué)到初中，我們已經(jīng)依次學(xué)習(xí)了自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，無(wú)理數(shù)。實(shí)數(shù)等。數(shù)集就是數(shù)字的集合，可以是自然數(shù)，整數(shù)。有理數(shù)，無(wú)理數(shù)，實(shí)數(shù)或者是它們的一部分等等，而它們自身也是一個(gè)集合，所以通過(guò)數(shù)的概念的發(fā)展，學(xué)生就可以積累關(guān)于“集合”概念的初步思想。

學(xué)生理解函數(shù)不僅要理解常量、變最的概念，而且要理解“變化過(guò)程”和變量之間的關(guān)系，即如果一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也隨之發(fā)生變化，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量之間存在某種關(guān)系，我們把它稱(chēng)為函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)數(shù)軸和坐標(biāo)的教學(xué)，可以滲透給學(xué)生關(guān)于“對(duì)應(yīng)”概念的初步思想。

以上我們就可以看出，在學(xué)生還沒(méi)有正式接觸函數(shù)概念之前，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中就已經(jīng)對(duì)函數(shù)有了不同程度的滲透。通過(guò)這樣的鋪墊，學(xué)生在接觸到嚴(yán)謹(jǐn)而抽象的函數(shù)概念時(shí)。易于接受。

2、注重函數(shù)概念的形成過(guò)程

一個(gè)概念個(gè)體在課程中出現(xiàn)，要遵循人的認(rèn)識(shí)過(guò)程的一般規(guī)律，在一定意義上說(shuō)，這個(gè)概念的展現(xiàn)程序，應(yīng)該是人類(lèi)形成概念的歷史程序在課程中的縮影。數(shù)學(xué)中基本概念的教學(xué)應(yīng)該是階段性的，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)不是一次就可以完成的，函數(shù)概念的教學(xué)當(dāng)然也不例外。

函數(shù)概念的形成過(guò)程可概括如下。

(1)辨別各種刺激模式

這些刺激模式可以是教師提供的有代表性的典型實(shí)例，也可以是學(xué)生自己在日常生活中的經(jīng)驗(yàn)。但是不論上述哪種刺激，都必須通過(guò)比較，讓學(xué)生在其知覺(jué)水平上對(duì)其進(jìn)行分析、辨認(rèn)，然后讓學(xué)生根據(jù)其外部特征進(jìn)行概括、總結(jié)。

例如，形成函數(shù)概念，因?yàn)楹瘮?shù)概念本身就不好理解，又是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學(xué)生對(duì)其理解有困難是不言而喻的。所以，在講授這部分內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)該先讓學(xué)生辨認(rèn)他們所熟悉的實(shí)例，像一個(gè)人的身高、體重、電話(huà)費(fèi)、水電費(fèi)、汽車(chē)出租費(fèi)等都是時(shí)間的函數(shù)。

(2)分化出各種刺激模式的屬性

要讓學(xué)生更好地理解這些刺激模式的本質(zhì)屬性，就需要分化各種刺激模式的各個(gè)屬性。

例如，一個(gè)人的身高，它是隨著時(shí)間的變化而變化的，所以說(shuō)人的身高是一個(gè)變化的量，當(dāng)然除了這個(gè)屬性之外，它還具有其它別的屬性，人的身高有一個(gè)取值范圍，所以它本身還是一個(gè)集合。同樣，一個(gè)人的體重、電話(huà)費(fèi)、水電費(fèi)、汽車(chē)出租費(fèi)等也都具有它們各自的屬性。

(3)抽象出各個(gè)屬性的共同屬性

從分化出的各種刺激模式的屬性中抽象出各個(gè)屬性的共同屬性，并提出它們的共同關(guān)鍵屬性的種種假設(shè)。

例如，在前面所舉的這些例子中，共同屬性是：都是變世；都存在著某種對(duì)應(yīng)關(guān)系；本身是一個(gè)集合；等等。這些共同的屬性可假設(shè)為：①如果一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量也隨之發(fā)生變化，那么這兩個(gè)變量之間應(yīng)該存在某種函數(shù)關(guān)系；②存在兩個(gè)集合，一個(gè)集合中的任意一個(gè)數(shù)，與另一個(gè)集合中的某一個(gè)數(shù)形成一一對(duì)應(yīng)，那么這種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)該是某種函數(shù)關(guān)系。

(4)檢驗(yàn)假設(shè)，確認(rèn)關(guān)鍵屬性

在特定的情境中檢驗(yàn)所提出的假設(shè)，變式是我們檢驗(yàn)過(guò)程中常用的一種有效手段。

例如，在前面所舉的這些例子中，通過(guò)變式可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)假設(shè)在各種變式中都會(huì)出現(xiàn)，因而可以確認(rèn)為關(guān)鍵屬性。

(5)概括，形成概念

驗(yàn)證了假設(shè)之后，把關(guān)鍵屬性抽象出來(lái)，從中區(qū)分出有從屬關(guān)系的關(guān)鍵假設(shè)，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀(guān)念分化，重新用語(yǔ)言概括成為概念的定義。

例如，在前面所舉的這些例子中，提出的兩種共同的關(guān)鍵屬性假設(shè)并不存在從屬關(guān)系，所以將函數(shù)定義為“在某個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定一個(gè)值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)值，那么我們稱(chēng)y是x的函數(shù)”；也可定義為“兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使一個(gè)集合中的任意一個(gè)數(shù)，與另一個(gè)集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)這種對(duì)應(yīng)為一個(gè)函數(shù)”。

(6)推廣共同關(guān)鍵屬性

把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類(lèi)事物中，這既是對(duì)新概念的檢驗(yàn)和修正，同時(shí)也是應(yīng)用新概念的過(guò)程。也可以從中觀(guān)察學(xué)生是否真正理解概念的本質(zhì)特征。教師可以用概念的等值語(yǔ)言讓學(xué)生進(jìn)行判斷和推理。

這個(gè)過(guò)程是概念形成的一個(gè)至關(guān)重要的步驟，因?yàn)樗切赂拍钆c已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中比較穩(wěn)定的相關(guān)觀(guān)念建立牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過(guò)程。

例如，函數(shù)的“關(guān)系定義”就是函數(shù)概念的等值語(yǔ)言，“有序數(shù)對(duì)的集合叫做關(guān)系，即從集合A到集合B的關(guān)系R是笛卡爾積A B的子集，且稱(chēng)A為R的定義域，B為R的值域。”

(7)用符號(hào)表示新概念

通過(guò)上述這些概念形成的步驟，學(xué)生對(duì)新概念的內(nèi)涵應(yīng)該有了比較全面的了解，包括一些具體的例子和概念的各種變式，也就說(shuō)，學(xué)生對(duì)其外延和內(nèi)涵都有了比較準(zhǔn)確和全面的理解。這個(gè)時(shí)候就應(yīng)該引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，注意要引導(dǎo)學(xué)生把符號(hào)與代表的實(shí)質(zhì)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)。

在概念學(xué)習(xí)中，經(jīng)常發(fā)生形式地掌握符號(hào)而不懂得符號(hào)本質(zhì)涵義的情況，這將會(huì)影響學(xué)生知識(shí)的學(xué)習(xí)，進(jìn)而導(dǎo)致錯(cuò)誤的推理。

例如，在函數(shù)概念的教學(xué)時(shí)。我們一般用y=f(x)作為函數(shù)的一般表達(dá)形式，但是學(xué)生對(duì)于其中的x，y，f的意義不理解，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似于f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，f(x1x2)=f(x1)f(x2)，的錯(cuò)誤。

在利用概念形成方式進(jìn)行函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該要扎扎實(shí)實(shí)地引導(dǎo)學(xué)生完成概念形成的每一個(gè)步驟，不然學(xué)生很難全面正確地理解函數(shù)概念，容易造成他們對(duì)函數(shù)概念的片面、孤立甚至錯(cuò)誤的理解。教師還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清函數(shù)概念的內(nèi)涵之后再進(jìn)行函數(shù)概念的應(yīng)用，引導(dǎo)他們?cè)诮沂靖拍畋澈蟮呢S富內(nèi)容的基礎(chǔ)上形成新概念。

3、注重與高中函數(shù)知識(shí)的銜接

因?yàn)楹瘮?shù)的知識(shí)、方法和思想是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以在課程設(shè)計(jì)時(shí)還應(yīng)當(dāng)考慮知識(shí)的銜接和前后呼應(yīng)。

我們都知道，初中教材采用的是函數(shù)定義的“變量說(shuō)”，是用“變量”的觀(guān)點(diǎn)來(lái)敘述函數(shù)的定義；而高中教材采用的是函數(shù)定義的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，是從“集合”，“映射”的角度重新詮釋函數(shù)的意義，二者之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。

映射是高中函數(shù)思想方法的核心觀(guān)點(diǎn)，初中代數(shù)中很多概念都反映著這一思想方法。如：相反數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射；絕對(duì)值是從實(shí)數(shù)集到非負(fù)實(shí)數(shù)集的映射；幾何中的各種變換，如對(duì)稱(chēng)變換、相似變換平移變換、旋轉(zhuǎn)變換等都是從一個(gè)圖形集到另一個(gè)圖形集的映射等待。教師在教學(xué)中都應(yīng)把這一思想滲透給學(xué)生，做好初、高中函數(shù)教學(xué)的銜接和過(guò)渡工作，以使學(xué)生更好地掌握好函數(shù)內(nèi)容的知識(shí)體系。

另外，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中加強(qiáng)函數(shù)概念教學(xué)還可以給進(jìn)一步在高等學(xué)校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析打下良好的基礎(chǔ)。

總之，在中學(xué)加強(qiáng)函數(shù)的教學(xué)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程都會(huì)起很大作用，并且也有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想。

(責(zé)任編輯：張華偉)